2021年山西省临汾市九年级上学期数学期中试卷 (2)含答案

这是一份2021年山西省临汾市九年级上学期数学期中试卷 (2)含答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下各式是最简二次根式的是〔   〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
2.以下运算，结果正确的选项是〔   〕
A.                 B.                 C.                 D. 
3.关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 的值为〔   〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 1
4.如图，面积为1的等边三角形 中， 分别是 ， ， 的中点，那么 的面积是〔   〕

A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 
5.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 的值为〔    〕．

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
6.以下说法错误的选项是〔    〕
A. 含 角的直角三角形与含 角的直角三角形是相似的     B. 所有的矩形是相似的
C. 所有边数相等的正多边形是相似的                                         D. 所有的等边三角形都是相似的
7.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，那么这段河的宽度为(   )

A. 60( +1)米                 B. 30( +1)米                 C. (90﹣30 )米                 D. 30( ﹣1)米
8.如图， ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于〔   〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
9.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加.2021年至2021年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x.那么可列方程为〔   〕
A.                                          B. 
C.                                          D. 
10.在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的选项是〔　　〕
A.                       B.                       C.                       D. 
二、填空题
11. ，求 ________．
12.假设两个相似五边形的相似比为 3:5， 那么它们的面积比为________
13.关于x的一元二次方程 有一个根为 ，那么a的值为________．
14.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，那么位似中心的坐标是________.

15.如图，四边形ABCD ， AC与BD相交于点O ， ∠ABC=∠DAC=90°， ，那么 =________．

三、解答题
16.计算：
〔1〕
〔2〕
17.按要求解方程
〔1〕〔公式法)
〔2〕〔因式分解法〕
〔3〕〔配方法〕
18.：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A〔0，3〕、B〔3，4〕、C〔2，2〕〔正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度〕．


〔1〕画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ， 点C1的坐标是________ ;

〔2〕以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2 ， 使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________ ;

〔3〕△A2B2C2的面积是________ 平方单位．

19.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查说明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元?这时应进台灯多少个?
20.有一个坡度i=1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图。

〔1〕求该斜坡的坡面AB的长度。
〔2〕现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中DE=2.5米，EF=2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF=3.5米时，点D离BC所在水平面的高度DH。
21.求代数式 的值，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程：

〔1〕________的解法是错误的；
〔2〕错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：________；
〔3〕求代数式 的值，其中
22.阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 将原方程化为 ①，解得 ．
当 时
当 时， ，
原方程的解为
阅读后解答问题：
〔1〕在由原方程得到方程①的过程中，利用________法到达了降次的目的，表达了________的数学思想；
〔2〕利用上述材料中的方法解方程：
23.：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．

〔1〕求证：△ADE∽△ACD；
〔2〕如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C. ，此选项错误；
D. ，此选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】〔1〕由同类二次根式的定义可知与不是同类二次根式，所以不能合并；
〔2〕同理可知不能合并；
〔3〕由二次根式的除法法那么可得原式=；
〔4〕由二次根式的乘法法那么可得原式=.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得，   ，得 ，
故应选A．
【分析】由一元二次方程有两个相等实根,可得判别式△=0且a≠0，据此解答即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】∵ 分别是 ， ， 的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是 ．
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，过点A作 于点D ， 那么 ，

∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】过点A作 于点D ， 在 中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
6.【答案】 B
【解析】【解答】A. 含 角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含 角的直角三角形是相似的，故不符合题意；
B. 假设一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，那么这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；
C. 所有边数相等的正多边形是相似的，符合题意，故不符合题意；
D. 所有的等边三角形都是相似的，符合题意，故不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.
7.【答案】 B
【解析】【解答】作BD⊥CA交CA的延长线于D，

设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴  CD=，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
那么 x﹣x＝60，
解得  ，
答：这段河的宽约为30( +1 )米．
故答案为：B．
【分析】作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．

【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
9.【答案】 C
【解析】【解答】设我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
∵2021年至2021年我国快递业务收入由500亿元增加到7500亿元
∴可列方程： ，
故答案为：C.
【分析】设我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，根据增长率的定义即可列出一元二次方程.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A.CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B.CD不与AB垂直，不符合题意；
C.CD是AB的垂线，符合题意；
D.CD不与AB垂直，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果 ∽ ，可得 ，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
二、填空题
11.【答案】 9
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
那么 ．
故答案是：9．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值，再求出y的值，得到结果．
12.【答案】 9:25
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3:5，
∴它们的面积比为9:25．
故答案为：9:25．
【分析】根据形似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可
13.【答案】 -1
【解析】【解答】 代入方程得：
解得：
∵ 是关于 的一元二次方程
∴
∴
故答案为-1
【分析】直接把 代入方程计算即可
14.【答案】 〔9，0〕
【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于〔9，0〕，

