专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程及答案

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专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程
专题26 求动点轨迹方程
微点2 定义法求动点的轨迹方程
【微点综述】
在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍．
一、求轨迹方程——定义法
若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
二、常见情形
1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
4．平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数（为常数）的动点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆．
5．平面内一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（为常数）的动点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线．
6．平面内与一定点和一条定直线（不经过点）距离之比对于常数的动点的轨迹是圆锥曲线．当时为椭圆；当时为双曲线；当时为抛物线．其中，定点叫做圆锥曲线的焦点，定直线叫做圆锥曲线的准线．
三、应用举例
1．利用圆的定义求轨迹方程
例1
1．一条定长为的线段，点在轴上，点在轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程．
2．利用椭圆的定义求轨迹方程
例2（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）
2．已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________；斜率为的直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则的值为________.
例3（2019年高考江苏卷17（1））
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
3．利用双曲线的定义求轨迹方程
例4（2021年新高考I卷21（1））
4．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
例5
5．如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论．
4．利用抛物线的定义求轨迹方程
例6（2014年高考福建文21）
6．已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.
例7（2013年高考全国II理11）
7．设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或
B．或
C．或
D．或
5．解析几何与立体几何交汇轨迹问题
例8（2022·全国·模拟预测）
8．如图，正方体的棱长为，点为棱上一点，点在底面上，且，点为线段的中点，则线段长度的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．6
例9（2022·新疆·二模）
9．在棱长为6的正四面体中，点P为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为____________．
小结：
定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来．对于这些常见的圆锥曲线问题，领悟定义优先的思想，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，往往能准确判断、简化运算，灵活解题．我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，从以上案例中，不难发现解决圆锥曲线问题的首选策略是回归定义，优先考虑定义是求解圆锥曲线有关问题的第一思路，运用定义往往能使问题快捷求解．
【强化训练】
（2022·四川凉山·三模）
10．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．3
（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）
11．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
（2022·上海青浦·三模）
12．如图，平面为中点，，，点为平面内动点，且到直线的距离为，则的最大值为__________.

（2022·山西晋城·三模）
13．如图，正方体的棱长为4，点M是棱AB的中点，点P是底面ABCD内的动点，且P到平面的距离等于线段PM的长度，则线段长度的最小值为______．

（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）
14．已知平面上一动点P到定点的距离与它到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)已知点，过点B引圆的两条切线BP；BQ，切线BP、BQ与曲线C的另一交点分别为P、Q，线段PQ中点N的纵坐标记为，求的取值范围．
（2022·广东·模拟预测）
15．平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围．
（2022·云南师大附中高三月考）
16．已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）直线的方向向量，直线与曲线交于、两点，若为锐角（其中为坐标原点），求直线纵截距的取值范围．
17．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（2018年高考江苏卷18（1））
18．在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
19．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点，且 (m为常数)，直线与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问的面积是否为定值.若为定值，求出的面积；若不是定值，说明理由.



参考答案：
1．
【分析】设的中点坐标为，当、均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得中点轨迹，验证、有一点与原点重合时成立得答案．
【详解】当时，，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，方程是（且）．
当点为原点时，或，当点在原点时，或，
点的轨迹方程是．
2．     ，    
【分析】根据动圆与圆，的位置关系，分情况讨论可知动圆C的圆心轨迹为椭圆，然后计算即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E的位置关系以及弦长公式，可得结果.
【详解】设动圆的半径为
由题可知：
当动圆C与圆外切，与圆内切时
则
所以可知动圆圆心轨迹为椭圆
所以，故
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
当动圆C与圆内切，与圆内切时
则
所以可知动圆圆心轨迹为椭圆
所以，故
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为，
设直线l方程为，
由直线l与曲线E仅有三个公共点
则直线l与相切于点Q，与相交于点P,R
所以
则


则
则，把代入可得
故答案为：，；
【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题.
3．（1）；
（2）.
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；
解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，
解得或.
将代入，得，
因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.因此.
解法二：
由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.
【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
4．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
5．(1)的方程为：；的方程为
(2)不存在，证明见解析

【分析】（1）根据以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形得 ，分别将的坐标代入双曲线和椭圆方程，可求出双曲线和椭圆方程；
（2）当直线垂直于轴时，求出的坐标，可以验证；当直线不垂直于轴时，设的方程为，代入双曲线方程，由韦达定理得到两个点的横坐标、纵坐标之间的关系，代入椭圆方程，根据判别式得到，利用韦达定理推出，从而可推出.
（1）
设的焦距为，因为的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以，从而，
因为点在双曲线上，所以，
所以的方程为：.
因为点在上，所以，
因为，所以，解得，所以，
所以的方程为.
（2）
不存在符合题设条件的直线，证明如下：
当直线垂直于轴时，因为与只有一个公共点，所以直线的方程为或，
当时，易知所以，
此时，
当时，同理可得.
当直线不垂直于轴时，设的方程为，
由 可得，当与相交于两点时，
,,即，
设，则，
于是
，
由可得，
因为直线与只有一个公共点，所以，
化简可得，
因此，
于是，
即，所以，
综上所述：，
所以不存在符合题目条件的直线．
6．（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.
【详解】试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，
依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
得到曲线的方程为.
思路二：设为曲线上任意一点，
由，化简即得.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，得，
应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.
由，得.
由，得.
根据，得圆心，半径，
由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.
试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，
依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，则，
由，得切线的斜率
，
所以切线的方程为，即.
由，得.
由，得.
又，所以圆心，
半径，
.
所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.

解法二：
（1）设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
（2）同解法一.
考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.

7．C
【详解】∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.

