物理第四章 机械能及其守恒定律本章综合与测试导学案

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一、求变力做功的常用方法
1．用平均力求功
若力F随位移s线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝eq \f(0＋F,2)x＝eq \f(kx,2)·x＝eq \f(1,2)kx2.
2．用W＝Pt求功
当变力做功，且机器做功的功率一定时，由功率的定义式P＝eq \f(W,t)，可得W＝Pt.
3．用图像法求功
若已知F－s图像和P－t图像，则图像与s轴或t轴所围的面积表示功，如图1甲所示，在位移s0内力F做的功W＝eq \f(F0,2)s0.在图乙中，0～t0时间内做功W＝eq \f(P1＋P2,2)·t0.
图1
4．用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功．
例如，物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝－μmgs
在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成．如图2所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为( )
图2
A．零 B．FR C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
答案 C
解析 小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力．但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来．设每一小段的长度分别为s1，s2，s3，…，sn，拉力在每一小段上做的功分别为W1＝Fs1，W2＝Fs2，…，Wn＝Fsn，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(s1＋s2＋…＋sn)＝Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π·\f(R,2)＋πR))＝eq \f(3,2)πFR.
当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，力F做的功与路程有关，W＝Fs或W＝－Fs，其中s为物体通过的路程．
(多选)(2019·文昌中学高一下段考)如图3所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移s0，下列说法正确的是( )
图3
A．甲图和乙图合外力做功相等
B．丙图和丁图合外力做功相等
C．四个图合外力做功均相等
D．四个图中合外力做功最多的是丙图
答案 AD
解析 F－s图像中，图线与s轴围成的“面积”表示力F所做的功，由题图可知，甲、乙所围的“面积”相等，丙所围的“面积”最大，丁所围的“面积”最小，故W丙>W甲＝W乙>W丁，选项A、D正确．
二、机车的两种启动方式
三、两种启动方式耗能比较
1．基本公式
汽车的功率P＝Fv(此处F为汽车的牵引力)，
汽车的加速度a＝eq \f(F合,m)＝eq \f(F－f,m) ＝eq \f(\f(P,v)－f,m).
2．两种方式耗能比较
(1)恒定功率启动
需要猛踩油门让功率P增大至额定功率，然后以恒定功率P额继续加速，由上式可知，随着速度v不断增大，加速度a不断减小，直到牵引力F等于阻力f时，加速度a为零，速度v达到最大值，vm＝eq \f(P额,f).
若猛踩油门使汽车突然加速，汽车将以较大的功率P额行驶，功率越大，汽车在同一段时间内耗油量越多，且在该过程中，汽车加速度较大，可能使汽车速度超过实际行驶所需速度，令驾驶员不得不刹车，造成不必要的耗油浪费．
(2)恒定加速度启动
轻踩油门让加速度a保持不变，由上式可知，随着速度v不断增大，功率P不断增大到额定功率后，再以上述恒定功率加速的方法继续加速到最大速度．此种方式功率逐渐增大，耗油量较少．
3．结论：恒定功率启动耗能较多，不利于节能环保．
机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)．方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变．如图4给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是( )
图4
A．甲对应方式①，乙对应方式②
B．乙对应方式①，丙对应方式②
C．甲对应方式①，丙对应方式②
D．丙对应方式①，丁对应方式②
答案 B
解析 对于方式①：机车以不变的额定功率启动，据P＝Fv可知，随着v的增加，F减小，又由a＝eq \f(F－F阻,m)可知加速度减小，在v－t图像上斜率减小，故①对应乙图；对于方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，即先保持牵引力不变，可知加速度不变，当达到额定功率后，牵引力减小，直至牵引力和阻力相等，最后匀速，故方式②对应丙图，故选项B正确．
在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，则：
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
答案 见解析
解析 (1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小到零．
(2)F－f＝ma1
P额＝Fv1
联立得v1＝eq \f(10,3) m/s.
(3)当汽车速度达到最大时，a2＝0，F′＝f，P＝P额，故
vmax＝eq \f(P额,f)＝eq \f(105,0.1×104×10) m/s＝10 m/s.
