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2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
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这是一份2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科），共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）
A．249，248 B．249，249 C．248，249 D．248，249
3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（5分）（2015•大观区校级四模）0（x﹣ex）dx＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
8．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016﹣5＝（ ）
A．2 018×2 014 B．2 018×2 013
C．1 011×2 015 D．1 010×2 012
9．（5分）（2010•广州一模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1或a＞3 B．a≤﹣1或a≥3 C．a＜﹣9或a＞3 D．a≤﹣9或a≥3
11．（5分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
12．（5分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）（2012•武汉模拟）复数的共轭复数是 ．
14．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（2）＝ ．
15．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ．
16．（5分）（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx存在垂直y轴的切线则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2018秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i是实数（其中a∈R，i是虚数单位），则求a的值．
（2）求曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积．
18．（12分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．
19．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．
（1）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值
20．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知向量，．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足的概率．
（Ⅱ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率．
21．（12分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
22．（12分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的取值范围．
2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）
A．249，248 B．249，249 C．248，249 D．248，249
【考点】BA：茎叶图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】由茎叶图，能示出食品的平均重量和重量的中位数．
【解答】解：由茎叶图知，这箱食品一袋的平均重量为249249．重量的中位数为249．
故选：B．
【点评】本题主要考查由茎叶图求调查数据，平均数以及中位数；属于基础题．
3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42＝6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 ．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数的导数，代入x的值，求出切线的斜率即可．
【解答】解：f′（x），
故f′（）＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了导数的应用，考查切线的斜率问题，是一道基础题．
6．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图求出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1
s＝1，
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝2，s＝2
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝3，s＝6
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝4，s＝15
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝5，s＝31
满足条件s＞15，退出循环，输出k的值为5．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．（5分）（2015•大观区校级四模）0（x﹣ex）dx＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】0（x﹣ex）dx＝（x2﹣ex），从而解得．
【解答】解：0（x﹣ex）dx
＝（x2﹣ex）
＝（0﹣1）﹣（）
；
故选：C．
【点评】本题考查了积分的运算，属于基础题．
8．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016﹣5＝（ ）
A．2 018×2 014 B．2 018×2 013
C．1 011×2 015 D．1 010×2 012
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5M：推理和证明．
【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．
【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n＝1时，a1＝2+3（2+3）×2；
n＝2时，a2＝2+3+4（2+4）×3；
…
由此我们可以推断：
an＝2+3+…+（n+2）[2+（n+2）]×（n+1）
∴a2016﹣5[2+（2016+2）]×（2016+1）﹣5＝1011×2015．
故选：C．
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
9．（5分）（2010•广州一模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题；13：作图题．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23，
则点P与点O距离大于1的概率是．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．
10．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1或a＞3 B．a≤﹣1或a≥3 C．a＜﹣9或a＞3 D．a≤﹣9或a≥3
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意g（x）＝x3﹣ax2﹣a2x﹣a，
故g′（x）＝3x2﹣2ax﹣a2＝（3x+a）（x﹣a），
由g（x）在（﹣1，3）递减，
则（3x+a）（x﹣a）≤0在x∈（﹣1，3）恒成立，
故a≥3或3，
故a≥3或a≤﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
11．（5分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】构造函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）＝1，可得不等式ex•f（x）＞ex+1的解集．
【解答】解：令g（x）＝ex•f（x）﹣ex，
则g′（x）＝ex•[f（x）+f′（x）﹣1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）＝ex•f（x）﹣ex在R上为增函数
又∵f（0）＝2，∴g（0）＝1
故g（x）＝ex•f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0}
即不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，是解答的关键．
12．（5分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5T：不等式．
【分析】求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．
【解答】解：由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．
故选：A．
【点评】本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）（2012•武汉模拟）复数的共轭复数是 ﹣2+i ．
