2017年福州市长乐市航城中学中考模拟数学试卷

这是一份2017年福州市长乐市航城中学中考模拟数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 若 a+b<0，ab>0，那么这两个数
A. 都是正数B. 都是负数C. 一正一负D. 符号不能确定

2. 由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是
A. 主视图的面积最小B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小D. 三个视图的面积相等

3. 2014 年 5 月，中俄两国签署了供气购销合同．从 2018 年起，俄罗斯开始向我国供气，最终达到每年 380 亿立方米．380 亿这个数据用科学记数法表示为
A. 3.8×109B. 3.8×1010C. 3.8×1011D. 3.8×1012

4. 下列选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为 α，第二次转过的角度为 β，则 β 等于
A. αB. 90∘−αC. 180∘−αD. 90∘+α

6. 某班有 30 名男生和 20 名女生，60% 的男生和 30% 的女生参加了天文小组，该班参加天文小组的人数占全班人数的
A. 60%B. 48%C. 45%D. 30%

7. 下列运算正确的是
A. 3a2+5a2=8a4B. a6⋅a2=a12
C. a+b2=a2+b2D. a2+10=1

8. 在 △ABC 中，它的底边是 a，底边上的高是 h，则三角形面积 S=12ah，当 a 为定长时，在此式中
A. S,h 是变量，12,a 是常量B. S,h,a 是变量，12 是常量
C. a,h 是变量，12,S 是常量D. S 是变量，12,a,h 是常量

9. 在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，其周长为 20 cm，则 AB 边的取值范围是
A. 1 cmC. 4 cm
10. 若 5k+20<0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x−k=0 的根的情况是
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断

11. 如图，D 为 △ABC 内部一点，E，F 两点分别在 AB，BC 上，且四边形 DEBF 为矩形，直线 CD 交 AB 于点 G．若 CF=6，BF=9，AG=8，则 △ADC 的面积为多少?
A. 16B. 24C. 36D. 54

12. 矩形 ABCD 中，AD=8 cm，AB=6 cm．动点 E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动至点 B 停止，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1 cm/s 的速度运动至点 D 停止．如图可得到矩形 CFHE，设运动时间为 x（单位：s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（单位：cm2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是图中的
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 某同学在计算 11+x 的值时，误将“+”看成了“−”，计算结果为 20，那么 11+x 的值应为 ．

14. 函数 y=1−2xx 的自变量 x 的取值范围是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，AB=8，AC=5，∠A=60∘，⊙O 是三角形的内切圆，如果在这个三角形内随意抛一粒豆子，则豆子落在 ⊙O 内的概率为 ．

16. 如图，点 B，C 都在 x 轴上，AB⊥BC，垂足为 B，M 是 AC 的中点，若点 A 的坐标为 3,4，点 M 的坐标为 1,2，则点 C 的坐标为 ．

17. 在直径为 10 cm 的圆中，弦 AB 的长为 8 cm，则它的弦心距为 cm．

18. 如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图（2）；再分别连接图（2）中间的小三角形的中点，得到图（3），按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下面问题，在第 n 个图形中有 个三角形（用含 n 的式子表示）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：π−40+∣3−tan60∘∣−12−2+27．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，延长 BE 交 CD 的延长线于点 F．
（1）若 ∠F=20∘，求 ∠A 的度数；
（2）若 AB=5，BC=8，CE⊥AD，求平行四边形 ABCD 的面积．

21. 初中生在数学运算中使用计算器的现象越来越普遍，某校一兴趣小组随机抽查了本校若干名学生使用计算器的情况．以下是根据抽查结果绘制出的不完整的条形统计图和扇形统计图：
请根据上述统计图提供的信息，完成下列问题：
（1）这次抽查的样本容量是 ；
（2）请补全上述条形统计图和扇形统计图；
（3）若从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是多少?

22. 如图，直角 △ABC 内接于 ⊙O，点 D 是直角 △ABC 斜边 AB 上的一点，过点 D 作 AB 的垂线交 AC 于 E，过点 C 作 ∠ECP=∠AED，CP 交 DE 的延长线于点 P，连接 PO 交 ⊙O 于点 F．
（1）求证：PC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 PC=3，PF=1，求 AB 的长．

23. 为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）．
阶梯一户居民每月用电量x单位:度电费价格单位:元/度一档02800.82
（1）已知小华家四月份用电 200 度，缴纳电费 105 元；五月份用电 230 度，缴纳电费 122.1 元，请你根据以上数据，求出表格中 a，b 的值；
（2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过 208 元，那么小华家六月份最多可用电多少度?