针对训练 (多选)质量为2×103 kg、发动机的额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶．若该汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断中正确的有( )
A．汽车的最大速度是10 m/s
B．汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，启动后第2 s末发动机的实际功率是32 kW
C．汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，匀加速运动所能维持的时间为10 s
D．若汽车保持额定功率启动，则当其速度为5 m/s时，加速度为6 m/s2
答案 BD
解析 当牵引力大小等于阻力时速度最大，根据P＝fvm得，汽车的最大速度vm＝eq \f(P,f)＝eq \f(80 000,4 000) m/s＝20 m/s，故A错误；根据牛顿第二定律得F－f＝ma，解得F＝f＋ma＝4 000 N＋2 000×2 N＝8 000 N，第2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，启动后第2 s末发动机的实际功率P1＝Fv＝8 000×4 W＝32 kW，故B正确；匀加速直线运动的末速度v1＝eq \f(P,F)＝eq \f(80 000,8 000) m/s＝10 m/s，做匀加速直线运动的时间t′＝eq \f(v1,a)＝eq \f(10,2) s＝5 s，故C错误；当汽车速度为5 m/s时，牵引力F′＝eq \f(P,v2)＝eq \f(80 000,5) N＝16 000 N，根据牛顿第二定律得汽车的加速度a′＝eq \f(F′－f,m)＝eq \f(16 000－4 000,2 000) m/s2＝
6 m/s2，故D正确．
机车启动问题中几个物理量的求法
分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－f＝ma联系着力和加速度，P＝Fv联系着力和速度．
(1)机车的最大速度vm的求法，机车匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力f，故vm＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,f).
(2)匀加速启动持续时间的求法，牵引力F＝ma＋f，匀加速的最大速度vm′＝eq \f(P额,ma＋f)，时间t＝eq \f(vm′,a).
(3)瞬时加速度的求法，据F＝eq \f(P,v)求出牵引力，则加速度a＝eq \f(F－f,m).
1．(功的计算)(2020·山东师范大学附属中学高一下阶段检测)以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－Fh C．－2Fh D．Fh
答案 C
解析 把小球运动的全过程分成两段，上升过程中空气阻力对小球做的功W1＝Fhcs 180°＝－Fh；下降过程中空气阻力对小球做的功W2＝Fhcs 180°＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确．
2．(功的计算)放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和水平拉力的功率与时间的图像如图5甲、乙所示．下列说法正确的是( )
图5
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
答案 D
解析 由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为s＝eq \f(1,2)×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；P－t图线与时间轴围成的“面积”表示拉力做的功，则由题图乙可知，0～6 s内拉力做功WF＝eq \f(1,2)×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速直线运动，滑动摩擦力大小f＝F＝eq \f(P,v)＝eq \f(5,3) N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－eq \f(5,3)×30 J＝－50 J，D正确．
3．(机车启动问题)(2020·华中师大附中高一下期中)质量为m的汽车，启动后沿平直公路行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶中受到的阻力大小恒定，汽车能达到的最大速度为v.当汽车的瞬时速度为eq \f(v,3)时，汽车的加速度大小为( )
A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv) C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)
答案 B
解析 当汽车匀速行驶时，有f＝F＝eq \f(P,v)；当汽车瞬时速度为eq \f(v,3)时，根据P＝eq \f(F′v,3)，得F′＝eq \f(3P,v)，由牛顿第二定律得a＝eq \f(F′－f,m)＝eq \f(2P,mv)，故B正确．
