专题37 难舍难分的an与Sn-求数列的通项公式（解析版）学案

这是一份专题37 难舍难分的an与Sn-求数列的通项公式（解析版）学案，共13页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题37  难舍难分的与-求数列的通项公式【热点聚焦与扩展】关于求数列的通项公式问题，在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，特别是题目中给定与的关系，通过确定数列的通项公式进一步解题，常见于各类考试题中.本专题举例说常见类型的求解方法.1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和② 的系数相同，且为作差的形式（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式.（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，.设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出.（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解4、已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决.尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式. 6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式（教科书的基本要求：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．【经典例题】例1.【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．【答案】【解析】∵的前项和，当时，；当时，，∴，从而有．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．例2．（2020·南昌市八一中学高三三模）设是的前项和，，且，则(    )A．-66 B．77 C．88 D．99【答案】C【解析】因为，所以，所以.又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以.故选：C.例3．（2020·宝山·上海交大附中高三三模）已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（      ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以当时，，两式相减得 ，整理得，，由 知，，从而，即当时，，当时，，解得或（舍），则首项为1，公差为1的等差数列，则.所以，则，所以.则的最小值是.故选:A例4．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三三模）设数列的前项和为．若，，，则=（    ）A．242 B．121 C．62 D．31【答案】B【解析】且 可得 成等比数列其中 故选：B例5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三三模）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，作差可得：，又得，则所以，…，所以.故选：D.例6．（2020·四川青羊·石室中学高三三模）已知数列的前项和，设，则的值等于（    ）A．0 B．1 C．7 D．14【答案】C【解析】当时,,解得:,当时,, ,即数列为等比数列, ,则,则,计算可知,所以.故选:C.例7．（2020·四川乐山·高三三模）数列中，已知对任意，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】    ①当,    ②①-②得,又符合.为等比数列,首项,公比为,为等比数列,首项,公比为,故.故选：A例8．（2020·张家口市宣化第一中学高三三模）已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】首项，前项和为，，可得，时，，又，两式相减可得，则，可得，上式对也成立，则，，，，则前项和，，相减可得，化简可得，由，可得为递增数列，可得，而，可得，综上可得，故选：C． 【精选精练】1．（2020·安徽谯城·亳州市第三十二中学高三三模）已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于(　　)A．－4 B．－1 C．0 D．1【答案】B【解析】由得，=，又，且此数列为等比数列，所以有所以，答案选B．2．（2020·全国高三三模）若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式为（    ）A．an＝－2n－1 B．an＝(－2)n－1C．an＝(－2)n D．an＝－2n【答案】B【解析】当时，，解得，当时，由题可知：Sn＝an＋，①Sn-1＝an-1＋，②①②得an＝an－an－1，即an＝－2an－1，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以an＝(－2)n－1．故选：B3．（2020·陕西西安·高三三模）已知数列的前项和为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，所以；当时，，，所以；所以.故选：C.4．（2020·陕西汉中·高三三模）已知数列的前项和为，且满足，则（    ）A．1013 B．1035 C．2037 D．2059【答案】A【解析】当时得当时 数列是以为首项，为公比的等比数列.故选：5．（2020·青海西宁·高三三模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数是奇函数且满足，可知T=3由，可得：两式相减得：，即，∴是公比为2的等比数列，∴，∴∴故选C6．（2020·河北桃城·衡水中学高三三模）定义为个正数、、…、的“均倒数”，若已知正整数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，，当时，，验证知当时也成立，，， 故选：C7．（2020·全国高三三模）数列的前项和，若，则（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】当时，，当时，，当时，上式也适合，数列的通项公式为：∴故选：D．8．（2020·榆树市第一高级中学校高三三模）已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则（    ）A．2016 B．2017 C．2018 D．2020【答案】A【解析】由数列的前项和为，当时，；当时，，上式对时也成立，∴，∴，∵函数的周期，∴，故选A.9．（2020·甘肃靖远·高三三模）已知数列的前项和为（），则下列结论正确的是(    )A．数列是等差数列             B．数列是递增数列C．，，成等差数列          D．，，成等差数列【答案】D【解析】由，时，．时，，时，，不成立．数列不是等差数列．，因此数列不是单调递增数列．，因此，，不成等差数列．．．．，，，成等差数列．故选：．10．（2020·全国高三三模）已知数列的前项和，若，则等于（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】当时，；当时，，，根据选项检验只有满足．故选：D11．（2020·内蒙古乌兰察布·高三三模）已知数列的前项和为，满足，，则（    ）A．100 B．102 C．200 D．204【答案】A【解析】由，两式相减得，即.再由，两式相减得，由，得，故为以2为首项，2为公差的等差数列，故，故.故选：A12．（2020·山东省实验·高三三模）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，得，两式相减得，所以，又，，所以，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故，即的最小值为.故选：C