8．B
【分析】根据给定条件，确定点M所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.
【详解】依题意，正方体，当点P与A不重合时，，如图，

因点为线段的中点，则，当点P与A重合时，，
即无论点P，Q如何运动，总有，因此，点M在以点A为球心为半径的球面上，
而，所以线段长度的最小值是.
故选：B
【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，
9．
【分析】先由确定点P的轨迹是椭圆，由点D在底面上的射影恰为短轴端点E，得到，借助参数方程设出点，求出最大值，进而得到的最大值.
【详解】
取的中点O，连接，以为x轴，为y轴，建立直角坐标系，则点P在以A，B为焦点的椭圆上，且，∴，即椭圆方程为，易知点D在底面上的射影恰为短轴端点E，，
∴
设，由，则
，
∴，当取得，∴．
故答案为：.
【点睛】本题关键点在于确定点P的轨迹是椭圆，由点D在底面上的射影恰为短轴端点E，将的最大值转化为最大值，再借助椭圆的参数方程求出最大值即可.
10．A
【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.
【详解】∵  抛物线的方程为，
∴  ，抛物线的准线方程为，
∵ 方程可化为，
∴过定点，
设，设的中点为，则，因为，为垂足，
∴，所以，
即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
过点作准线的垂线，垂足为，则,
∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
∴ ，
过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，
∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，
所以的最小值为，
故选：A.

11．C
【分析】设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线.
【详解】设，
则.
由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设.
设线段的中点为M，则，，
故为定值，
从而线段的中点的轨迹为双曲线.
故选：C.
12．
【分析】由题意，可知的椭圆轨迹，即可知当，即在椭圆短轴的顶点上时最大，即可求最大值.
【详解】由题设，平面为中点，，，点为平面内动点，且到直线的距离为，
∴是以为轴，以为半径的圆为底面的圆柱与平面相交的椭圆轨迹上，即以为中心为焦点，为短轴长，为长轴长的椭圆上，如下图示，

∴由椭圆的性质知：当且仅当，即在椭圆短轴的端点上时，最大有.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据题设，确定在圆柱体在平面的交线上，以为中心为焦点，为短轴长， 为长轴长的椭圆.
13．
【分析】根据抛物线的定义，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.
【详解】由P到平面的距离等于线段PM的长度，可知点是以为焦点，以 为准线的抛物线.以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，设
点的方程为：

当时，长度最小为
故答案为：
14．(1)；
(2)的取值范围为．

【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2) 设切线BP的方程为，切线的方程为，所以， ，再求出，即得解.
（1）
设，
根据题意可得，
化简得，
所以，
所以曲线C的方程为，
（2）
由已知，所以切线的斜率存在，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离，
所以，
设切线BQ的方程为，
同理可得，
所以是方程的两根，
所以， ，
设，
联立，得，
所以，
所以，
同理，
所以



，
因为，所以
所以．
所以的取值范围为．
【点睛】求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
15．(1)动点P的轨迹方程为椭圆
(2)

【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意列式再化简方程求解即可；
（2）设，再根据的直线方程得出，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中的范围，进而将韦达定理代入化简可得，结合判别式中的范围即可得
（1）
设动点P的坐标为，因为，
所以，即，整理得．
所以动点P的轨迹方程为椭圆．
（2）
设，由（1）可得A的坐标为，
故直线，令，则，同理．
直线，由，消去y得，
故，解得或．
又，故，
又
，
∵，
故，即，
综上，或．
所以k的取值范围是．
16．（1）；（2）．
【分析】（1）设动圆的半径为，分析得出，利用椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出、、的值，即可得出轨迹的方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）设动圆的半径为，由图可知，圆内含于圆，圆的半径为，圆的半径为.

动圆与定圆外切，则，动圆与定圆内切，则，
由题意知：，
根据椭圆定义，圆心的轨迹是以原点为中心，、为焦点，长半轴长，半焦距的椭圆，
，的方程为；   
（2）直线的方向向量为，所以直线的斜率为．
设点、，设直线的方程为，
由得．
直线与椭圆有两个交点，所以，，解得，
由韦达定理可得，，
为锐角，
，
或，
综上，直线的纵截距的取值范围为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
17．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
【考点】圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.

18．（1），；（2）①；②．
【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；
（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；②先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.
【详解】（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，
所以，解得
因此，椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算
①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得（*），
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以，因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，由（*）得，
所以．
因为，所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．

［方法二］： 圆的参数方程的应用
设P点坐标为．
因为原点到直线的距离，所以与圆O切于点P的直线l的方程为．
由消去y，得．
①因为直线l与椭圆相切，所以．
因为，所以，故，．
所以，P点坐标为．
②因为直线与圆O相切，所以中边上的高，因为的面积为，所以．
设，由①知

，
即，
即．
因为，所以，故，所以．
所以直线l的方程为．
［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用
设P点坐标为，则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：（t为参数），
即（t为参数）．
代入，得关于t的一元二次方程．
①因为直线l与椭圆相切，所以，，
因为，所以，故，．
所以，P点坐标为．
②同方法二，略．
【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标，是该题的通性通法；
方法二：①利用圆的参数方程设出点，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标；
方法三：①利用圆的参数方程设出点，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标．
19．(1)
(2)是定值，

【分析】（1）由题意得，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到轴，结合以及求得即可求解.
（1）

由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，
直线y＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；
（2）
由题意知，直线AB的斜率存在，设其方程为，由消去y整理得，
则，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为，由条件设切线方程为，
由消去y整理得，∵直线与抛物线相切，∴，∴，
∴切点C的横坐标为，∴点C的坐标为，∴轴，∵，
∴，∴，
∴，∵m为常数，∴的面积为定值.