24. 如图，电信部门计划修建一条连接 B，C 两地电缆，测量人员在山脚 A 处测得 B，C 两处的仰角分别是 37∘ 和 45∘，在 B 处测得 C 处的仰角为 67∘．已知 C 地比 A 地髙 330 米（图中各点均在同一平面内），求电缆 BC 长至少为多少米?（精确到 1 米，参考数据：sin37∘≈35，tan37∘≈34，sin67∘≈1213，tan67∘≈125）

25. 如图 1，四边形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A，D，交 y 轴于点 E，连接 AB，AE，BE．已知 tan∠CBE=13，A3,0，D−1,0，E0,3．
（1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；
（2）求证：CB 是 △ABE 外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设 △AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0答案
第一部分
1. B【解析】∵ab>0，
∴a，b 同号，
∵a+b<0，
∴a，b 都是负数．
2. B【解析】该几何体主视图的面积等于 4 个小正方形的面积，
该几何体左视图的面积等于 3 个小正方形的面积，
该几何体俯视图的面积等于 4 个小正方形的面积，
∴ 该几何体左视图的面积最小．
3. B【解析】380亿＝38000000000＝3.8×1010．
4. B【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
5. C
【解析】由条件可知 ∠BAC=180∘−α，
∵AB∥CD，
∴β=∠BAC，
∴β=180∘−α．
6. B【解析】由题意可得全班人数 50 名，参加天文小组的男生为 18 名，女生为 6 名．参加天文小组的总人数为 24 名，故可解得结果为 48%．
7. D【解析】根据合并同类项法则，3a2+5a2=8a2，A 错；
根据同底数幂的乘法法则，a6⋅a2=a6+2=a8，B 错；
根据完全平方公式 a+b2=a2+2ab+b2，C错；
因为 a2+1≠0，根据非零数的零次幂等于 1，D正确．
8. A【解析】∵ 三角形面积 S=12ah，
∴ 当 a 为定长时，在此式中 S，h 是变量，12，a 是常量．
9. B【解析】设 AB=xcm，则 AC=xcm，BC=20−2xcm．
根据三角形的三边关系，得 x+x>20−2x,20−2x+x>x，解得 5所以 5 cm10. A
【解析】因为 5k+20<0，
所以 k<−4．
判别式 Δ=16−4−k=16+4k<16+4×−4=0，
因此原方程无实数根．
11. B【解析】S△ADC=S△AGC−S△ADG=12×AG×BC−12×AG×BF=12×8×6+9−12×8×9=60−36=24.
12. A【解析】由题意可得，当 0≤x≤4 时，y=6×8−2x⋅x=−2x2+48，函数图象是抛物线的一部分．开口向下；当 4第二部分
13. 2
14. x≤12 且 x≠0
15. 3π10
【解析】作 CD⊥AB 于 D，如图，
∵∠A=60∘，
∴∠ACD=30∘，
∴AD=12AC=52，
∴CD=532，BD=AB−AD=112，
∴BC=7，
设 △ABC 的内切圆半径为 r，
12×AB+BC+AC×r=12×AB×CD，
解得 r=3，
12×AB×CD=12×8×532=103，
π×32=π×3=3π，
豆子落在 ⊙O 内的概率为 3π103=3π10．
16. −1,0
17. 3
【解析】如图，
∵ 直径为 10 cm，
∴ OA=5 cm，
∵ OC⊥AB，
∴ AC=12AB=4 cm，
在 Rt△OAC 中，根据勾股定理，得
OC=OA2−AC2=52−42=3cm．
∴ 弦心距为 3 cm．
18. 4n−3
【解析】分别数出图（1）、图（2）、图（3）中的三角形的个数，
图（1）中三角形的个数为 4×1−3=1（个）；
图（2）中三角形的个数为 4×2−3=5（个）；
图（3）中三角形的个数为 4×3−3=9（个）；
⋯
按照这个规律可知：第 n 个图形中的三角形的个数为 4n−3 个．
第三部分
19. 原式=1+3−3−4+33=23.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBF，∠ABE=∠F=20∘，
∵∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠AEB=∠ABE=20∘，
∴AE=AB，∠A=180∘−20∘−20∘÷2=140∘．
（2） ∵AE=AB=5，AD=BC=8，
∴DE=AD−AE=3，
∵CE⊥AD，CD=AB=5，
∴CE=CD2−DE2=52−32=4，
∴ 平行四边形 ABCD 的面积为 AD⋅CE=8×4=32．
21. （1） 160
【解析】100÷62.5%=160．
即这次抽查的样本容量是 160．
（2） 不常用计算器的人数为 160−100−20=40；
不常用计算器的百分比为 40÷160=25%，不用计算器的百分比为 20÷160=12.5%．
条形统计图和扇形统计图补全如下：
（3） ∵ “不常用”计算器的学生数为 40，抽查的学生人数为 160，
∴ 从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”计算器的概率是 40160=14．
答：从这次接受调查的学生中，随机抽查一名学生恰好是“不常用”的概率是 14．
22. （1） 连接 OC .
∵ PD⊥AB，
∴ ∠ADE=90∘，
