2021年北京市丰台区九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年北京市丰台区九年级上学期数学期中试卷含答案，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是(      )

A.                        B.                        C.                        D. 
2.抛物线 的顶点坐标为〔   〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
3.将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是〔   〕
A.            B. ;           C.            D. 
4.二次函数 的图象如下列图，那么以下关于该函数说法中正确的选项是〔   〕

A.                            B.                            C.                            D. 
5.雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位〞．现有一款监测半径为 的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在 点，每一个小格的边长为 那么能被雷达监测到的最远点为〔   〕

A. 点                                   B. 点                                   C. 点                                   D. 点
6.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．那么AB的长为〔   〕

A. 5                                       B. 10                                       C.                                        D. 
7.在 中， ．在同一平面内，将 绕点 旋转到 ，假设 恰好落在线段 上，连接 ．那么以下结论中错误的选项是〔   〕

A.                     B.                     C.                     D. 
8.函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 局部的图象如下列图，对于此函数有以下结论：

①函数图象关于 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当 时， 随 的增大而减小；④当 时，关于 的方程 有 个实数根．其中正确的结论个数是〔   〕
A. 3                                           B. 2                                           C. 1                                           D. 0
二、填空题
9.在平面直角坐标中，点 关于原对称的点的坐标为________．
10.如下列图，四边形ABCD是圆内接四边形，其中 ，那么 ________．

11.写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与 轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以是________．
12.点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案〔如图〕.这个图案绕点O至少旋转________°后能与原来的图案互相重合.

13.如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于点C，假设 ，PB=6，那么PC等于 ________．

14.假设二次函数 的图象上有两点 ，m________n．〔填“＞〞，“ 〞或“ 〞〕
15.如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标分别是 是 的外接圆，那么圆心 的坐标为________， 的半径为________．

三、解答题
16.在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：

…
1
2
3
4
5
6
7
8
…

…
-1.78
-3.70
-4.42
-3.91
-2.20

4.88
10.27
…
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于________〔结果保存小数点后一位〕．
17.二次函数 ．
〔1〕用配方法将其化为 的形式；
〔2〕求出此二次函数的对称轴和二次函数图象与 轴交点的坐标．
18.一个二次函数图象上局部点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：

…
-3
-2
-1
0
1
…

…
0
3
4
3
0
…

〔1〕求这个二次函数的解析式；
〔2〕在直角坐标系中画出二次函数的图象；
〔3〕结合图象，直接写出当 时， 的取值范围．
19.如图， 为等边三角形，将 边绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连接 ，求 的度数﹒

20.下面是“作三角形的高〞的尺规作图过程．
： ．
求作： 边上的高 ．
作法：如图，

①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点；
②作直线 ，交 于点 ，那么直线 是线段 的        ▲          线；
③以 为圆心， 为半径作 ，与 的延长线交于点 ，连接 ，线段 即为所作的高．

〔1〕.补全尺规作图并填空﹔
〔2〕.判断 为高的依据是   1    ．
21.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心 在线段 上， 分米，求拱门所在圆的半径．

22.如图， 的顶点坐标分别为 ．

〔1〕请画出 关于点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
〔2〕四边形 的面积为________．
23.二次函数 的图象与 轴有公共点．
〔1〕求 的取值范围；
〔2〕当 为正整数时，求此时二次函数与 轴的交点坐标．
24.如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度 为 拱桥的最高点 到水面 的距离为 ．

〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕因为上游水库泄洪，水面宽度变为 ，求水面上涨的高度﹒
25.如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．

〔1〕求证：PD是⊙O的切线；
〔2〕假设DE= ，，∠BAC=60°，求⊙O的半径．
26.在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
〔1〕.抛物线 的对称轴为    1   ；
〔2〕.假设在抛物线 上有两点 ，且 ，那么 的取值范围是   1   ；
〔3〕.假设抛物线的顶点纵坐标 的取值范围为 ，求 的取值范围．
27.在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
〔1〕如图1，点 是正方形 内一点， ，你能求出 的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数；
思路二：将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，可求出 的度数．
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
〔2〕如图2，假设点 是正方形 外一点，要使 ，线段PA，PB，PC应满足怎样的等量关系？
请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA，PB，PC满足的等量关系．

