人教版数学九年级上册月考模拟试卷四（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷四（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）

A．点P B．点Q C．点R D．点M
3．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，且∠AOC=70°，则∠A等于（　　）

A．145° B．140° C．135° D．120°
4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（　　）

A．70° B．110° C．140° D．220°
5．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（　　）
A．12 B． C．8 D．10.5
6．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2
7．设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．2
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（　　）

A．R=2r B．R= C．R=3r D．R=4r
10．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B．C点都在第一象限内，且AO=AC，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OC所在的直线相切，则t=（　　）

A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．7
二、填空题
11．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的关系是　　．
12．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为　　m．


13．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=　　cm．

14．在边长为3cm、4cm、5cm的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为　　cm．
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为　　．

16．如图，在直角坐标系中，点A（0，5），点P（2，3），将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则点P'的坐标为　　．

17．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为　　．

18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　　．

　


三、解答
19．解方程：
（1）（2x﹣1）2=9 （2）（x+1）（x+2）=2x+4


（3）3x2﹣4x﹣1=0 （4）+=1．




20．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=，求证：AB=AD．




21．“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？






22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=1，求⊙O的直径．







23．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．
（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；
（2）若某用户该月应交水费42元，则该月用水多少吨？








24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E．
（1）求证：AE=BE；
（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．






25．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）写出每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系式；
（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？








26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．

　
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4；
∴AC=AB=2．
故选D．
　
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）

A．点P B．点Q C．点R D．点M
【考点】垂径定理．
【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．
【解答】解：连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．
故选B．

　
3．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，且∠AOC=70°，则∠A等于（　　）

A．145° B．140° C．135° D．120°
【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．
【分析】先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出∠ABC，再用平行四边形的邻角互补，求出∠A．
【解答】解：∵AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，
∴∠ABC=∠AOC=×70°=35°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°﹣∠ABC=145°，
故选A
　
4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（　　）

A．70° B．110° C．140° D．220°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据周角可以计算360°﹣∠α=220°，再根据圆周角定理，得∠A=220°÷2=110°．
【解答】解：∵∠1=360°﹣∠α=220°，
∴∠A=∠1=220°÷2=110°．
故选B．

　
5．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（　　）
A．12 B． C．8 D．10.5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是．
【解答】解：如图所示，OP⊥AB，
则AB是过点P最短的弦，
∴AP=BP，
OA=6，OP=4，
在Rt△AOP中，AP=，
所以AB=．
由于8＜，所以过点P的弦长不可能为8．
故选C．

　
6．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0且2+x≠0，
解得x≤1且x≠﹣2．
故选B．
　
7．设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1、α•β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，
∴α+β=﹣1，α•β=﹣2，
∴（α﹣2）（β﹣2）=α•β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4．
故选C．
　
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=22﹣4×k×（﹣1）≥0，
解上式得，k≥﹣1，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣1且k≠0．
故选D．
　
9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（　　）

A．R=2r B．R= C．R=3r D．R=4r
【考点】弧长的计算．
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是： =，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2πr，
∴=2r，
即：R=4r，
r与R之间的关系是R=4r．
故选D．
　
10．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B．C点都在第一象限内，且AO=AC，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OC所在的直线相切，则t=（　　）

A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．7
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．
【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
∵⊙P恰好与OC所在的直线相切，
∴PC⊥OC，
∵AO=AC=OC，
∴∠AOC=60°，∠COP=30°，
在Rt△OPC中，
OC=OP•cos30°=×=6，
∴1+t=6，
∴t=5．
故答案选C．

　
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的关系是　相切或相交　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于3，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据题意可知，圆的半径r=3．
因为OP=3，当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系；
当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于3，所以是相交的位置关系．
所以L与⊙O的位置关系是：相交或相切，
故答案为：相切或相交．
　
12．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为　　m．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】连接OC，设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，根据垂径定理得到BC=BD=×CD，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r．
【解答】解：如图，连接OC，
设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，
∴BC=BD=×CD=×4=2m
在Rt△OBC中，BC=2m，OB=r﹣1
由勾股定理得：OC2=BC2+OB2
即r2=4+（r﹣1）2
∴r=m．
这个门拱的半径为m．

　
13．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=　5　cm．

【考点】垂径定理；矩形的性质．
【分析】根据轴对称性易求CD长，AB=CD．
【解答】解：∵DE=1，∴CF=1，
∵EF=3，∴DC=5，
∴AB=5．
　
14．在边长为3cm、4cm、5cm的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为　1　cm．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】由三角形的三边长可判断出此三角形是直角三角形；已知了直角三角形三边的长，可直接利用直角三角形内切圆半径公式求出此圆的半径．
【解答】解：根据勾股定理的逆定理，边长为3cm、4cm、5cm的三角形是直角三角形；
若设该直角三角形的内切圆的半径为r，则有：
r==1．
故此圆的半径为1cm．
　
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为　9﹣3π　．

【考点】扇形面积的计算；切线长定理．
【分析】阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积．
【解答】解：连接OA，OB，OP．

根据切线长定理得∠APO=30°，
∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3，∠AOP=60°．
∴四边形的面积=2S△AOP=2××3×3=9；扇形的面积是=3π，
∴阴影部分的面积是9﹣3π．
　
16．如图，在直角坐标系中，点A（0，5），点P（2，3），将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则点P'的坐标为　（3，﹣2）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】如图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F，证△POE≌△P′OF可得P′F=PE=3，OF=OE=2，从而可得点P′的坐标．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F，

