2018-2019学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）若，，则的值为　　

A． B． C． D．4

3．（5分）等差数列中，，，则数列的前20项和等于　　

A． B． C．10 D．20

4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知点，为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为　　

A． B． C．1 D．

6．（5分）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为　　

A． B． C． D．

7．（5分）若，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

9．（5分）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率为　　

A． B． C．2 D．

10．（5分）若四面体的三视图如图所示，则以下判断中，正确的是　　

A．该四面体的所有对棱都互相垂直 

B．该四面体恰有三个面是直角三角形 

C．该四面体中，棱与面互相垂直的恰有两对 

D．该四面体中，面与面互相垂直的恰有四对

11．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数的一种方法．例如：137可表示为“”，26可表示为“”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9个数字表示三位数的个数为　　

A．10 B．20 C．36 D．38

12．（5分）若函数存在三个极值点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）过圆的圆心，且斜率为1的直线方程为　　．

14．（5分）边长为6的正三角形中，点满足，则的值为　　．

15．（5分）如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米．为上的一点，则当角达到最大时，的长度为　　米．

16．（5分）已知函数，，．若，在，上的最大值为2，则的值为　　．

三、解答题：本大题共5小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列的前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

18．在中，，，分别为角，，所对的边，且，．

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围．

19．如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角余弦值的大小．

20．已知抛物线与椭圆有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求抛物线和椭圆的方程；

（Ⅱ）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值．

21．已知函数．

（Ⅰ）当，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数的最大值为0，求的值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．

23．已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

2018-2019学年福建省宁德市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【解答】解：；

．

故选：．

【解答】解：，

，解得或．

则的值为．

故选：．

【解答】解：等差数列的公差设为，，，

可得，，

解得，，则，

数列的前20项和为

．

故选：．

【解答】解：若，则成立，，

成立，则，

成立，则，

不成立，则，

故选：．

【解答】解：不等式组的可行域如图：

则的最小值为到直线的距离：．

故选：．

【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象

则，

由，得，，

当时，函数的对称轴为，

故选：．

【解答】解：，

，

，

，，的大小关系是．

故选：．

【解答】解：

如图是正六棱锥的六分之一，

为高，

为外接球球心，

，

得，

得，

设，

在直角三角形中，

，

解得，

．

故选：．

【解答】解：设右焦点，

将直线方程代入双曲线方程可得，

可得，，

由，可得，

即有，

化简为，结合，

即有，

则．

故选：．

【解答】解：根据三视图知，该四面体是如图所示的三棱锥；

在三棱锥中，底面，侧面，选项正确；

其中与不垂直，选项错误；

四个面都是直角三角形，选项错误；

面与面互相垂直的有三对，分别是

平面平面，平面平面，平面平面，选项错误．

故选：．

【解答】解：6根算筹可能分1，2，3，或者1，1，4，或2，2，2，

2根算筹可以表示2或6，两种结果，

3根算筹可以表示3或7，两种结果，

4根算筹可以表示4或8，两种结果，

若分1，2，3，则表示的三位数为种三位数，

若分1，1，4，则表示的三位数为，

若分2，2，2，则表示的三位数为，

则表示的三位数共有种，

故选：．

【解答】解：若函数存在三个极值点，

即有3个根，

即有3个根，

而，

若有3个根，表示存在极值，极大值大于0，极小值小于0，

故有2个根，

构造函数，，

若这2个函数的图象有2个交点，

则介于的切线和轴之间，

设切点是，，

则，故，，

将，代入得：

，解得：，

故，

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

【解答】解：圆化为，则圆心为，

经过圆心且斜率为1的直线方程为，即．

故答案为：．

【解答】解：，

，

，

故答案为：30．

【解答】解：设，则，，

，

令，则，

，

当且仅当时“”成立；

，即米时，最大，最大值为．

故答案为：3．

【解答】解：令，，

可知的周期，

故关于对称，

而也关于对称，

故关于对称，

在，上，递增，而递减，递增，

故递增，在上，递增，递增，

故递减，

当时，，故点在上，

而，，

故点是，的交点，

故也在上，

故代入的解析式中，得，而，故，

故答案为：2．

三、解答题：本大题共5小题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【解答】解：（Ⅰ），可得，解得，

时，，

相减可得，

化为，

可得；

（Ⅱ）证明：，

可得，

即有的前项和为

，

由为递增数列，可得，且，

可得．

【解答】解：（Ⅰ），

，

即，

则，则，

若，，

则，得，

得或（舍，

则的面积．

（Ⅱ），，

由正弦定理得得，

，，

则

，

是锐角三角形，

得，

则，

，

即，

即的取值范围是，．

【解答】证明：Ⅰ梯形中，，，，

取中点，连结，交于，则，

，

，，

将沿翻折成直二面角，则，

取中点，连结，则，平面，

，又，，平面，

平面，．

解：（Ⅱ）取中点，连结，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，

，0，，，0，，，0，，，，，

，0，，，，，

异面直线与所成角的余弦值为，

，，

解得，或（舍，

，0，，，0，，，2，，

，0，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

平面的法向量，1，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角余弦值为．

【解答】解：（Ⅰ）两曲线相交于点，

可得，即，

则抛物线的方程为；

由两曲线有相同的焦点，

由椭圆的定义可得，

即有，，

则椭圆方程为；

（Ⅱ）证明：由题意可得，设，，，，

设直线的方程为，

联立椭圆方程可得，

可得，，

再由

．

可得为定值4．

【解答】解：（Ⅰ），

当时，恒成立，函数在上单调递减；

当时，令’ 得：，

若，则由得，

由得， 或，

函数单调递增区间是，

单调递减区间是 和．

若，则恒成立，函数在上单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 或时，函数单调递减区间为，故不存在最大值．

当时，当时，，最大值不为0．

由在 上单调递增，在 上单调递减，

，

解得．

当时，，，此时，

即时的最大值不为0．

综上，．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.

【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为为参数），

转换为直角坐标方程为：，

所以直线的倾斜角为．

所以：，

曲线的参数方程为为参数），

转换为直角坐标方程为：．

转换为极坐标方程为：，

曲线的极坐标方程为，

转换为直角坐标的方程为：，

整理得：，

线交曲线于，两点，

则：，

解得：，，

直线和曲线于，两点

则：，

解得：，

所以：．

【解答】解：（Ⅰ）函数，

当时，不等式可化为，

时，不等式化为，解得；

时，不等式化为，解得；

时，不等式化为，解得；

综上，不等式的解集为或；

（Ⅱ）函数，

若不等式对恒成立，

则，

当时，解得；

当时，去掉绝对值得，或，

解得或，则应取；

综上所述，实数的取值范围是．

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日期：2019/12/17 21:23:21；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267