28.对于平面上两点 ，给出如下定义：以点 或 为圆心， 长为半径的圆称为点 的“共径圆〞．点 的“共径圆〞的示意图如下列图．

〔1〕点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，那么点 的“共径圆〞的面积为________；
〔2〕点 在以坐标原点为圆心，以 为半径的圆上，点 在直线 上，求点 的“共径圆〞的半径最小值；
〔3〕点 的坐标为 ，点 是 轴及 轴上方的点，如果直线 上存在两个点 ，使得点 的“共径圆〞的面积为 ，直接写出满足条件的 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A为轴对称图形，B、C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，D为中心对称图形，

应选：D．
【分析】此题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵y=-5〔x-1〕2+2，
∴此函数的顶点坐标是〔1，2〕．
故答案为：B．

【分析】根据二次函数顶点式直接写出点坐标即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】将抛物线y=-x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=-2〔x+2〕2；
再向下平移3个单位为：y=-2〔x+2〕2-3．
故答案为：C．

【分析】根据函数平移的性质：左加右减，上加下减；得到新的函数表达式。
4.【答案】 C
【解析】【解答】A．因为抛物线的开口向下，那么a<0；又因为抛物线的对称轴在y轴右侧，那么 >0，所以b>0 ， 故A不符合题意；
B．抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，那么c<0 ， 故B不符合题意；
C．抛物线与x轴一个交点为〔1，0〕，那么x=1时， ，故C符合题意；
D．抛物线与x轴有两个交点，那么 ，故D不符合题意，
故答案为：C.

【分析】根据二次函数图像和其系数的关系，得到a、b、c的正负，再逐项判定即可，
5.【答案】 B
【解析】【解答】PG=3，
PN=4，
PH= ，
PM= ，不在监测范围内，
∴能被雷达监测到的最远点为H点，
故答案为：B．

【分析】利用勾股定理分别求出PG、PN、PH、PM，比较大小即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB= ，
故答案为：C．

【分析】根据题意，由圆周角证出△ABC是等腰三角形，再利用等腰直角三角形的性质求解即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】A、∠BAC=180º- ，
由旋转知 ，不符合题意，
B、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，
∴∠CAA′=∠CA′A= ，符合题意，
C、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，不符合题意
D、∵∠BAC=180º-∠ACB-∠B=25º，∠CAA′= ，
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25º+65º=90º，AB⊥AA′，不符合题意
故答案为：B．

【分析】利用旋转的性质，逐项判定即可。
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图：
①如下列图，函数图象关于y轴对称，故①符合题意．②如下列图，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．③如下列图，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故③符合题意．④如下列图，当-2＜a＜-1时，关于x的方程x2-2|x|-1=a有4个实数根，故④符合题意．
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：A．

【分析】根据函数表达式，画出函数草图，在结合函数图形逐项判定即可。
二、填空题
9.【答案】 〔-1，2〕
【解析】【解答】解：点P的坐标是〔1，-2〕，那么关于原对称的点的坐标为〔-1，2〕，
故答案为：〔-1，2〕．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征求解即可。
10.【答案】 100°
【解析】【解答】∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠A=80°，
∴∠C=180°-80°=100°．
故答案为：100°．

【分析】根据圆内接四边形对角互补计算即可。
11.【答案】 y=-x2-3
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为〔0，-3〕，
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x2-3．
故答案为：y=-x2-3〔答案不唯一〕．

【分析】根据二次函数的图像、性质与其系数的关系，再用待定系数法求解二次函数表达式即可。
12.【答案】 72
【解析】【解答】解：连接OA，OE，那么这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝ ＝72°.
故答案为：72.
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.
13.【答案】
【解析】【解答】解：连结CO，

