专题51 曲线与方程-求轨迹方程（解析版）学案

这是一份专题51 曲线与方程-求轨迹方程（解析版）学案，共14页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。

纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.
1、求点轨迹方程的步骤：
（1）建立直角坐标系
（2）设点：将所求点坐标设为，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）
（3）列式：从已知条件中发掘的关系，列出方程
（4）化简：将方程进行变形化简，并求出的范围
2、求点轨迹方程的方法
（1）直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出方程后化简即可
（2）代入法：所求点与某已知曲线上一点存在某种关系，则可根据条件用表示出，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于的方程
（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：
① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆：若，则点在以为直径的圆上
确定方程的要素：圆心坐标，半径
② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹
确定方程的要素：距离和，定点距离
③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹
注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支
确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离
④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹
确定方程的要素：焦准距：.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量，分别找到与的联系，从而得到和的方程：，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程.
【经典例题】
例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【解析】∵动点满足，
∴，
∴，解得，
∴点的轨迹是抛物线.故选: D
例2．（2020·广东深圳三模·）当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
故选：D.
例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体中，点是的中点，动点在其表面上运动，且与平面的距离保持不变，运行轨迹为，当从点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】画出图象如图所示,由于平面平面,故三角形即点的运行轨迹.以为坐标原点建立空间直角坐标系,故.当在时,,当在时,,由此排除两个选项. 当在P,Q以及AC中档时,故排除选项.所以选D.
例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体中，点P是平面上一点，且满足为正三角形．点M为平面内的一个动点，且满足．则点M在正方形内的轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】空间上到，两点距离相等的点在线段的垂直平分面上，此平面与正方形相交可得一条线段，可排除，；又由点到，两点的距离显然不相等，排除,故选：A
例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为的圆与轴交于两点，圆心到轴的距离为.若，并规定当圆与轴相切时，则圆心的轨迹为( )
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
【答案】C
【解析】如图所示，设圆心，则圆心M到轴的距离为，
由圆的弦长公式，可得，
因为，即，整理得，
即，即圆心的轨迹为椭圆.
故选：C.
例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A，B关于坐标原点O对称，，以M为圆心的圆过A，B两点，且与直线相切，若存在定点P，使得当A运动时，为定值，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点，∴圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵⊙M与直线2y﹣1＝0相切，∴|MA|＝|y|，
∴|y|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2，
整理得x2＝﹣y，
∴M的轨迹是以F（0，）为焦点，y为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|y|﹣|MP|
＝|y|﹣|MP||MF|﹣|MP|，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（0，），
∴存在定点P（0，）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
故选：C.
例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，，其中，
，即
关于轴对称

故选：
例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 （ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【解析】以所在直线为轴，中垂线为轴，建立坐标系，
设；
因为，
所以，
即，当时，轨迹是圆．
当且时，是椭圆的轨迹方程；
当时，是双曲线的轨迹方程．
当时，是直线的轨迹方程；
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选C．
【精选精练】
1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上B．双曲线的一支上
C．一条抛物线D．一个圆上
【答案】B
【解析】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为O（0，0），半径为1；圆的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．
2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点和直线：距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【答案】A
【解析】由题意，点在直线上，即动点到点A的距离与动点到直线的距离相等，
所以动点的轨迹是一条过点A且与直线l垂直的直线.
故选：A.
3．（2020·全国高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆，点A，B分别是它的左，右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，又当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，则，
因为，，
当时，
所以直线的方程为：
直线的方程为：，
所以，
又，所以，即，
当时，也符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.
故选：B.
5．如图，在平面直角坐标系中，、、，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】点P沿着线段AB运动时,X=1，Y∈[0，1]，此时P'（2xy，x2-y2）的坐标为（2y，1-y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是，点P沿着线段BC运动时，X∈[0，1]，Y=1.此时P'（2xy，x2-y2）的坐标为（2x，x2-1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是
故动点P'的轨迹是
6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形中，若，在底面内运动，且满足，则点的轨迹为（ ）
A．圆弧B．线段 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】A
【解析】由题意以D为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,则,
由,可得
因为在底面内运动,且满足.由勾股定理及两点间距离公式代入可得
两边同时平方,并展开可得
交叉相乘,化简可得
化为标准方程可得
而因为在底面内运动,所以其轨迹为一段圆弧
故选:A
7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ,又在圆上,故,
即即
故选B
8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，
依题意有，，
化简整理得，，
即，则圆的面积为．故选D．
9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）
A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点
C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点
【答案】A
【解析】,，
,
又，,
平面,又平面
，
故在以为直径的圆上，
又是内异于的动点，
所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B
故选：A
10．如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
【答案】B
【解析】延长，与的延长线交于点，连接
是的外角的角平分线，且
在中，且为线段的中点
又为线段的中点，由三角形的中位线定理得：
根据椭圆的定义得：
点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆
故选：
11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（ ）
A．两个点B．线段 C．圆的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】B
【解析】如图，先找到一个平面总是保持与垂直，
取B1B的中点E，CB的中点F，连接AE，EF，AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
易证DM⊥AF，⊥AF，则有AF⊥面DMD1，同理MD1⊥AE，则MD1⊥平面AEF
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF．
故选：B
12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以，
化简整理得曲线C的方程为，
若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点，
将代入曲线中得，，
所以，
又点A到直线l的距离，故的面积，
所以，
（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
（3）当时，
（当且仅当，即取等号），则；
若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积，
综上得：的面积的最大值为.
故选：A.