浙江省宁波赫威斯肯特学校2021-2022学年高二上学期第一次阶段性测试数学【试卷+答案】

这是一份浙江省宁波赫威斯肯特学校2021-2022学年高二上学期第一次阶段性测试数学【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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宁波赫威斯肯特学校第一次阶段性测试高二数学试题卷
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（    ）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个白球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是白球2．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（    ）A． B． C． D．3．在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（    ）．                                 第3题                                                                    第6题A． B． C． D．4．总数为10万张的彩票，中奖率是，则下列说法中正确的是（    ）A．买1张一定不中奖 B．买1000张一定中奖C．买2000张一定中奖 D．买2000张不一定中奖5．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．如图，正方体中，是的中点，则（    ）A．直线与直线相交，直线平面B．直线与直线平行，直线//平面C．直线与直线垂直，直线//平面D．直线与直线异面，直线平面7．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。8．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（    ）A．两人都中靶的概率为0.72B．恰好有一人中靶的概率为0.18C．两人都脱靶的概率为0.14D．恰好有一人脱靶的概率为0.269．如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．当时，，，三点共线B．当时，C．当时，平面D．当时，平面                          第9题                                                          第10题10．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．平面B．与平面所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为三、填空题：本题共4小题，单空每题3分，双空每题4分，共14分11．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．12．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是_________．13．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，则第一次取出的是黑球的概率为___________；第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为___________.14．如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，，，，则______（用表示），的值为______．四、简答题：本题共4小题，共43分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(7分) 已知，，求，，，，．16．(8分)甲、乙、丙分别对一个目标射击，甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标：（1）求目标被击中的概率；（2）求三人中至多有1人击中目标的概率．17．(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1//平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．18．(15分) 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．
宁波赫威斯肯特学校第一次阶段性测试考试范围：必修二第十章、选择性必修一第一章；考试时间：90分钟；一、单选题1．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（    ）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个白球C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D．至少有一个黑球与都是白球2．从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（    ）A． B． C． D．3．在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（    ）．A． B． C． D．4．总数为10万张的彩票，中奖率是，则下列说法中正确的是（    ）A．买1张一定不中奖 B．买1000张一定中奖C．买2000张一定中奖 D．买2000张不一定中奖5．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．如图，正方体中，是的中点，则（    ）A．直线与直线相交，直线平面B．直线与直线平行，直线//平面C．直线与直线垂直，直线//平面D．直线与直线异面，直线平面7．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）A． B． C． D． 二、多选题8．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（    ）A．两人都中靶的概率为0.72B．恰好有一人中靶的概率为0.18C．两人都脱靶的概率为0.14D．恰好有一人脱靶的概率为0.269．如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．当时，，，三点共线B．当时，C．当时，平面D．当时，平面10．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（    ）A．平面B．与平面所成角的余弦值为C．三棱锥的体积为D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 三、双空题11．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球.如果不放回地依次取出2个球，则第一次取出的是黑球的概率为___________；第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为___________.12．如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，，，，则______（用表示），的值为______． 四、填空题13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．14．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是_________． 五、解答题15．已知，，求，，，，．16．甲、乙、丙分别对一个目标射击，甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标：（1）求目标被击中的概率；（2）求三人中至多有1人击中目标的概率．17．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）求证：BD1//平面ACE；（2）求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．18．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角正切值的大小．