4.(机车启动问题)一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图6所示．已知汽车的质量m＝2×
103 kg，汽车受到的阻力为车重力的eq \f(1,10)，g取10 m/s2，则( )
图6
A．汽车在前5 s内受到的阻力大小为200 N
B．前5 s内的牵引力大小为6×103 N
C．汽车的额定功率为40 kW
D．汽车的最大速度为20 m/s
答案 B
解析 由题意知汽车受到的阻力为车重力的eq \f(1,10)，则阻力大小f＝eq \f(1,10)mg＝eq \f(1,10)×2×103×10 N＝
2 000 N，选项A错误；由题图知前5 s内的加速度a＝eq \f(Δv,Δt)＝2 m/s2，由牛顿第二定律知，前
5 s内的牵引力大小F＝f＋ma＝(2 000＋2×103×2) N＝6×103 N，选项B正确；5 s末达到额定功率P额＝Fv5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，最大速度vmax＝eq \f(P额,f)＝eq \f(6×104,2 000) m/s＝
30 m/s，选项C、D错误．
考点一 变力做的功
1.(多选)如图1所示，质量为m的滑块(可视为质点)，从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为f.则滑块( )
图1
A．从A到B过程，重力做功为零
B．从A到B过程，弹力做功为零
C．从A到B过程，摩擦力做功为－eq \f(1,4)πRf
D．从A到C过程，摩擦力做功为－πRf
答案 BD
解析 滑块从A到B过程，重力做功不为零，选项A错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B正确；从A到B过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功W1＝－fsAB＝－f(eq \f(1,4)×2πR)＝－eq \f(1,2)πRf，选项C错误；同理，滑块从A到C过程，摩擦力做功W2＝－f(eq \f(1,2)×2πR)＝－πRf，选项D正确．
2.一物体所受的力F随位移s变化的图像如图2所示，在这一过程中，力F对物体做的功为( )
图2
A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
答案 B
解析 力F对物体做的功等于s轴上方梯形“面积”所表示的正功与s轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和．
W1＝eq \f(1,2)×(3＋4)×2 J＝7 J
W2＝－eq \f(1,2)×(5－4)×2 J＝－1 J
所以力F对物体做的功W＝7 J－1 J＝6 J，
故选项B正确．
3．(2019·长治二中期末)如图3甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示．已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵、横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为( )
图3
A．Fmx0
B.eq \f(1,2)(Fm＋F0)x0
C.eq \f(π,4)(Fm－F0)x0＋F0x0
D.eq \f(π,4)x02＋F0x0
答案 C
解析 F－x图像的“面积”等于拉力做的功，则得到拉力做的功W＝F0x0＋eq \f(1,2)π(eq \f(x0,2))2＝F0x0＋
eq \f(π,8)x02，由题图乙可知，Fm－F0＝eq \f(x0,2)，故W＝eq \f(π,4)(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C正确．
考点二 机车的两种启动方式
4.(多选)如图4所示为某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进，若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为s，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内( )
图4
A．小车在运动过程中牵引力保持不变
B．小车在运动过程中加速度逐渐减小
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为Pt
答案 BD
解析 小车在运动方向上受向前的牵引力F1和向后的阻力F，因为v增大，P不变，由P＝F1v和F1－F＝ma得出F1减小，a减小，当v＝vm时，a＝0，A错误，B正确；小车受到的牵引力所做的功W牵＝Pt，D正确；阻力做的功Wf＝Fs，则合外力所做的功W外＝Pt－Fs，C错误．
5．(多选)一玩具汽车的额定功率为P，质量为m，该玩具汽车沿倾角为α的斜坡向上运动，已知斜坡足够长，经测量可知阻力为车重力的k倍，且k>sin α，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．玩具汽车的最大速度为eq \f(P,mgsin α＋kmg)
B．玩具汽车的速度最大时汽车的牵引力为mgsin α
C．如果玩具汽车由静止开始以恒定的功率向下启动，则最大的速度为eq \f(P,mgsin α＋kmg)
