人教版数学九年级上册月考模拟试卷十（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷十（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．方程x2=4的解是（　　）
A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=x2=2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=4
2．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是（　　）
A．﹣1、3 B．1、﹣3 C．﹣1、﹣3 D．1、3
5．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2
C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
8．若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2﹣1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
﹣1.59
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2﹣4ac＜0中成立式子（　　）

A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④
二、填空题
11．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为　 　．
12．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2=1的一个根为0，则a=　 　．
13．将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　 　．
14．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是　 　．

15．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是　 　．
16．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是　 　．

三、解答题
17．解方程
（1）2x2﹣4x=﹣1 （2）3x（2x+1）=4x+2．



18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．
（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；
（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．

19．已知抛物线y=ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．









20．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．






21．二次函数y=ax2+2x﹣1与直线y=2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．



22．如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由．



23．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？







24．如图，在ABCD中，AB=1，BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为　 　时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．







25．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

　
参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
1．方程x2=4的解是（　　）
A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=x2=2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=4
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2=4，
∴x=2或x=﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
4．已知点P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是（　　）
A．﹣1、3 B．1、﹣3 C．﹣1、﹣3 D．1、3
【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．
【解答】解：∵P（﹣b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，
∴﹣b+3=0，2+2a=0，
解得a=﹣1，b=3，
故选：A．
【点评】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．
5．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】把a=1，b=﹣2，c=﹣1代入△=b2﹣4ac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，
∴△b2﹣4ac=4+4=8，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【分析】根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．
【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是=72度．
故选：C．
【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2
C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=1035
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
8．若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2﹣1图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y=x2﹣1图象上的三点，
∴y1=35，y2=8，y3=0，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
﹣1.59
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．
【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2﹣4ac＜0中成立式子（　　）

A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④
【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可；
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②错误，
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，故③正确，
∵对称性x=1，
∴﹣=1，
∴2a+b=0，故④正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，故⑤错误，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
　
二、填空题（每题4分，共24分）
11．若（m﹣2）﹣mx+1=0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
12．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2=1的一个根为0，则a=　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2=1的一个根为0，
∴a+1≠0且a2=1，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
13．将抛物线：y=x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27　．
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．
【解答】解：y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：
y=（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y=x2﹣10x+27．
故答案为：y=（x﹣5）2+2或y=x2﹣10x+27．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
14．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C的度数是　45°　．

【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．
【解答】解：∵∠AOC的度数为105°，
由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，
∴∠AOB=105°﹣40°=65°，
∵△AOD中，AO=DO，
∴∠A=（180°﹣40°）=70°，
∴△ABO中，∠B=180°﹣70°﹣65°=45°，
由旋转可得，∠C=∠B=45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
15．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（2，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是　（﹣2，2）　．
【分析】利用旋转的性质得到OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，作P3H⊥x轴于H，利用含30度的直角三角形求出OH、P3H，从而得到P3点坐标．
【解答】解：如图，∵点P0的坐标为（2，0），
∴OP0=OP1=2，
∵将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，
∴OP2=2OP1=OP3=4，∠xOP2=∠P2OP3=60°，
作P3H⊥x轴于H，
OH=OP3=2，P3H=OH=2，
∴P3（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
16．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是　x1=﹣1，x2=5　．

【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系写出即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点是（5，0），
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1=﹣1，x2=5．
故答案为：x1=﹣1，x2=5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程与二次函数的关系，难点在于熟练掌握二次函数的对称性确定出与x轴的另一交点坐标．
　
三、解答题（共86分）
17．（8分）解方程
（1）2x2﹣4x=﹣1
（2）3x（2x+1）=4x+2．
【分析】（1）利用配方法解方程．配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；
（2）先移项，然后提取公因式（2x+1）进行因式分解，再来解方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣4x=﹣1，
x2﹣2x=﹣，
x2﹣2x+1=﹣+1，
（x﹣1）2=，
x﹣1=±
x=；

（2）方程整理得：3x（2x+1）﹣2（2x+1）=0，
分解因式得：（3x﹣2）（2x+1）=0，
可得3x﹣2=0或2x+1=0，
解得：x1=，x2=﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．
（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；
（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．

【分析】（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1；
（2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图：

∴点A1的坐标（6，1）
（2）点B旋转到点B1所经过的路径长==
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．
19．（8分）已知抛物线y=ax2﹣bx+3经过点A（1，2），B（2，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；
（2）求出x=﹣1时的函数值即可判断；
【解答】解：（1）将点A（1，2），B（2，3）代入y=ax2﹣bx+3，
得
解得，
∴抛物线的函数解析式为y=x2﹣0.5x+3，
（2）当x=﹣1时，y=1+0.5+3=4.5≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上．
【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（8分）已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．

【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则
×（5﹣x）×2x=6，
整理得：x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或x=3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则
×（5﹣x）×2x=8，
整理得：x2﹣5x+8=0，
△=25﹣32=﹣7＜0，
所以，此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8cm2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
21．（8分）二次函数y=ax2+2x﹣1与直线y=2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线y=2x﹣3上，
∴b=2﹣3=﹣1，
∴P（1，﹣1），
把P（1，﹣1）代入y=ax2+2x﹣1，得到a=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=﹣2x2+2x﹣1．

（2）∵y=﹣2（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，﹣），
当x＞时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由．

【分析】（1）根据旋转得出CA=CE，CB=CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出AE=BF，根据矩形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，
∴△ABC≌△EFC，
∴CA=CE，CB=CF，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）解：当∠ABC=60°时，四边形ABEF为矩形，
理由是：∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵CA=CE，CB=CF，
∴AE=BF，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是矩形．
【点评】本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．（10分）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求最大值．
【解答】解：（1）由题意得：
y=60﹣（2分）

（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+12000（3分）

（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）（2分）
=﹣+42x+10800
=﹣（x﹣210）2+15210
当x=210时，w有最大值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
24．（12分）如图，在ABCD中，AB=1，BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为　90°　时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

【分析】（1）根据∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形；
（2）证△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根据∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】解：（1）结论：旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．

理由：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EB，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）当旋转角∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DFO和△BEO中
∵，
∴△DFO≌△BEO（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB=1，BC=，
∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=1=AB，∵∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°，
又∵∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形，
即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定．菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，此题综合性比较强，但是一道比较好的题目．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；
（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x1=﹣3，x2=1，
∵A在B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3，
∴C（0，3）．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）．
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），
∴C′（0，﹣3）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b，
则有，解得：，
∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，
当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，
∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）．
（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，
则有，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F（m，m+3），
△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，
解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，
此时点P的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，
解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，
此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P（m，0），
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，
∴0=﹣m2﹣2m+3，
解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，
此时点P的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．


【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．