∴∠PEO=∠P′FO=90°，
由旋转可知∠POP′=90°，即∠POE+∠P′OA′=90°，OP=OP′，
又∵∠P′OA′+∠P′OF=90°，
∴∠POE=∠P′OF，
在△POE和△P′OF中，
∵，
∴△POE≌△P′OF（AAS），
∴P′F=PE=3，OF=OE=2，
∴点P′坐标为（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．
　
17．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为　180°　．

【考点】圆锥的计算．
【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积等于其底面积的2倍，得到圆锥底面半径和母线长的关系，然后利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．
【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面积=×2πr×R=πRr=2×πr2，
∴R=2r，
∵=2πr=πR，
∴n=180°．
故答案为：180°．
　
18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　12π　．

【考点】轨迹；矩形的性质．
【分析】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=10．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=6，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为： =3π．
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为： =4π．
点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为： =5π．
则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：3π+4π+5π=12π．
故答案是：12π．

　
三、解答与证明（共66分）
19．解方程：
（1）（2x﹣1）2=9
（2）（x+1）（x+2）=2x+4
（3）3x2﹣4x﹣1=0
（4）+=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解分式方程．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；
（2）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案；
（3）直接利用公式法解方程得出答案；
（4）利用分式方程解法去分母进而解方程即可．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2=9
则2x﹣1=±3，
故2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，
解得：x1=2，x2=﹣1；

（2）（x+1）（x+2）=2x+4
（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0，
则（x+2）（x+1﹣2）=0，
故x+2=0或x﹣1=0，
解得：x1=﹣2，x2=1；

（3）3x2﹣4x﹣1=0
b2﹣4ac=16+12=28＞0，
则x=，
解得：x1=，x2=；

（4）去分母得：3+x（x+3）=x2﹣9，
解得：x=﹣4，
经检验：x=﹣4是原方程的根．
　
20．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=，求证：AB=AD．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】连接BD、CE．由已知条件得到，∴=，推出∠ACE=∠AEC，根据等腰三角形的性质得到AC=AE．于是得到结论．
【解答】证明：连BD、CE．
∵=，
∴，∴=，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵=，
∴BC=DE．
∴AC﹣BC=AE﹣DE，
即AB=AD．

　
21．“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，根据“所购数量是第一批数量的1.5倍”得到等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数×1.5，据此列出方程，求解即可．
【解答】解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，
由题意，×1.5=，
解得x=50，
经检验x=50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元，第二批玩具每套的进价是60元．
　
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD=1，求⊙O的直径．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP=90°，从而求解；
（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．

（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，
∴1+x=2x，
解得：x=1
∴OA=PD=1，
所以⊙O的直径为2．

　
23．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．
（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；
（2）若某用户该月应交水费42元，则该月用水多少吨？

【考点】一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【分析】先根据待定系数法求得OA和AB的解析式；再将y=42代入AB的解析式求解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，OA过点（0，0），（15，27），
设y=kx，
∴27=15k，
∴k=，
∴y=x（0≤x≤15）；
当x≥15时，AB过点A（15，27），B（20，39.5），
设y=k1x+b，
则，
解得，
∴y=2.5x﹣10.5（x≥15）；

（2）∵42＞27，
∴令y=42，则42=2.5x﹣10.5，
解得x=21，
故该月用水21吨．

　
24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E．
（1）求证：AE=BE；
（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；
（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．
【解答】解：（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE===，
∴BE=2，
所以AE=2．
　
25．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）写出每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系式；
（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据0≤t≤30、30＜t≤40两种情况，利用待定系数法分别求解可得；
（2）分0≤t≤20、20＜t≤40两种情况，分别求解可得；
（3）分0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤40三种情况，根据总利润=每件产品利润×日销售量，分别求出其最大值，比较后即可得．
【解答】解：（1）由图1可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y=kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
当30＜t≤40时，设市场的日销售量y=k1t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴
解得k1=﹣6，b=240．
∴y=﹣6t+240．
故y=；

（2）由图②可得：
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y=3t；
当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为y=60；
故y=；

（3）①当0≤t≤20时，
y=3t•2t=6t2．
t=20时，y的最大值为2400（万元）；
②当20＜t≤30时，
y=2t•60=120t．
t=30时，y的最大值为3600（万元）；
③当30＜t≤40时，
y=60（﹣6t+240）
=﹣360t+14400
∵k=﹣360＜0，
∴y随t的增大而减小．
∴y＜﹣360×30+14400
即y＜3600（万元）
∴第30天取最大利润3600万元．
　
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）有点B、C的坐标可得出直线BC的表达式，过P作PD∥y轴，交BC于D，设出点P的坐标，由此即可得出点D的坐标，根据三角形的面积以及三角形的面积公式即可得出S四边形ABPC关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，根据菱形的性质即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点P和点P′的坐标，此题得解；
（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），结合点O、C的坐标即可得出OC、OQ、QC的长度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵点B（3，0），点C（0，﹣3），
∴直线BC：y=x﹣3．
过P作PD∥y轴，交BC于D，如图1所示．
设P（a，a2﹣2a﹣3），则点D（a，a﹣3），
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点A（﹣1，0）．
则S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC，
=•AB•|yC|+•OB•DP，
=×4×3+×3×[a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）]，
=﹣+，
∵﹣＜0，0＜a＜3，
∴当a=时，四边形ABPC的面积取最大值，最大值为．
（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示．
∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，
∴四边形POP′C为菱形．
当y=﹣，则有﹣=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=（舍去），x2=，
∴存在点P（，﹣），使四边形POP′C为菱形．
（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC=3，PC==|m|，PO=．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=PC时，3=|m|，
解得：m=±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC=PO时，3=，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当PC=PO时，有|m|=，
解得：m=，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．


　

2016年12月8日