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，再把复数的实部不变，虚部变为原来的相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】解：∵复数
∴复数的共轭复数是﹣2+i，
故答案为：﹣2+i
【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是对于所给的复数需要正确的运算，得到复数的代数形式的标准形式，这样才可以变换为共轭复数，本题要注意在进行除法运算时，分子和分母同乘以分母的共轭复数﹣2﹣i，这里容易出错，本题是一个基础题．
14．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（2）＝ ．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】可求出导函数，从而可求出f′（1）＝﹣1，这样即可得出，从而可求出f′（2）的值．
【解答】解：；
∴f′（1）＝2f′（1）+1；
∴f′（1）＝﹣1；
∴；
∴．
故答案为：．
【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．
15．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】f′（x）＝x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．
【解答】解：∵f（x）x3+ax2+b2x+1，
∴f′（x）＝x2+2ax+b2，
要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，
即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3＝9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．
16．（5分）（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx存在垂直y轴的切线则实数a的取值范围是 （﹣∞，0） ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由f（x）＝ax5+lnx有垂直与y轴的切线，知f（x）函数在某一个点处的导数等于零．由f（x）的定义域为x＞0，f′（x）＝5ax4，知原题等价于5ax2+1＝0有解时求a的取值范围．由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝ax5+lnx有垂直与y轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0
∵f′（x）＝5ax4，根据上面的推断，
即方程5ax40有解．即等于价于5ax5+1＝0有解时求a的取值范围．
结合x为正数，解得a＜0
因此，a的取值范围是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程的应用，运用到了求导知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2018秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i是实数（其中a∈R，i是虚数单位），则求a的值．
（2）求曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积．
【考点】69：定积分的应用；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；36：整体思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用；5N：数系的扩充和复数．
【分析】（1）首先化简所给的复数，然后求解实数a的值即可；
（2）首先确定交点坐标，然后利用定积分求解封闭图形的面积即可．
【解答】解：（1），
z是实数，∴，∴a＝1．
（2）由 解得 x＝4，y＝2，
故面积为 ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则与分类，定积分的计算等知识，属于中等题．
18．（12分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．
【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数
（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可
【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1＝（0.04+0.03）×5＝0.35，
此分数段的学员总数为21人所以毕业生，
的总人数N为N60，
90～95分数段内的人数频率为P1＝1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5＝0.1
所以90～95分数段内的人数n＝60×0.1＝6，
（Ⅱ） 90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生
设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，
每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种
所以，P（A）
【点评】本题主要考查频率分布直方图、等可能事件的概率，属基础题．
19．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．
（1）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值，得到f（1），f′（1）＝0得到a、b即可；找到函数的定义域，求出导函数，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）根据函数的单调性即可求出函数的最值
【解答】解：（1）
由题意；
所以：，定义域为（0，+∞）
令⇒x2﹣x＞0⇒x＞1，∴单增区间为（1，+∞）；
令⇒x2﹣x＜0⇒0＜x＜1，∴单减区间为（0，1）
（2）由（1）知在区间函数f（x）单调递减，在区间[1，e]函数f（x）单调递增，
所以，
而，，
所以．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间和最值的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
20．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知向量，．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足的概率．
（Ⅱ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）由已知得到满足的事件概率符合几何概型的概率，只要求出区域的面积比即可；
（2）符合古典概型概率的求法，只要列举出所有的事件和满足的事件，由古典概型概率公式解答．
【解答】解：（Ⅰ）用B表示事件“”，即x﹣2y＞0…（1分）
试验的全部结果所构成的区域为
{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，…（3分）
构成事件B的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x﹣2y＞0}，
如图所示…（5分）
所以所求的概率为P（B）（6分）
（Ⅱ）设（x，y）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），
（6，6），共36个．…（8分）
用A表示事件“”，即x﹣2y＝﹣1…（9分）
则A包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个…（10分）
∴P（A）（12分）
【点评】本题考查了两类概率的求法；古典概型的概率主要明确所有事件和所求事件的个数，由古典概型的概率公式解答；几何概型的概率求法要由具体的实验决定事件的测度是区域的长度还是面积或者体积，然后由概率公式解答．
21．（12分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ） 通过a＝1时，化简f（x），求出函数的导数，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）＝f'（x），利用新函数的导数h'（x）＝ex﹣2a，利用（1）当，h（x）在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1﹣e．（2）当时，推出h（x）≥﹣2a．（3）当时，通过导数求解h（x）≥2a﹣2aln2a﹣e．
【解答】解：（Ⅰ） a＝1时，f（x）＝ex﹣x2﹣ex﹣2，
∵f'（x）＝ex﹣2x﹣e，
∴f（1）＝e1﹣12﹣e×1﹣2＝﹣3，f'（1）＝﹣2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣2（x﹣1）．
即2x+y+1＝0…（6分）
（Ⅱ）f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，h（x）＝f'（x）＝ex﹣2ax﹣e，h'（x）＝ex﹣2a，
（1）当时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a≤ex恒成立，
即h'（x）＝ex﹣2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝1﹣e．
（2）当时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a＞ex恒成立，
即h'（x）＝ex﹣2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，
所以h（x）≥h（1）＝﹣2a．
（3）当时，h'（x）＝ex﹣2a＝0得x＝ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣e…（12分）
