江苏省射阳县第二初级中学2022届九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

射阳县第二初级中学2021秋第一次阶段考试

初三数学试卷

（满分：150分，时间：120分钟）

一．选择题（12小题，每题4分，共48分）

1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）

A．y＝（x﹣1）2﹣x2 B．y＝﹣x（x+2） 

C．y＝ D．x＝y2

2．对于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 

C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（﹣1，﹣2）

3．已知＝，则的值是（　　）

A．       B．          C．2 D．

4．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）

A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 

C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，

5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（　　）

A．               B． 

C．               D．

6．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝2，GC＝1，CE＝5，则的值是（　　）

A．            B．      

C．            D．

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，2），B（4，2），C（4，4），以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为1：2，则线段DF的长度为（　　）

A．               B．2      C．2           D．4

8．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（　　）

A．1 B． 

C． D．

9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠BAC，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　）

A．1对      B．2对      C．3对 D．6对

10．如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA＝2OD，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S，则鱼尾（△DEF）的面积为（　　）

A． B．S 

C．S D．S

11．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＜1 B．m≥ 

C．＜m＜1 D．≤m＜1

12．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则周长的最小值是

A. 5         B. 9          C. 11             D. 13

二．填空题（8小题，每题4分，共32分）

13．若y＝（2﹣a）x是二次函数，则a＝　   　．

14．二次函数y＝x2+1的顶点坐标为 　      　．

15．若线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项为　 　．

16．在比例尺为1：80000的地图上，一条街道的长约为2.5cm，它的实际长度约为　 　km．

17．如图，扇子的圆心角为，余下的圆心角为，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为，则x应为________．

18．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为﹣1，则与x轴的另一个交点的横坐标为 　   　．

19．两个相似三角形的相似比是5：7，第一个三角形的最大边长50cm，第二个三角形的最大边长 　     　．

20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，AB＝1，作正方形A1B1C1D1，使顶点A1，B1分别在OA，OB上，边C1D1在AB上；类似地，在Rt△OA1B1中，作正方形A2B2C2D2；在Rt△OA2B2中，作正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形的边长是 　                　．

三．解答题（7小题，共70分）

21.（8分）已知，且，求的值．

 

22.（10分）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B．

求二次函数与一次函数的表达式；

根据图像，写出满足的x的取值范围．

23. （8分）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
    以点C为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为2：1，并直接写出点的坐标；
    与的面积比为_____．
     

24.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且．
求证：∽；
若，，，求FC的长．

25.（12分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如表数据：

上表中x、y的各组对应值满足一次函数关系，请求出y与x的函数关系，并函数关系式；
物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元件：
销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
该工艺厂积极投入到慈善事业，它将该工艺品每件销售利润中抽取2元捐赠给我市的公共卫生事业，并且捐款后每天的利润不低于7600元，则工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多可捐出多少元？
 

26.（10分）如图，CD是的切线，点C在直径AB的延长线上．

求证：；

若，，求CD的长．

27.（12分）函数的图象与性质拓展学习片段展示：

【问题】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则______，点A的坐标为______．
【操作】
将图中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：______．
【探究】
在图中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是______．
【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
如图，若抛物线与x轴交于A，B两点在B左，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
求A、B两点的坐标；用含h的式子表示
当时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．
 

数学答案

1．

【解答】解：A、y＝（x﹣1）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝﹣2x+1，这个函数是一次函数，故此选项不符合题意；

B、y＝﹣x（x+2）＝﹣x2﹣2x，这个函数是二次函数，故此选项符合题意；

C、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意；

D、x＝y2，这里y不是x的二次函数，故此选项不符合题意．

故选：B．

2．

【解答】解：根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，﹣2），对称轴为直线x＝1，故A，B，D错误，

