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    高中数学讲义微专题70 求点的轨迹方程 学案
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    高中数学讲义微专题70 求点的轨迹方程 学案

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    www.ks5u.com微专题70 求点的轨迹问题

    一、基础知识:

    1、求点轨迹方程的步骤:

    1)建立直角坐标系

    2)设点:将所求点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)

    3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程

    4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围

    2、求点轨迹方程的方法

    1)直接法:从条件中直接寻找到的关系,列出方程后化简即可

    2)代入法:所求点与某已知曲线上一点存在某种关系,则可根据条件用表示出,然后代入到所在曲线方程中,即可得到关于的方程

    3)定义法:从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的要素,求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有:

    圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹

           直角圆:若,则点在以为直径的圆上

    确定方程的要素:圆心坐标,半径

    椭圆:平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹

    确定方程的要素:距离和,定点距离

    双曲线:平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹

    注:若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支

    确定方程的要素:距离差的绝对值,定点距离

    抛物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹

    确定方程的要素:焦准距:。若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程

    4)参数法:从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到的联系,从而得到的方程:,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程。

    二、典型例题:

    1:设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为则动点的轨迹方程是    

    A.                             B.      

    C.                         D.

    思路:设则可直接利用已知条件列出关于的等式化简即可

    解:设    

     

    答案:C

    2:已知两定点的坐标分别为动点满足条件则动点的轨迹方程为___________

    思路:通过作图可得等价的条件为直线的斜率的关系,设,则可通过的斜率关系得到动点的方程

    解:若轴上方

       代入可得:

    化简可得

    轴下方同理可得

    为等腰直角三角形满足上述方程

    所以当在一四象限时轨迹方程为

    在线段上时同样满足所以线段的方程也为的轨迹方程

    综上所述:的轨迹方程为

    答案:

    3:已知是抛物线的焦点是该抛物线上的动点则线段中点的轨迹方程是      

    A.        B.     C.        D.

    思路:依题意可得 则有因为自身有轨迹方程代入可得关于的方程的轨迹方程

    答案:D

    4:已知是抛物线上的焦点是抛物线上的一个动点若动点满足的轨迹方程是__________

    思路:考虑设由抛物线可得故考虑利用向量关系得到的关系从而利用代入法将进行表示代入到即可

    解:由抛物线可得

      

      

       代入可得:

    答案:

    5:在平面直角坐标系中,直线与椭圆交于两点,且分别为椭圆的左,右顶点,则直线的交点所在曲线方程为________

    思路:由椭圆可得:,从而可确定线的方程。,若联立方程解,则形式较为复杂不易化简,观察两条直线方程的特点,可发现若两边相乘,有平方差的特点,且与椭圆相交,则关于轴对称,有。所以两方程左右两边分别相乘可得:,再利用满足椭圆方程,消去等式中的即可

    解:由椭圆可知:,设交点坐标

    与椭圆相交于   关于轴对称

    考虑直线的方程:由可得:

     

    同理可得: 

    可得:

    在椭圆上可得:,代入可得:

    ,整理后可得:

    答案:

    小炼有话说:本题消元的方法比较特殊,是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点,从而两式相乘,再进行代入消元。

    6:若动圆过定点且和定圆 外切则动圆圆心的轨迹方程是___________

    思路:定圆的圆心为观察到恰好与关于原点对称所以考虑点轨迹是否为椭圆或双曲线,设动圆的半径为则有由两圆外切可得所以即距离差为定值所以判断出的轨迹为双曲线的解得所以轨迹方程为

    答案:

    小炼有话说:本题从所给条件中的对称定点出发,先作一个预判,从而便可去寻找符合定义的要素,即线段的和或差。要注意本题中所以轨迹为双曲线的一支

    7:是圆的圆心为是圆内一定点为圆周上任一点线段的垂直平分线与的连线交于点的轨迹方程为   

    A.      B.     C.    D.  

    思路:可得发现刚好与均在轴上且关于原点对称从而联想到双曲线或椭圆的焦点观察几何性质可得的中垂线可得从而考虑的距离和为定值5,从而判断出其轨迹为椭圆,可得所以椭圆方程为

    答案:C

    8:已知直线与抛物线交于两点其中为坐标原点则点的轨迹方程为    

    A.           B.       

     C.       D.

    思路:先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等所以该四边形为矩形联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得从而可得直线过定点结合图像性质可得的轨迹为以为直径的圆轨迹方程为

    解:为邻边的平行四边形对角线

    该四边形为矩形

    联立方程:消去可得

          可得

    即直线过定点

       的轨迹为以为直径的圆

    则该圆的圆心为半径

    轨迹方程为

    答案:B

    9:过点作圆的割线,交圆两点,在线段上取一点,使得,求点的轨迹

    解:设点,直线的斜率为

    可得:

        ,联立方程:

    ,消去可得:

    代入可得:

    ,而代入可得:

    化简可得:,因为在圆内

    所以点的轨迹是直线被圆截得的弦

    10:如图所示,点在圆上运动的延长线上

    1)求点的轨迹方恒并求当为何值时的轨迹表示焦点在轴上的椭圆

    2)当1)中所得曲线记为已知直线上的动点射线为坐标原点交曲线于点又点上且满足求点的轨迹方程

    解:(1)思路:自身有轨迹方程且条件中所求的点与点存在联系),所以考虑利用代入法求轨迹方程。设然后利用向量关系找到的坐标与坐标的联系从而代入到所在的方程便得到关于的等式的轨迹方程

      

          

    上可知代入可得:

    的轨迹表示焦点在轴上的椭圆

    (2)思路:由(1)可知曲线方程为从而题目中的点均有方程设所求点则可考虑寻找的坐标与之间的联系。本题共线是关键点因为在这条线上的点其与点距离的比值即为横纵坐标的比值所以先从入手题目中没有的比例则不妨设进而得到的联系再寻找的联系结合条件可知从而用即可表示出的联系而不用再设字母):所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程再消去即可得到的轨迹方程

    解:由(1)可得曲线方程为:

        

       由线段比例可得

    同理可得:

    分别在直线与椭圆上   代入可得

    化简可得的轨迹方程为

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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