【点评】本题考查函数的导数的应用切线方程的求法，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
22．（12分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为x∈（0，），a＞2恒成立，令h（x）＝2，x∈（0，），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1，
由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，）上无零点，
只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2恒成立．
令h（x）＝2，x∈（0，），
则h′（x），
再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），
则m′（x）0，
故m（x）在（0，）上为减函数，
于是，m（x）＞m（）＝4﹣3ln3＞0，
从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）上为增函数，
所以h（x）＜h（）＝2﹣3ln3，
∴a的取值范围为[2﹣3ln3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
考点卡片
1．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
2．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
3．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
4．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx
＝﹣cosxcosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；
（3）分配律：（）••（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z0且z≠0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．
【常用方法】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
○随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
○随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．
【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（ ）
A.B.C.D.
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．
解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为5．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．
解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）
A.841B.114 C.014 D.146
分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1个的编号是389，
向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
18．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
19．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
20．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+1136，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
21．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
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日期：2019/4/17 16:45:56；用户：15295542135；邮箱：15295542135；学号：21780078
2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）
A．249，248 B．249，249 C．248，249 D．248，249
3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
5．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（5分）（2015•大观区校级四模）0（x﹣ex）dx＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
8．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016﹣5＝（ ）
A．2 018×2 014 B．2 018×2 013
C．1 011×2 015 D．1 010×2 012
9．（5分）（2010•广州一模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1或a＞3 B．a≤﹣1或a≥3 C．a＜﹣9或a＞3 D．a≤﹣9或a≥3
11．（5分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
12．（5分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）（2012•武汉模拟）复数的共轭复数是 ．
14．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（2）＝ ．
15．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ．
16．（5分）（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx存在垂直y轴的切线则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2018秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i是实数（其中a∈R，i是虚数单位），则求a的值．
（2）求曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积．
18．（12分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．
19．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．
（1）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值
20．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知向量，．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足的概率．
（Ⅱ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率．
21．（12分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
22．（12分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的取值范围．
2018-2019学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6袋，经检测，某箱中每袋的重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（ ）
A．249，248 B．249，249 C．248，249 D．248，249
【考点】BA：茎叶图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】由茎叶图，能示出食品的平均重量和重量的中位数．
【解答】解：由茎叶图知，这箱食品一袋的平均重量为249249．重量的中位数为249．
故选：B．
【点评】本题主要考查由茎叶图求调查数据，平均数以及中位数；属于基础题．
3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42＝6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 ．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．
4．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534169石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数的导数，代入x的值，求出切线的斜率即可．
【解答】解：f′（x），
故f′（）＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了导数的应用，考查切线的斜率问题，是一道基础题．
6．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图求出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1
s＝1，
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝2，s＝2