D．如果玩具汽车由静止开始以恒定的功率向下启动，则速度最大时的牵引力为kmg－mgsin α
答案 AD
解析 玩具汽车沿斜坡向上运动时，受牵引力、重力、沿斜坡向下的阻力、支持力，由于额定功率一定，当a＝0，即牵引力F＝mgsin α＋kmg时，玩具汽车的速度最大，最大速度vm＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,mgsin α＋kmg)，A正确，B错误；如果玩具汽车由静止开始以恒定的功率向下启动，玩具汽车所受的阻力沿斜面向上，又由于k>sin α，则牵引力F′＝kmg－mgsin α时，玩具汽车的速度最大，最大速度vm′＝eq \f(P,F′)＝eq \f(P,kmg－mgsin α)，C错误，D正确．
6．某汽车厂家测试一重为20 000 N的小轿车的性能，已知其正常行驶时发动机的额定功率为3×104 W，地面阻力大小恒定，经测试可知该车能达到的最大速度vmax＝15 m/s.若g＝
10 m/s2，则当发动机以额定功率运转，小轿车的速度为v＝10 m/s时的加速度大小为( )
A．0.5 m/s2 B．1 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2 m/s2
答案 A
解析 当小轿车达到最大速度时，小轿车牵引力等于阻力，则有P＝fvmax，则小轿车运动过程中所受的阻力f＝eq \f(P,vmax)＝eq \f(3×104,15) N＝2 000 N，当小轿车的速度v＝10 m/s时的牵引力大小F＝eq \f(P,v)＝eq \f(3×104,10) N＝3 000 N，则由牛顿第二定律可知F－f＝eq \f(G,g)a，代入数据得加速度大小a＝0.5 m/s2，A正确．
7.质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图像如图5所示，从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为f，则( )
图5
A．t1～t2时间内，汽车的平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)
B．0～t1时间内，汽车的牵引力等于meq \f(v1,t1)
C．t1～t2时间内，汽车的功率等于(meq \f(v1,t1)＋f)v1
D．汽车运动过程中的最大速度v2＝eq \f(mv\\al(2,1),ft1)
答案 C
解析 在t1～t2时间内，因为汽车做变加速运动，由“面积”表示位移的大小可知，汽车的平均速度大于eq \f(v1＋v2,2)，A错误；0～t1时间内，汽车做匀加速直线运动的加速度a＝eq \f(v1,t1)，故汽车的牵引力F＝f＋meq \f(v1,t1)，B错误；在t1～t2时间内，汽车的功率P＝(f＋meq \f(v1,t1))v1，C正确；汽车的最大功率Pm＝Fv1，达到最大速度时有Pm＝fv2，联立可得最大速度v2＝(meq \f(v1,ft1)＋1)v1，D错误．
8．某重型气垫船，质量达5.0×105 kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机．假设该重型气垫船在海面航行过程所受的阻力f与速度v满足f＝kv，下列说法正确的是( )
A．该重型气垫船的最大牵引力为3.0×105 N
B．由题中给出的数据可算出k＝1.0×104 N·s/m
C．当以最大时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的阻力大小为3.0×105 N
D．当以最大时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为4 500 kW
答案 B
解析 最大速度vm＝108 km/h＝30 m/s，此时该重型气垫船做匀速直线运动，牵引力F＝eq \f(P,v)＝eq \f(9 000×103,30) N＝3×105 N.
在达到最大速度前F>3.0×105 N，所以A错误；
由kv＝f＝F得k＝eq \f(3×105,30) N·s/m＝1.0×104 N·s/m，
B正确；
F′＝f′＝k·eq \f(v,2)＝eq \f(1,2)f＝1.5×105 N，
此时发动机输出功率
P′＝F′eq \f(v,2)＝1.5×105×15 W＝2 250 kW，C、D错误．
9．一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图6所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
图6
答案 A
解析 在v－t图像中，图线的斜率表示汽车运动时的加速度，由牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，eq \f(P1,v)－f＝ma，当速度v变大时，加速度a变小，在v－t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，当速度v达到恒定时，加速度a为零，在v－t图像中为一条水平直线．同理，在t1～t2时间内，eq \f(P2,v)－f＝ma，图像变化情况与0～t1时间内相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，故可能正确的是A.