参考答案1．C【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，故错误；C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故错误；故选：C2．A【分析】由条件列出随机试验的所有基本事件，再确定事件至少有一个白球中所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求事件的概率.【详解】设3个红球分别记为a，b，c，2个白球分别记为d，e，则从袋子中随机摸出2个球的所有可能的结果为，共10种，符合至少有一个白球条件的结果为，共7种，所以事件至少有一个白球的概率为概率，故选：A．3．B【分析】以为原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，求得，的坐标，然后由求解.【详解】以为原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，不妨设棱长为1，则，，，，，∴，．设与所成的角为∴．故与所成的角的余弦值为．故选：B4．D【分析】根据概率的意义即可得正确答案.【详解】中奖率是只是刻画了中奖的可能性，随机事件发生与否是随机的，概率不能决定是否发生，因此选项ABC说法都不正确；选项D正确说法正确；故选项：D.5．C【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.【详解】因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C6．C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平行与垂直，即可判断；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，，所以，，，所以与不平行，故直线与直线不平行，即B错误；，所以，所以，设面的法向量为，即，令，则，，所以，所以，因为平面，所以平面，故C正确；因为，，故与不垂直，故D错误；因为，，所以与不相交，故A错误；故选：C7．A【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，所以其体积为.设正四面体内切球的半径为，则，得.如图，取的中点为，则.显然，当的长度最小时，取得最小值.设正四面体内切球的球心为，可求得.因为球心到点的距离，所以球上的点到点的最小距离为，即当取得最小值时，点到的距离为.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.8．AD【分析】由积事件的概率判断A，由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C，由互斥事件的和判断D.【详解】记“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，则两两独立.因为，，所以，.对于选项A：“两人都中靶”，，故A正确；对于选项B：“恰好有一人中靶”，，故B不正确；对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是，故C错误；对于选项D：“恰好有一人脱靶”，由B知，概率为0.26，故D正确.故选：AD9．ACD【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系对A，根据长方体的性质判定即可；对B，根据可得点的位置，再计算是否为0即可；对C，求解平面的法向量，并判断即可；对D，根据可得点的位置，再分别证明，即可【详解】在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，，，，，，，则，．A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确．B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误．C选项，当时，．设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确．D选项，当时，，所以，所以，，因此，．又，则平面，故D正确．故选：ACD．10．BD【分析】取的中点，的中点，连接，则由已知可得平面 ，而底面为矩形，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取的中点，的中点，连接，因为三角形为等边三角形，所以,因为平面平面，所以平面 ，因为，所以两两垂直，所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴 ，轴，建立空间直角坐标系，则，，因为点是的中点，所以，平面的一个法向量为，，显然 与不共线，所以与平面不垂直，所以A不正确；，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设与平面所成角为，则，所以，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C不正确；设四棱锥外接球的球心为，则，所以，解得，即为矩形对角线的交点，所以四棱锥外接球的半径为3，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确.故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.11．        【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，事件B表示“第二次取出的是白球”.黑球有3个，球的总数为5个，所以.第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为.12．        【分析】根据平面向量的基本定理，结合题意，即可求得表达式，同理可得表达式，根据数量积公式，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得：.同理可得，所以因为四面体的所有棱长都等于1，所以，所以13．【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，故该密码被成功破译的概率．故答案为：．14．【分析】根据投影向量的计算公式计算出投影向量.【详解】依题意向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为：15．；；；； .【分析】根据空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】；；；； .16．（1）； （2）.【分析】（1）根据题意，求得目标不被击中的概率为，结合对立事件概率的计算公式，即可求得目标被击中的概率；.（2）由题意，可分为两类：①三人都未击中；②三人中恰有1人击中，结合对立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，可得目标不被击中的概率为，所以由对立事件的概率公式，可得目标被击中的概率为.（2）由题意，可分为两类：①三人都未击中，其概率为；②三人中恰有1人击中，其概率为，所以三人中至多有1人击中目标的概率为.17．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）设，连接EF，由中位线定理得线线平行，再根据线面平行的判定定理可得答案；（2）以所在的直线为轴的正半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出 ，平面的法向量由数量积公式可得答案．【详解】（1）证明：设，连接EF，则，  又∵面ACE，面ACE，∴面ACE.    （2）以所在的直线为轴的正半轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，设为平面的一个法向量，所以，即，令，则，所以，所以，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为．18．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【分析】（1）本题首先可根据三棱柱是直三棱柱得出，然后根据勾股定理得出，最后通过线面垂直的判定与性质即可证得结论；（2）本题可通过三角形的中位线的相关性质得出，然后根据线面平行的判定即可证得结论；（3）本题首先可作空间直角坐标系，然后求出平面的法向量以及平面的法向量，最后根据以及同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，，因为，，，所以，，因为，所以平面，.（2）如图，与交于点，连接，因为三棱柱是直三棱柱，，，所以四边形是正方形，点是线段中点，因为点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（3）如图，构建空间直角坐标系，则，，，，，，，，因为平面，所以是平面的法向量，设是平面的法向量，则，即，设，则，，，设二面角为，则，，，二面角的正切值为.【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定与性质、线面平行的判定以及二面角的正切值的求法，可借助空间向量以及同角三角函数关系求出二面角的正切值，若直线与平面垂直，则直线垂直平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题.