专题61 古典概型（解析版）学案

专题61  古典概型

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.难度控制在中等以下．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件.例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件

2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用表示.

3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为

（1）基本事件两两互斥

（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设为“出现点”，事件为“点数大于3”，则事件

（3）所有基本事件的并事件为必然事件

由加法公式可得：

因为，所以

4、等可能事件：如果一项试验由个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件.

5、等可能事件的概率：如果一项试验由个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为

证明：设基本事件为，可知

   所以可得

6、古典概型的适用条件：

（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个

（2）每个基本事件出现的可能性相等

当满足这两个条件时，事件发生的概率就可以用事件所包含的基本事件个数占基本事件空间的总数的比例进行表示，即

7、运用古典概型解题的步骤：

① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件

② 可通过计数原理（排列，组合）进行计算

③ 要保证中所含的基本事件，均在之中，即事件应在所包含的基本事件中选择符合条件的.

8. 古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

【经典例题】

例1．（2020·江苏南通·高三三模）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字，因为，，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：，，…若从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，从，，，，，这个数字中任意取出个数字构成一个三位数，共有种。

又因为从，，，，，这个数字中:

，，，共3组。

所以要使个数字中任意取出个数字构成一个三位数，

的结果恰好是剩下个数字构成的一个三位数，

则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有种，

所以

故答案选：C

例2．（2020·湖南郴州·高三三模）《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】从八卦中任取两卦，基本事件总数，

这两卦的阳线数目相同的基本事件有种，分别为：

（兑，巽），（兑，离），（巽，离），

（坎，艮），（艮、震），（坎、震），

这两卦的阳线数目相同的概率为．

故选：C

例3．（2020·四川省泸县第一中学高三三模）疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将数学、语文、政治、地理分别记为，将英语，历史，体育分别记为，

在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为：

，，，，，，，，，

，，共12种情况.

选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有，，，，，，，共8种情况.

所以，所求概率为，

故选：C.

例4．（2020·天津和平·耀华中学高三三模）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（    ）

A．2件 B．4件 C．6件 D．8件

【答案】A

【解析】设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为，

由得，，

化简得，

解得或；

又该产品的次品率不超过，

；

应取，

故选：A

例5．（2020·江西三模）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知基本事件总数，

“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：

“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，
剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故有种

“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，
则有种情况，

由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况，

所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为.

故选：B

例6．（2020·陕西高三三模）“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“☱”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，不同符号可分为三类：

第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）；

第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；

第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10），

所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，

则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P．

故选：D．

例7．（2020·广东佛山·高三三模）盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，

从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，

若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，

则此时取出黄色球的概率为：，

若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，

则此时取出黄色球的概率为：，

∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，

故选：A.

例8．（2020·河北衡水中学高三三模）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，

基本事件总数为：种

事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：

烟、糖、糖、糖：种

糖、烟、糖、糖： 种

糖、糖、烟、糖：种

包含的基本事件个数为：54，

所以，其概率为

故选：D

【精选精练】

1．（2020·福建省福州第一中学高三三模）某班级的班委有9位同学组成，他们分成四个小组参加某项活动，其中一个小组有3位同学，其余三个小组各有2位同学．现从这9位同学中随机选派5人，则每个小组至少有1人被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从这9位同学中随机选派5人，共包含基本事件的个数为；

每个小组至少有1人被选中，所包含的基本事件个数为，

因此每个小组至少有1人被选中的概率为.

故选：B.

2．（2020·内蒙古高三三模）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由金、木、水、火、土之间相生相克的关系可以看出，

现从五种不同属性的物质中任取两种，

基本事件总数，

取出的两种物质恰好是相生关系包含的基本事件个数，

则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为.

故选：.

3．（2020·烟台市教育科学研究院高三三模）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点：点满足（其中且，），则点（异于点）落在坐标轴上的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知所有可能结果有：

，共有28种；

点（异于点）落在坐标轴上的结果有：，

，共有8种；

所以点（异于点）落在坐标轴上的概率为.

故选：D.

4．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三三模）从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点不在同一条棱上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从三棱柱的六个顶点中任取两个顶点的情况有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种，

其中满足条件的情况有AE，AF，BD，BF，CD，CE，共6种，

故所求概率．

故选：B.

5．（2020·湖北华中师大一附中高三三模）2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】3名医生平均分成3组，有1种分法，6名护士平均分成3组有种分法，

3名医生、6名护士分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士的分配方法有

（种），

医生甲和护士乙分到同一家医院的分配方法有（种），

则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为.

故选：D.

6．（2020·安徽高三三模）古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6

【答案】B

【解析】设5个山楂的“冰糖葫芦”有个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有个，

则，解得，，

基本事件总数，

这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数，

则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为．

故选：．

7．（2020·河南郑州一中高三三模）骰子（tou zi），在北方很多地区又叫色子（shai zi），是中国传统民间娱乐用来投掷的博具，最早可以追溯至战国时期，通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，骰子是容易制作和取得的乱数产生器.汉代班固在《弈旨》一文中云：“博悬于投，不专在行.”也就是说，它们都是要通过掷骰子这种带有很大偶然性的方式来进行游戏.这种“悬于投”的特点，也成为中国古代的“博”与“弈”之间一个重要的分界线.现投掷两枚质地均匀的骰子（六面骰），其向上的点数分别记为a，b，则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意直线在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，

若直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距，

则，由可得，

又的所有取值有36个，其中满足的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，

则直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距的概率，

则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率.

故选：A.

8．（2020·广西南宁二中高三三模）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.

不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.

所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.

故选：B

9．（2020·西藏拉萨·三模）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人 ：

将选中2名女生平均分为两组：

将选中2名男生平均分为两组：

则选出的人分成两队混合双打的总数为：

和分在一组的数目为

所以所求的概率为

故选：B

10．（2020·全国高三三模）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则，区域涂同色的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：

（1）使用5种颜色：选色，涂上去，共有种；

（2）使用4种颜色：选色，先涂有4种，下面，①、若、同色，则和各涂剩余的两色，有种，②、若、不同色，则和必同色，有种．共种；

（3）使用3种颜色：选色，先涂有3种选择，用掉一种颜色，下面只有、同色，、同色，有种，共种，

共计种，

其中，区域涂同色的有种，

则，区域涂同色的概率为．

故选：．

11．（2020·四川棠湖中学高三三模）将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为方程组有解，故直线与圆有公共点，所以即，

当时，，有3种情形；

当时，，有3种情形；

当时，，有4种情形；

当时，，有18种情形；

故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.

故选：B.

12．（2020·浙江杭州·高三三模）如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，

根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：

，对于区域，有5种颜色可选；

，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；

，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；

，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，

若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，

则区域有种选择，

则不同的涂色方案有种，

其中，区域涂色不相同的情况有：

，对于区域，有5种颜色可选；

，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；

，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；

，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，

若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，

则区域有种选择，

不同的涂色方案有种，

区域涂色不相同的概率为 ,故选D．