令y＝0，即（x﹣1）2﹣2x2﹣2x﹣1＝0，

∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的图象与x轴有两个交点，

故C正确，

故选：C．

3．

【解答】解：∵＝，

∴a＝，

∴＝＝＝．

故选：D．

4．

【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，

B.1×4≠2×3，故不符合题意，

C.，故不符合题意，

D.，故符合题意，

故选：D．

5．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵DF∥AC，

∴△BDF∽△BAC，

∴＝，

＝，

＝，

＝，

∴≠，

≠，

≠，

故选：C．

6．

【解答】解：∵GC＝1，CE＝5，

∴EG＝CE+CG＝5+1＝6，

∵AB∥EF，

∴∠BAG＝∠GFE，∠ABG＝∠GEF，

∴△ABG∽△FEG，

∴＝，

∵BG＝2，EG＝6，

∴＝＝，

故选：B．

7．

【解答】解：∵A（2，2），B（4，2），C（4，4），

∴AB＝2，BC＝2，

由勾股定理得：AC＝＝2，

∵以原点为位似中心，在原点的异侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，相似比为1：2，

∴线段DF的长度为AC＝，

故选：A．

8．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴△ECF∽△DFA，

∵BE＝EC，

∴EF：FD＝EC：AD＝1：2，

故选：D．

9．

【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，

∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，

∵AD、AE三等分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，

∴∠BAE＝∠CAD＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°，

∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD．

故选：D．

10．

【解答】解：∵△ABC与△DEF是以O为位似中心位似图形，OA＝2OD，

∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，

∴＝22＝4，

∵△ABC的面积为S，

∴△DEF的面积S，

故选：C．

11．

【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，

∴开口方向向上，

其对称轴为x＝﹣1，

则＜0，2m﹣1≥0，

解得≤m＜1．

如图：

故选：D．

12. 答案C

13．

【解答】解：由题意得：a2﹣2＝2且2﹣a≠0，

解得：a＝﹣2，

故答案为：﹣2．

14．

【解答】解：由顶点式可知 y＝x2+1的顶点为（0，1）．

故答案为：（0，1）．

15．

【解答】解：设线段a，b的比例中项为x，

∴，

∵a＝4，b＝9．

∴，

解得：x＝6．

故答案为：6．

16．

【解答】解：设它们之间的实际距离约为x千米，

2.5cm＝0.0025km，

则1：80000＝0.0025：x，

解得x＝2，

故答案为：2．

17．135°

18．

【解答】解：∵二次函数y＝ax2+6ax+c＝a（x+3）2﹣6a+c，

∴该函数的对称轴是直线x＝﹣3，

∵二次函数y＝ax2+6ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），

∴它与x轴的另一个交点的坐标是：（﹣5，0），

故答案为：﹣5．

19．

【解答】解：设另一个三角形的最大边长为xcm，

根据题意得，50：x＝5：7，

解得x＝70．

故答案为：70cm．

20.

【解答】解：法1：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：

∵A1B1∥AB，

∴ON⊥A1B1，

∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，

∴OM＝AB＝，

又∵△OA1B1为等腰直角三角形，

∴ON＝A1B1＝MN，

∴ON：OM＝1：3，

∴第1个正方形的边长A1C1＝MN＝OM＝×＝，

同理第2个正方形的边长A2C2＝ON＝×＝，

则第n个正方形AnBnDn∁n的边长；

法2：由题意得：∠A＝∠B＝45°，

∴AC1＝A1C1＝C1D1＝B1D1＝BD1，AB＝1，

∴C1D1＝AB＝，

同理可得：C2D2＝A1B1＝AB＝，

依此类推∁nDn＝．

故答案为．

21.【答案】解：设，
，，，
，
，
解得：，
，，，
．
 

【解析】本题考查的是比例的性质，代数式求值有关知识，设，然后再代入求出k，最后再解答即可．
 

22.【答案】解：抛物线经过点， 
，
，
抛物线解析式为，
点C坐标，
对称轴，B、C关于对称轴对称，
点B坐标，
经过点A、B，
，解得，
一次函数解析式为，
由图象可知，写出满足的x的取值范围为或．
 

【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式．
根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．
 

23.【答案】解：

如图，为所作；点的坐标为；

：1．

【解析】

本题考查了作图位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
延长CA到使，延长CB到使，从而得到；然后写出点的坐标；

利用位似的性质求解．

【解答】
解：见答案；

与的面积比为4：1．

故答案为4：1．

24.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，．
，．
又，
．
∽；
∽，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
．
．
．
 

【解析】【试题解析】

本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出，．
由平行四边形的性质可知，所以，，又因为又，进而可证明：∽；
由可知：∽，所以，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算即可．

25.【答案】解：设这个一次函数为 ，
这个一次函数的图象经过 ，两点，
则，
解得，
答：函数关系式是：；
设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：
，
当  时，W有最大值 9000，且当  时，W的值随着x值的增大而增大，
，
当时，元．
答：当销售单价定为 45 元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为8750元．
设，
，
，
整理得：，
，
，
，
销售单价最高不能超过45元件，
，
销售量，
当时，销售量最大，从而捐款最多，
最多可捐款：元．
答：工艺厂每天从这件工艺品的利润中最多可捐出760元．
 

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式即可；
根据“总利润单件利润销售量”列出函数关系式，将解析式配方成顶点式，结合x的取值范围利用二次函数的性质求解可得；设，则，解得x的范围，再根据销售量函数及销售单价最高不能超过45元件，可得答案．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在成本利润问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

26.答案】证明：连接OD，如图所示．
，
．
是的切线，OD是的半径，
．
是的直径，
，
，
．
解：，，
∽，
，
，
，
，
 又，
．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：利用等角的余角相等证出；利用相似三角形的性质找出；
连接OD，由可得出，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于，利用等角的余角相等，即可证出；
由、可得出∽，根据相似三角形的性质结合．
 

27.【答案】【问题】
1，．
【操作】 
．
【探究】
或；
【应用】
令得，
解得：、，
点；
当时，新图象的函数值y随x的增大而增大，
且或，
解得：或．