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    (新人教A版)高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案选修4-5
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    人教版新课标B选修4-5排序不等式教案设计

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    这是一份人教版新课标B选修4-5排序不等式教案设计,共6页。教案主要包含了课时安排,教学重点,教学难点,教学过程,用排序不等式证明不等式,板书设计,作业布置,教学反思等内容,欢迎下载使用。

    一、教学目标

    1.了解排序不等式的数学思想和背景.

    2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题.

    二、课时安排

    1课时

    三、教学重点

    1.了解排序不等式的数学思想和背景.

    2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题.

    四、教学难点

    1.了解排序不等式的数学思想和背景.

    2.理解排序不等式的结构与基本原理,会用排序不等式解决简单的不等式问题.

    五、教学过程

    (一)导入新课

    某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花________元,最多要花________元.

    【解析】 取两组实数(2,4,5)(1,2,3),则顺序和为2×14×25×325,反序和为2×34×25×119.

    所以最少花费为19元,最多花费为25元.

    【答案】 19 25

    (二)讲授新课

    教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念

    a1a2a3≤…≤anb1b2b3≤…≤bn为两组实数,c1c2cnb1b2bn的任一排列,则称aibi(i1,2n)的相同顺序相乘所得积的和                  为顺序和,和                  为乱序和,相反顺序相乘所得积的和                      称为反序和.

    教材整理2 排序不等式

    a1a2≤…≤anb1b2≤…≤bn为两组实数,c1c2cnb1b2bn的任一排列,则                                                            ,当且仅当a1a2anb1b2bn时,反序和等于顺序和,此不等式简记为              顺序和.

     

     

     

     

     

    (三)重难点精讲

    题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)

    1已知abc为正数,abc,求证:

    (1)

    (2).

    【精彩点拨】 由于题目条件中已明确abc,故可以直接构造两个数组.

    【自主解答】 (1)ab>0,于是.

    c>0>0,从而

    同理,bc>0,于是

    a>0>0,于是得

    从而.

    (2)(1)>0abc>0

    a2b2c2.

    由排序不等式,顺序和乱序和得

    .

    规律总结:利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.

    [再练一题]

    1.本例题中条件不变,求证:.

    【证明】 abc0

    a5b5c5

    0.

    ,由顺序和乱序和得

    .

    题型二、字母大小顺序不定的不等式证明

    2abc为正数,求证:.

    【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式;

    (2)题目中没有给出abc的大小顺序.解答本题时不妨先设定abc,再利用排序不等式加以证明.

    【自主解答】 不妨设0<abc,则a3b3c3

    0<

    由排序原理:乱序和顺序和,得

    a3·b3·c3·a3·b3·c3·

    a3·b3·c3·a3·b3·c3·.

    将上面两式相加得

    2

    将不等式两边除以2

    .

    律总结:在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况:(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称性,一定不能直接限定字母的大小顺序,而要根据具体环境分类讨论.

    [再练一题]

    2.设a1a2an为正数,求证:a1a2an.

    【证明】 不妨设0a1a2≤…≤an,则

    aa≤…≤a≥…≥.

    由排序不等式知,乱序和不小于反序和,所以

    a·a·a·,即

    a1a2an.

    题型三、利用排序不等式求最值

    3 设ABC表示ABC的三个内角abc表示其对边的最小值(ABC用弧度制表示)

    【精彩点拨】 不妨设abc0,设法构造数组,利用排序不等式求解.

    【自主解答】 不妨设abc

    ABC.

    由排序不等式,得

    aAbBcCaAbBcC

    aAbBcCbAcBaC

    aAbBcCcAaBbC

    将以上三式相加,得

    3(aAbBcC)(abc)·(ABC)π(abc)

    当且仅当ABC时,等号成立.

    的最小值为.

    规律总结:

    1.分析待求函数的结构特征,构造两个有序数组.

    2.运用排序原理求最值时,一定要验证等号是否成立,若等号不成立,则取不到最值.

    [再练一题]

    3.已知xyz是正数,且xyz1,求t的最小值.

    【解】 不妨设xyz>0,则x2y2z2.

    由排序不等式,乱序和反序和.

    x2·y2·z2·

    xyz.

    xyz11

    当且仅当xyz时,等号成立.

    t的最小值为1.

    题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题

    4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障,对其维修分别需要45 min,25 min30 min,每台电脑耽误1 min,网吧就会损失0.05元.在只能逐台维修的条件下,按怎样的顺序维修,才能使经济损失降到最小?

    【精彩点拨】 这是一个实际问题,需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小,即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小,又知道若维修第一台用时间t1 min时,三台电脑等候维修的总时间为3t1 min,依此类推,等候的总时间为3t12t2t3 min,求其最小值即可.

    【自主解答】 设t1t2t325,30,45的任一排列,

    由排序原理知3t12t2t33×252×3045180(min)

    所以按照维修时间由小到大的顺序维修,可使经济损失降到最小.

    规律总结:

    1.首先理解题意,实际问题数学化,建立恰当模型.

    2.三台电脑的维修时间3t12t2t3就是问题的数学模型,从而转化为求最小值(运用排序原理)

    [再练一题]

    4.有5个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min,那么如何安排这5个人接水的顺序,才能使他们等待的总时间最少?

    【解】 根据排序不等式的反序和最小,可得最少时间为4×55×46×38×210×184(min)

    即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水,等待的总时间最少.

    (四)归纳小结

    排序不等式

    (五)随堂检测

    1.已知xyMx4y4Nx3yy3x,则MN的大小关系是(  )

    AM>N       BMN       CM<N       D.MN

    【解析】 由排序不等式MN.

    【答案】 B

    2abc为正数,Pa3b3c3Qa2bb2cc2a,则PQ的大小关系是(  )

    AP>Q       BPQ       CP<Q       D.PQ

    【答案】 B

     

     

     

     

     

     

    3.已知两组数1,2,34,5,6,若c1c2c34,5,6的一个排列,则c12c23c3的最大值是________,最小值是________.

    【解析】 由排序不等式,顺序和最大,反序和最小,

    最大值为1×42×53×632,最小值为1×62×53×428.

    【答案】 32 28

    六、板书设计

    3.3排序不等式

    教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念

     

    教材整理2 排序不等式

    1

    2

    3

    4

     

    学生板演练习

    七、作业布置

    八、教学反思

     

     

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