所以位似中心的坐标为〔9，0〕.
故答案为：〔9，0〕.
【分析】根据位似的性质"位似图形的对应边平行但不一定相等，位似中心到对应点的距离之比都相等"并结合可求解.
15.【答案】
【解析】【解答】解：过B点作BE//AD交AC于点E，

 BE⊥AD，
，
∴

∴
 
由 ，
 
 
 
 
 
 
 
 
∴

设 那么
     

故答案为：
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明 ，得到 再证明 利用 设 利用三角形的面积公式可得答案．
三、解答题
16.【答案】 〔1〕原式 ；
〔2〕原式 ．
【解析】【分析】〔1〕根据负指数幂、零指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值求解；〔2〕利用乘法公式进行二次根式的运算．
17.【答案】 〔1〕，
，
，
， ；

〔2〕



， ；

〔3〕



， ．
【解析】【分析】〔1〕先根据根的判别式判断方程是否有解，再利用公式 求出解；
〔2〕提取公因式 〔x+1〕 ，用因式分解法解方程；
〔3〕先把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边可以写成完全平方的形式．
18.【答案】 〔1〕〔2，﹣2〕
〔2〕〔1，0〕
〔3〕10
【解析】【解答】解：〔1〕如下列图：C1〔2，﹣2〕；

故答案为：〔2，﹣2〕
〔3〕∵A2C22=20，B2C22=20，A2B22=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
【分析】〔1〕利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
〔2〕利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
〔3〕利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
19.【答案】 解：设售价为x元，每件台灯的利润为(x-30)元，可售的件数为 件，
依题意列方程 ，
解得 ， ， 
因需扩大销售量，减少库存，所以 应舍去，
当 时，销售件数为 〔个〕，
答：当售价为50元时，应进500个台灯．
【解析】【分析】设售价为x元，列出售价与利润之间的一元二次关系式，并解得x的取值，但是为了满足题中要求的扩大销售量，减少库存，要选取售价较低，销售量较高的方案．
20.【答案】 〔1〕解：∵坡度i=1：2，AC=4米，
∴BC=4×2=8(米).
∴AB=  (米)

〔2〕解：∵∠DGM=∠BHM=90°，∠DMG=∠BMH，
∴∠GDM=∠HBM，
∴
∵DG=EF=2米，
∴GM=1米，
∴DM= ，BM=BF+FM=3.5+(2.5-1)=5(米)，
设MH=x米，那么BH=2x米，
∴x²+(2x)²=5²，
∴x=  (米)，
∴DH= + =2 (米)
【解析】【分析】〔1〕利用斜坡AB的坡度求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长。
〔2〕利用条件易证∠B=∠MDG，利用AB的坡度就可得到GM与DG的比值，由此可求出MG的长，再利用勾股定理求出DM、BM的长，设MH=x米，那么BH=2x米，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后可得到DH的长。
21.【答案】 〔1〕小亮
〔2〕二次根式的结果一定是非负数
〔3〕原式 ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【解析】【解答】解：〔1〕小亮的解法错误，
当 时， ，
故答案是：小亮；〔2〕错误的原因是：二次根式的结果一定是非负数，而当 时， 是负数，
故答案是：二次根式的结果一定是非负数；
【分析】〔1〕小亮错在“ 〞；〔2〕错误的原因是没有考二次根式的结果一定是非负数；〔3〕把 化简为 ，根据a的值，再化简绝对值，得出结果．
22.【答案】 〔1〕换元；整体与划归
〔2〕令 ，那么 ，解得 ， ，
当 时， ，解得 ， ，
当 时， ， ，方程无解，
综上：方程的解是 ， ．
【解析】【解答】解：〔1〕将 设为y ， 利用的是换元法，表达了整体与划归的数学思想，
故答案是：换元，整体与划归；
【分析】〔1〕题目中的方法用的是换元法，表达了整体与划归的数学思想；
〔2〕令 ，得 ，用因式分解法解方程求出t的值，再求出x的值．
23.【答案】 〔1〕解：∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，
∴ ，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠F＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．

〔2〕解：∵AE•BD＝EF•AF，
∴ ，
∵AD＝AF，
∴ ，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，
∴∠F＝∠B，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
【解析】【分析】〔1〕由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题；〔2〕欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可.