∵PC切⊙ 于点C，
∴∠PCO=90°，
∵ ，
∴PO=2OC，
∵PB=6，
∴PO+OB=PO+CO=3CO=6，
∴CO=2，
∴PO=6－2=4，
∵ ，
故答案为 ．

【分析】连接OC，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可。
14.【答案】 ＞
【解析】【解答】∵二次函数 ，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线： ．
∴点A〔-3，m〕关于对称轴的对称点为〔1，m〕，
∵-1＜0＜1，
∴m＞n．
故答案为：＞．

【分析】先画出函数的草图，再利用二次函数的性质比较大小即可。
15.【答案】 〔3,3〕；
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是〔0，2〕，〔2，0〕，〔4，0〕，
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为〔3，3〕，
∵ ，
∴⊙M的半径为 ．
故答案为〔3，3〕， ．

【分析】分别作出BC、AB的垂直平分线，求出圆心M的坐标，再利用勾股定理求半径。
三、解答题
16.【答案】 5.8
【解析】【解答】由表格可知，
当x=5时，y=-2.20＜0，当x=6时，y=0.75＞0，
那么关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8〔5.6至5.9均可〕，
故答案为：5.8．

【分析】根据二次函数与一元二次方程近似根的关系，先找y的值，再判断即可。
17.【答案】 〔1〕解：由题意得，
，
，
，
，

〔2〕解：对称轴： ，
令 ，
与 轴的交点的坐标为 ．
【解析】【分析】〔1〕利用配方法将一般式换为顶点式；〔2〕根据〔1〕直接可得对称轴，将x=0代入求解即可。
18.【答案】 〔1〕解：∵抛物线经过点〔-3，0〕，〔1，0〕，〔0，3〕，
∴设抛物线解析式为 ，
把〔0，3〕代入得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
即 ；

〔2〕解：描点，连线，函数图象如下列图，


〔3〕解：观察图象，当-3＜x＜1时，函数的图象都在x轴的上方，
∴当y＞0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【解析】【分析】〔1〕找三点坐标代入用待定系数法求二次函数表达式；〔2〕利用描点、连线作图即可；〔3〕根据图像直接写答案即可。
19.【答案】 解： 为等边三角形，
，
将 边绕点 顾时针旋转 ，
，
， ，
，
．

【解析】【分析】此题的关键是证出点A、B、D再以点C为圆心AC为半径的圆上，再利用圆周角的性质求解即可。 
20.【答案】 〔1〕解：如图，AD为所作；
；垂直平分线

〔2〕直径所对的圆周角是直角
【解析】【解答】〔1〕②作直线 ，交 于点 ，那么直线 是线段 的垂直平分线；〔2〕解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．
故答案为：垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．

【分析】〔1〕根据题干的步骤，作图即可；根据垂直平分线的性质可以判定；〔2〕根据直径所对的圆周角是直角即可。
21.【答案】 解：连接

过圆心， 为 中点，
，
为 中点，
，
设半径为 分米，那么 ，
，
，
在 中， ，
，
．
拱门所在圆的半径是 分米．
【解析】【分析】此题先利用垂径定理求出AC的长度，再利用勾股定理求解即可。
22.【答案】 〔1〕解： 如下列图：

点 的坐标是 ；

〔2〕16
【解析】【解答】解： 〔2〕四边形 的面积=4×4= ．
故答案为：16．

【分析】〔1〕根据要求先分别作出A、C关于点B对称的对应点，再连线即可；〔2〕利用平行四边形的面积计算即可。
23.【答案】 〔1〕解： 二次函数与 轴有公共点









〔2〕解： 为正整数


令

二次函数与 轴的交点坐标为 和 ．
【解析】【分析】〔1〕将二次函数的问题转化为一元二次方程根的判别式的问题；〔2〕根据题意，求m具体的值，再带入求解即可。
24.【答案】 〔1〕解：设二次函数解析式为
由题意得，



