专题25 构造函数法解决导数问题(原卷版)

专题25 构造函数法解决导数问题

【知识总结】

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。若直接构造函数，则很难借助导数研究其单调性。

【例题讲解】

【例1】已知函数f(x)＝ax2－xlnx。

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋。

【变式训练】　设函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线e2x－y＋e＝0垂直。

(1)若f(x)在(m，m＋1)上存在极值，求实数m的取值范围；

(2)求证：当x>1时，不等式>。

【例题训练】

一、多选题

1．函数在上有唯一零点，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．函数必有2个零点 D．

3．设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（    ）

A． B．在处取得极大值

C． D．在单调递增

6．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（    ）

A．在内单调递增；

B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；

C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；

D．和之间存在唯一的“隔离直线”.

7．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　

A． B．

C． D．

二、单选题

8．已知数列满足，.若恒成立，则实数的最大值是（    ）(选项中为自然对数的底数，大约为)

A． B． C． D．

9．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知是定义在上的奇函数，且时，又，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）

A．

B．

C．

D．

13．已知奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

14．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

15．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

16．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

17．已知函数的定义域为，为的导函数.若，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

18．函数，，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

19．已知函数，若不等式对于任意的非负实数都成立，求实数的取值范围为（    ）

A．， B．， C．， D．，

20．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf ′(x)＜2，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是（    ）

A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)

C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

21．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

22．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C．(0，2020] D．(1，2020]

23．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

24．已知函数的导函数为，为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（  ）

A． B． C． D．

25．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数，且满足，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

26．已知函数f(x)的定义域为R，f(-1)=3，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x+6的解集为（    ）

A．(-1，+∞) B．(-1，1) C．(-∞，-1) D．(-∞，+∞)

27．奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

28．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

29．函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

30．已知、，函数恰有两个零点，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

31．定义在R上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

32．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

33．设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

三、解答题

34．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，是方程的两个不同实根，证明：.

35．已知函数在点处的切线方程为.

（1）求实数，的值﹔

（2）若函数，试讨论函数的零点个数.

36．已知实数，函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若是函数的极值点，曲线在点､()处的切线分别为､，且､在y轴上的截距分别为､.若，求的取值范围.

37．设函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.

38．已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，方程有实数解，求实数的取值范围.

39．给出如下两个命题：命题，；命题已知函数，且对任意，，，都有.

（1）若命题为假，求实数的取值范围.

（2）若命题为假，为真，求实数的取值范围.

40．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点、，求的取值范围.

41．已知函数.

（1）求的单调区间.

（2）若在区间上不单调，证明：.

42．已知函数，其中.

（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；

（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由

43．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数，当且，求证：.

44．已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

45．已知函数满足:①定义为；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范围；

（3）设，试求方程的解.