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝3，s＝6
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝4，s＝15
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝5，s＝31
满足条件s＞15，退出循环，输出k的值为5．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．（5分）（2015•大观区校级四模）0（x﹣ex）dx＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C． D．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】0（x﹣ex）dx＝（x2﹣ex），从而解得．
【解答】解：0（x﹣ex）dx
＝（x2﹣ex）
＝（0﹣1）﹣（）
；
故选：C．
【点评】本题考查了积分的运算，属于基础题．
8．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016﹣5＝（ ）
A．2 018×2 014 B．2 018×2 013
C．1 011×2 015 D．1 010×2 012
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5M：推理和证明．
【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．
【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n＝1时，a1＝2+3（2+3）×2；
n＝2时，a2＝2+3+4（2+4）×3；
…
由此我们可以推断：
an＝2+3+…+（n+2）[2+（n+2）]×（n+1）
∴a2016﹣5[2+（2016+2）]×（2016+1）﹣5＝1011×2015．
故选：C．
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
9．（5分）（2010•广州一模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题；13：作图题．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23，
则点P与点O距离大于1的概率是．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．
10．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1或a＞3 B．a≤﹣1或a≥3 C．a＜﹣9或a＞3 D．a≤﹣9或a≥3
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意g（x）＝x3﹣ax2﹣a2x﹣a，
故g′（x）＝3x2﹣2ax﹣a2＝（3x+a）（x﹣a），
由g（x）在（﹣1，3）递减，
则（3x+a）（x﹣a）≤0在x∈（﹣1，3）恒成立，
故a≥3或3，
故a≥3或a≤﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
11．（5分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】构造函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）＝1，可得不等式ex•f（x）＞ex+1的解集．
【解答】解：令g（x）＝ex•f（x）﹣ex，
则g′（x）＝ex•[f（x）+f′（x）﹣1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）＝ex•f（x）﹣ex在R上为增函数
又∵f（0）＝2，∴g（0）＝1
故g（x）＝ex•f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0}
即不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，是解答的关键．
12．（5分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5T：不等式．
【分析】求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．
【解答】解：由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．
故选：A．
【点评】本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共计20分）
13．（5分）（2012•武汉模拟）复数的共轭复数是 ﹣2+i ．
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，再把复数的实部不变，虚部变为原来的相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】解：∵复数
∴复数的共轭复数是﹣2+i，
故答案为：﹣2+i
【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是对于所给的复数需要正确的运算，得到复数的代数形式的标准形式，这样才可以变换为共轭复数，本题要注意在进行除法运算时，分子和分母同乘以分母的共轭复数﹣2﹣i，这里容易出错，本题是一个基础题．
14．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（2）＝ ．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】可求出导函数，从而可求出f′（1）＝﹣1，这样即可得出，从而可求出f′（2）的值．
【解答】解：；
∴f′（1）＝2f′（1）+1；
∴f′（1）＝﹣1；
∴；
∴．
故答案为：．
【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．
15．（5分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】f′（x）＝x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．
【解答】解：∵f（x）x3+ax2+b2x+1，
∴f′（x）＝x2+2ax+b2，
要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，
即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3＝9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．
16．（5分）（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx存在垂直y轴的切线则实数a的取值范围是 （﹣∞，0） ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由f（x）＝ax5+lnx有垂直与y轴的切线，知f（x）函数在某一个点处的导数等于零．由f（x）的定义域为x＞0，f′（x）＝5ax4，知原题等价于5ax2+1＝0有解时求a的取值范围．由此能求出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝ax5+lnx有垂直与y轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0
∵f′（x）＝5ax4，根据上面的推断，
即方程5ax40有解．即等于价于5ax5+1＝0有解时求a的取值范围．
结合x为正数，解得a＜0
因此，a的取值范围是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程的应用，运用到了求导知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2018秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i是实数（其中a∈R，i是虚数单位），则求a的值．
（2）求曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的封闭图形的面积．
【考点】69：定积分的应用；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；36：整体思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用；5N：数系的扩充和复数．
【分析】（1）首先化简所给的复数，然后求解实数a的值即可；
（2）首先确定交点坐标，然后利用定积分求解封闭图形的面积即可．
【解答】解：（1），
z是实数，∴，∴a＝1．
（2）由 解得 x＝4，y＝2，
故面积为 ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则与分类，定积分的计算等知识，属于中等题．
18．（12分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．
【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数
（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可
【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1＝（0.04+0.03）×5＝0.35，
此分数段的学员总数为21人所以毕业生，
的总人数N为N60，
90～95分数段内的人数频率为P1＝1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5＝0.1
所以90～95分数段内的人数n＝60×0.1＝6，
（Ⅱ） 90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生
设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，