解析式为

〔2〕解：由题意得，水面宽度的横坐标为 和 ．

水面上涨的高度为 ．
【解析】【分析】〔1〕根据题意先得到点坐标，再将点坐标带入计算即可；〔2〕根据题意将x=5带入计算即可。
25.【答案】 〔1〕证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAE，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP=90°，
∴∠ODP=∠AEP=90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；

〔2〕解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，
∵AC⊥PE，DE= ，
∴AD=2DE= ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=2BD，
设BD=x，那么AB=2x，
∵AD2+BD2=AB2 ，
∴
∴BD=2，AB=4，
∴AO=2，
∴⊙O的半径为2．
【解析】【分析】〔1〕连接OD，通过角的转化证出∠ODB=90°即可；〔2〕根据30°角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可。
26.【答案】 〔1〕1
〔2〕m＞2或m＜0
〔3〕解：y=a2x2-2a2x+4=a2(x-1) 2-a2+4，
∵顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，
∴0＜-a2+4＜3，
∴1＜a2＜4，
设 ，由图象得，

当 时， 或
∴a的取值范围为：-2＜a＜-1或1＜a＜2．
【解析】【解答】解：〔1〕抛物线G的对称轴为直线 ，
故答案为：1；〔2〕∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
抛物线G上有两点〔2，y1〕，〔m，y2〕，且y2＞y1 ， 那么m的取值范围是m＞2或m＜0；
故答案为：m＞2或m＜0；

【分析】〔1〕根据对称轴的公式计算即可；〔2〕根据二次函数的性质求解即可；〔3〕利用二次函数顶点坐标公式先求出点坐标，再列不等式即可。
27.【答案】 〔1〕解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，

那么△ABP'≌△CBP，AP'=CP=3，BP'=BP=2，∠PBP'=90°
∴∠BPP'=45°，
根据勾股定理得， ，
∵AP=1，
∴AP2+P'P2=1+8=9，
又∵P'A2=32=9，
∴AP2+P'P2=P'A2 ，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
思路二：
将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，

∴P'B=PB=2，P'C=AP=1，∠P'BP=90°，∠APB=∠BP'C，
∴∠BP'P=45°， ，
∵PC=3，P'C=1，
∴P'C2+PP'2=PC2 ，
∴∠PP'C=90°，
∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BP'C=135°；

〔2〕解：线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2=PC2 ．
如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．

那么△ABP'≌△CBP，AP'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，
∴∠BPP'=45°，
∵∠APB=45°，
∴∠APP'=∠APB+∠BPP'=45°+45°=90°，
∴PA2+P'P2=AP'2 ，
又∵△PBP'是等腰直角三角形，
∴PB2+P'B2=2PB2=P'P2 ，
∴PA2+2PB2=PC2 ．
【解析】【分析】〔1〕思路一和思路二都是利用旋转构造等腰直角三形，再利用勾股定理求解；〔2〕参考〔1〕中的方法，先旋转，再利用勾股定理求解。
28.【答案】 〔1〕25π
〔2〕解：作OB⊥直线l于B交圆O于点A，此时点 的“共径圆〞的半径最小值；

设直线 与 轴交于点 ．
〕，那么ON=OM=4，
  等腰直角三角形，

点到直线 的距离为
点在 上， 点在直线 上
间的最短距离是
即 的“共径圆〞的最小半径是

〔3〕解：设点B的坐标为〔x，x+b〕，
设AB之间的距离为r，那么πr2=4π，解得r=2〔负值已舍去〕，
那么AB=x2+〔x+b〕2=22=4，
化简得：2x2+2bx+b2-4=0，
∵满足条件的B点有2个，故△=〔2b〕2-2×4〔b2-4〕＞0，
解得：
∵点B是x轴及x轴上方的点，故b＞0，
而当b=2时，点B在x轴上，

【解析】【解答】解：〔1〕 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

由圆的面积公式得：“共径圆〞的面积πr2=25π，
故答案为25π；

【分析】〔1〕根据题干的定义求解面积；〔2〕将此题转化为点到直线的最短距离求解；〔3〕设点B的坐标，用两点之间的的距离公式表示出AB的长度，再求解即可。