2018-2019学年广东省华附、省实、广雅、深中高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年广东省华附、省实、广雅、深中高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知，则复数的共轭复数的虚部为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，，则下列不等式中恒成立的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知是等比数列，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积横向等，则体积相等．设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（5分）如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）的展开式中常数项为　　

A． B．30 C． D．25

9．（5分）已知是边长为2的正三角形边上的动点，则的值　　

A．是定值6 B．最大值为8 

C．最小值为2 D．与点位置有关

10．（5分）函数的部分图象大致是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

12．（5分）已知函数，，，则函数的所有零点之和等于　　

A．0 B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.

13．（5分）已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为　 　．

14．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是　 　．

15．（5分）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为　　．

16．（5分）在半径为4的球的球面上有不同的四点，，，，若，则平面被球所截得的图形的面积为　　．

三、解答题：满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．（12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求的大小；

（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值．

18．（12分）等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图．将沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图．

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

19．（12分）已知椭圆的离心率，在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若不过原点的直线与椭圆相交于，两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值．

20．（12分）某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”与性别有关？

（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出，件的部分，累进计件单价为1.2元；超出，件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资定额计件工资超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望．

附：，

21．（12分）已知函数，．

（1）试讨论函数的极值点的个数；

（2）若，且恒成立，求的最大值．

参考数据：

（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求的取值范围．

2018-2019学年广东省华附、省实、广雅、深中高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【解答】解：，

．

的虚部为．

故选：．

【解答】解：当，，满足条件．但不成立，故错误，

当时，，故错误，

，，

，

则，故正确，

当，时，满足条件，但不成立，故错误，

故选：．

【解答】解：是等比数列，，，

则，，，

，

数列是以8为首项，为公比的等比数列，

．

故选：．

【解答】解：设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等．

由“、在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：、的体积相等．

因此可得：、的体积不相等，必然：、在等高处的截面积不恒相等．

即，反之不成立．

是的充分不必要条件．

故选：．

【解答】解：依次运行流程图，结果如下：

，

满足判断框内的条件，，

满足判断框内的条件，，

满足判断框内的条件，，

满足判断框内的条件，，

此时，不满足判断框内的条件，退出循环，

所以的取值范围是．

故选：．

【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，

由图可知基本事件空间所对应的几何度量，

满足所投的点落在阴影图内所对应的几何度量：

（A）；

所以（A）．

故选：．

【解答】解：函数，

先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得的图象；

再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象；

根据得到的图象关于轴对称，可得，，

即，令，可得的最小值为，

故选：．

【解答】解：，

其展开式中常数项为．

故选：．

【解答】解：设     

则，

故选：．

【解答】解：函数的定义域为，，，

，

为偶函数，

的图象关于轴对称，故排除，

当时，（1），故排除，

当时，，故排除，

综上所述，只有符合，

故选：．

【解答】解：由题意得  ， ，

设点，，

则由中点公式可得线段的中点， ，

线段的斜率与的斜率之积等于，

即，

，

，

，，或（舍去），

．

又椭圆的离心力率  ，

故，

故选：．

【解答】解：

，

由，得或，

由得，，

，，或或，

由得，，

即，

，，或或或，

则所有零点之和为，

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.

【解答】解：由题意得到为等腰直角三角形，

圆心到直线的距离，即，

整理得：，即，

解得：或1，

故答案为：或1

【解答】解：设、分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

再设分别生产甲、乙两种肥料各、车皮产生的利润为，

由得两直线的交点．

令，当直线经过点时，它在轴上的截距有最大值为6，此时．

故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30万元．

故答案为：30万元．

【解答】解：设差数列的公差为，，，

，，

联立解得，，

．

．

数列的前项和为．

对于任意的，

．

化为：，

，

则实数的取值范围为．

故答案为：．

【解答】解：先在球面选取点，在球面上有，三点到距离相等，

可知，在同一截面上，且垂直于平面，如图，

有，，

所以，，均为等边三角形．

所以截面所在圆的半径为，

所以截面面积为．

故答案为：．

三、解答题：满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

【解答】解：（1）在中，，

，（1分）

，

，（2分）

，（3分）

，

又，故，（4分）

，即．    （5分）

又，

．  （6分）

（2）在中，，，

．（7分）

又，由（1）可知，

为等腰直角三角形，（8分）

，（9分）

又△，（10分）

．    （11分）

当时，四边形的面积有最大值，最大值为．（12分）

【解答】解：（1）正的边长为3，且

，，

中，，由余弦定理，得

，．

折叠后，仍有

二面角成直二面角，平面平面

又平面平面，平面，

平面；

（2）假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为

如图，作于点，连接、

由（1）得平面，而平面

所以

、是平面内的相交直线，

平面

由此可得是直线与平面所成的角，即

设，则，

在△中，，所以，

在△中，，

由，得

解之得，满足符合题意

所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．

【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上

得，解得，所以椭圆的方程为．

（2）易得直线的方程为．

当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在．

设直线的方程为，与联立消得，

所以△．

设，，，，

则，，

所以的中点，，

因为在直线上，所以，解得

所以△，得，且，

，

又原点到直线的距离，

所以，

当且仅当，时等号成立，符合，且．

所以面积的最大值为．

【解答】解：（1）列联表：

．

有的把握认为“生产能手”与性别有关．

（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为元．

从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率，女员工实得计件工资不少于3100元的概率．

在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为，1，2，3，

，．

，

．

的分布列：

【解答】解：（1）函数的定义域为，（1分）

①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；（2分）

②当时，在单调递减且图象连续，（a），时，，所以存在唯一正数，使得，

函数在单调递增，在，单调递减，

所以函数有唯一极大值点，没有极小值点．（3分）

综上：当时，没有极值点；

当时，有唯一极大值点，没有极小值点．（4分）

（2）方法一：

由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以，恒成立（5分）

因为，所以，所以．

令，则在单调递增，

由于，，

所以存在唯一正数，使得，

从而．（6分）

由于恒成立，

①当，时，成立；

②当时，由于，所以．（7分）

令，当时，，所以在单调递减，从而．因为，且，且，所以．（8分）

下面证明时，，且在单调递减，由于，，

所以存在唯一，使得，（9分）

所以．（10分）

令，，易知在单调递减，

所以，

所以（11分）

即时，．

所以的最大值是10．（12分）

方法二：

由于恒成立，所以，；，；，；

因为，所以猜想：的最大值是10．（6分）

下面证明时，，且在单调递减，由于，，

所以存在唯一，使得，（8分）

所以．（9分）

令，，易知在单调递减，

所以，（10分）

所以（11分）

即时，．

所以的最大值是10．（12分）

（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程

【解答】解：（1）由，得，

化成直角坐标方程得，

直线的方程为，依题意，设，，

则到直线的距离，

当，即，时，，

故点到直线的距离的最大值为．

（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，

，恒成立，即 （其中恒成立，

，又，解得，

故取值范围，．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1），

当时，由可得

或或，

即为或或，

不等式的解集为；

（2）不等式对任意的实数，恒成立，

等价于对任意的实数恒成立，

即，

，

当且仅当上式取得等号，

，当即时，取得等号，

又，

所以．

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日期：2019/12/17 21:17:44；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267