∵ ∠ECP=∠AED，∠EAD=∠ACO，
∴ ∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90∘ .
∴ PC⊥OC .
∴ PC 是 ⊙O 切线．
（2） 设 OC=OF=x .
∵∠OCP=90∘ ，
由勾股定理，得 OP2=OC2+PC2 .
∴r+12=r2+32 .
∴r=4 .
∵∠ACB=90∘ ，
∴AB 是直径.
∴ AB=8．
23. （1） 由题意得：180a+200−180b=105,230−180b+180a=122.1,
解得：a=0.52,b=0.57,
答：a 的值是 0.52，b 的值是 0.57．
（2） ∵ 当 x=280 时，
180×0.52+280−180×0.57=150.6<208，
∴ 小华家用电量超过 280 度．
设小华家六月份用电量为 m 度，根据题意得：0.52×180+280−180×0.57+m−280×0.82≤208，
解得：m≤350，
答：小华家六月份最多可用电 350 度．
24. 如图，过点 C 作经过点 A 的水平直线的垂线，垂足为点 D，CD 交过点 B 的水平直线于点 E，过点 B 作 BF⊥AD 于点 F，
则 CD=330 米，
∵ ∠CAD=45∘，
∴ ∠ACD=45∘，
∴ AD=CD=330 米，
设 AF=4x 米，则 BF=AF⋅tan37∘≈4x⋅34=3x（米），FD=330−4x 米，
由四边形 BEDF 是矩形可得：BE=FD=330−4x 米，ED=BF=3x 米，
∴ CE=CD−ED=330−3x 米，
在 Rt△BCE 中，CE=BE⋅tan67∘，
∴ 330−3x=330−4x×125，解得 x=70，
∴ CE=330−3×70=120（米），
∴ BC=CEsin∠CBE=120sin67∘≈130（米）．
答：电缆 BC 长至少 130 米．
25. （1） 由题意，设抛物线解析式为 y=ax−3x+1．
将 E0,3 代入上式，解得：a=−1．
∴y=−x2+2x+3．
∴ 点 B1,4．
（2） 如图 1，过点 B 作 BM⊥y 轴于点 M，
则 M0,4．
在 Rt△AOE 中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45∘，AE=OA2+OE2=32．
在 Rt△EMB 中，EM=OM−OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45∘，BE=EM2+BM2=2．
∴∠BEA=180∘−∠1−∠MEB=90∘．
∴AB 是 △ABE 外接圆的直径．
在 Rt△ABE 中，tan∠BAE=BEAE=13=tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在 Rt△ABE 中，∠BAE+∠3=90∘，
∴∠CBE+∠3=90∘．
∴∠CBA=90∘，即 CB⊥AB．
∴CB 是 △ABE 外接圆的切线．
（3） 存在，P10,0，P29,0，P30,−13．
【解析】
如图，在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，tan∠BAE=13，sin∠BAE=1010，cs∠BAE=31010；
若以点 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABE 相似，则 △DEP 必为直角三角形；
①当 DE 为斜边时，P1 在 x 轴上，此时 P1 与 O 重合；
由 D−1,0，E0,3，得 OD=1，OE=3，即 tan∠DEO=13=tan∠BAE，
即 ∠DEO=∠BAE，满足 △DEO∽△BAE 的条件，
因此点 O 是符合条件的点 P1，坐标为 0,0．
②当 DE 为短直角边时，点 P2 在 x 轴上；
若以 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABE 相似，则 ∠DEP2=∠AEB=90∘，sin∠DP2E=sin∠BAE=1010；
∵DE=12+32=10，
∴DP2=DE÷sin∠DP2E=10÷1010=10，OP2=DP2−OD=9，即：P29,0．
③当 DE 为长直角边时，点 P3 在 y 轴上；
若以 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABE 相似，则 ∠EDP3=∠AEB=90∘，cs∠DEP3=cs∠BAE=31010；
∴EP3=DE÷cs∠DEP3=10÷31010=103，OP3=EP3−OE=13；
综上，得：P10,0，P29,0，P30,−13．
（4） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b．
将 A3,0，B1,4 代入，得 3k+b=0,k+b=4, 解得 k=−2,b=6.
∴y=−2x+6．
过点 E 作射线 EF∥x 轴交 AB 于点 F，
当 y=3 时，得 x=32，
∴F32,3．
情况一：如图 2，当 0则 ON=AG=t，
过点 H 作 LK⊥x 轴于点 K，交 EF 于点 L．
由 △AHG∽△FHM，得 AGFM=HKHL，即 t32−t=HK3−HK，
解得 HK=2t．
∴S阴=S△MNG−S△SNA−S△HAG=12×3×3−123−t2−12t⋅2t=−32t2+3t.
情况二：如图 3，当 32由 △IQA∽△IPF，得 AQFP=IQIP．即 3−tt−32=IQ3−IQ，
解得 IQ=23−t，
∵AQ=VQ=3−t，
∴S阴=12IV⋅AQ=123−t2=12t2−3t+92．
综上所述，S=−32t2+3t,0