每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种
所以，P（A）
【点评】本题主要考查频率分布直方图、等可能事件的概率，属基础题．
19．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．
（1）求a，b的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值，得到f（1），f′（1）＝0得到a、b即可；找到函数的定义域，求出导函数，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）根据函数的单调性即可求出函数的最值
【解答】解：（1）
由题意；
所以：，定义域为（0，+∞）
令⇒x2﹣x＞0⇒x＞1，∴单增区间为（1，+∞）；
令⇒x2﹣x＜0⇒0＜x＜1，∴单减区间为（0，1）
（2）由（1）知在区间函数f（x）单调递减，在区间[1，e]函数f（x）单调递增，
所以，
而，，
所以．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间和最值的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
20．（12分）（2018秋•兴庆区校级期末）已知向量，．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足的概率．
（Ⅱ）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）由已知得到满足的事件概率符合几何概型的概率，只要求出区域的面积比即可；
（2）符合古典概型概率的求法，只要列举出所有的事件和满足的事件，由古典概型概率公式解答．
【解答】解：（Ⅰ）用B表示事件“”，即x﹣2y＞0…（1分）
试验的全部结果所构成的区域为
{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，…（3分）
构成事件B的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x﹣2y＞0}，
如图所示…（5分）
所以所求的概率为P（B）（6分）
（Ⅱ）设（x，y）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），
（6，6），共36个．…（8分）
用A表示事件“”，即x﹣2y＝﹣1…（9分）
则A包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个…（10分）
∴P（A）（12分）
【点评】本题考查了两类概率的求法；古典概型的概率主要明确所有事件和所求事件的个数，由古典概型的概率公式解答；几何概型的概率求法要由具体的实验决定事件的测度是区域的长度还是面积或者体积，然后由概率公式解答．
21．（12分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ） a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ） 通过a＝1时，化简f（x），求出函数的导数，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）＝f'（x），利用新函数的导数h'（x）＝ex﹣2a，利用（1）当，h（x）在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1﹣e．（2）当时，推出h（x）≥﹣2a．（3）当时，通过导数求解h（x）≥2a﹣2aln2a﹣e．
【解答】解：（Ⅰ） a＝1时，f（x）＝ex﹣x2﹣ex﹣2，
∵f'（x）＝ex﹣2x﹣e，
∴f（1）＝e1﹣12﹣e×1﹣2＝﹣3，f'（1）＝﹣2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣2（x﹣1）．
即2x+y+1＝0…（6分）
（Ⅱ）f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，h（x）＝f'（x）＝ex﹣2ax﹣e，h'（x）＝ex﹣2a，
（1）当时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a≤ex恒成立，
即h'（x）＝ex﹣2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝1﹣e．
（2）当时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a＞ex恒成立，
即h'（x）＝ex﹣2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，
所以h（x）≥h（1）＝﹣2a．
（3）当时，h'（x）＝ex﹣2a＝0得x＝ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣e…（12分）
【点评】本题考查函数的导数的应用切线方程的求法，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
22．（12分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为x∈（0，），a＞2恒成立，令h（x）＝2，x∈（0，），根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1，
由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，）上无零点，
只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，），a＞2恒成立．
令h（x）＝2，x∈（0，），
则h′（x），
再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），
则m′（x）0，
故m（x）在（0，）上为减函数，
于是，m（x）＞m（）＝4﹣3ln3＞0，
从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）上为增函数，
所以h（x）＜h（）＝2﹣3ln3，
∴a的取值范围为[2﹣3ln3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
考点卡片
1．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
2．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
3．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
4．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx
＝﹣cosxcosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2）⇔0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•λ（）•（）；
（3）分配律：（）••（）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2•2．②（）（）22．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z0且z≠0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，则每个个体被抽取的概率等于）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．
【常用方法】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1个号签，连续抽取k次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
○随机数表：由0﹣9十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
○随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．
【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（ ）
A.B.C.D.
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．
解答：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为5．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．
解答：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）
A.841B.114 C.014 D.146
分析：从随机数表12行第5列数开始向右读，最先读到的1个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1个的编号是389，
向右读下一个数是775，775它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
18．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
19．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
20．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+1136，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
21．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
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