10．(多选)一辆轿车质量为m，在平直公路上运行，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过一定时间，其速度由零增大到最大值vm，若所受阻力恒为f.则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图像正确的是( )
答案 ACD
解析 由于启动阶段轿车受到的牵引力不变，阻力不变，所以轿车在开始阶段做匀加速运动，当实际功率达到额定功率时，功率不再增加，再增加速度，就须减小牵引力，当牵引力减小到等于阻力时，加速度等于零，速度达到最大值vm＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,f)，所以A、C、D正确，B错误．
11.(多选)(2019·资阳市检测)一质量为800 kg的电动汽车由静止开始沿平直公路行驶，可达到的最大速度为18 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出F－eq \f(1,v)图像如图7所示，图中AB、BC均为直线．若电动汽车行驶过程中所受的阻力恒定，则下列说法正确的是( )
图7
A．电动汽车由静止开始一直做变加速直线运动
B．电动汽车的额定功率为10.8 kW
C．电动汽车由静止开始经过2 s，速度达到6 m/s
D．电动汽车行驶中所受的阻力为600 N
答案 BD
解析 AB段牵引力不变，根据牛顿第二定律知，电动汽车的加速度不变，电动汽车做匀加速直线运动，故A错误；额定功率P＝Fminvmax＝600×18 W＝10.8 kW，故B正确；匀加速直线运动的加速度a＝eq \f(3 000－600,800) m/s2＝3 m/s2，B点对应的速度vB＝eq \f(P,Fmax)＝3.6 m/s，所以电动汽车做匀加速直线运动的时间tB＝eq \f(vB,a)＝1.2 s,1.2 s后做加速度逐渐减小的加速运动，若电动汽车由静止开始一直做匀加速运动，则经过2 s后的速度v＝at＝6 m/s，所以电动汽车由静止开始经过2 s，速度一定小于6 m/s，故C错误；当电动汽车达到最大速度时，牵引力大小与阻力大小相等，故阻力f＝Fmin＝600 N，故D正确．
12.(2019·随州一中高一下期中)如图8所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量为m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝
1.02 m/s的匀速直线运动．取g＝10 m/s2，不计额外功．求：
图8
(1)起重机允许的最大输出功率；
(2)重物做匀加速直线运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率．
答案 (1)5.1×104 W (2)5 s 2.04×104 W
解析 (1)设起重机允许的最大输出功率为P0，重物达到最大速度时拉力F0等于重力，则有P0＝F0vm，F0＝mg，
可得P0＝mgvm＝5.1×104 W；
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许的最大输出功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为vm，匀加速运动经历的时间为t1
则有：P0＝Fvm，F－mg＝ma，vm＝at1
联立并代入数据得，t1＝5 s，F＝5.1×104 N
第2 s末，重物处于匀加速直线运动阶段
设此时速度为v2，输出功率为P
有v2＝at2，P＝Fv2
联立并代入数据解得P＝2.04×104 W.
13.(2019·山西大学附中高一下期中)汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图9所示，所受摩擦力为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)．(结果均保留三位有效数字)
图9
(1)求汽车所能达到的最大速度vm.
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶直到速度达到最大值的过程中，汽车做功为多少？
答案 (1)12.5 m/s (2)13.9 s (3)4.16×105 J
解析 (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力分为两部分，即
F阻＝kmg＋mgsin α＝4 800 N
又因为F＝F阻时，P＝F阻vm，所以
vm＝eq \f(P,F阻)＝eq \f(6×104,4 800) m/s＝12.5 m/s
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2的加速度匀加速行驶，有F′－kmg－mgsin α＝ma，所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N；保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，有
vm′＝eq \f(P,F′)＝eq \f(6×104,7.2×103) m/s≈8.33 m/s
由运动学规律可得
t＝eq \f(vm′,a)＝eq \f(8.33,0.6) s≈13.9 s.
(3)汽车在匀加速阶段行驶时做功为
W＝F′·s＝F′·eq \f(vm′2,2a)≈4.16×105 J.
14．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进的深度为d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，则第二次敲钉子时钉子进入木板的深度是( )
A．(eq \r(3)－1)d B．(eq \r(2)－1)d
C.eq \f(\r(5)－1,2)d D.eq \f(\r(2),2)d
答案 B
解析 在将钉子钉入木板的过程中，木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，这属于变力做功问题，由于力与位移成正比，可求出对应某段位移的力的平均值，将变力转化为恒力来处理．根据题意可得，第一次做功W＝eq \x\t(F)1d＝eq \f(kd,2)d，第二次做功W＝eq \x\t(F)2d′＝eq \f(kd＋kd＋d′,2)d′，且d′>0，联立解得d′＝(eq \r(2)－1)d，B正确．
启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像与v－t图像
运动规律
OA段：做加速度逐渐减小的变加速直线运动；
AB段：做速度为vm的匀速直线运动
OA段：以加速度a做匀加速直线运动；
AB段：做加速度逐渐减小的变加速直线运动；
BC段：做速度为vm的匀速直线运动
过程分析
OA段：v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓；
AB段：F＝F阻⇒a＝0⇒
P额＝F阻·vm
OA段：a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·v1；
AB段：v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓⇒a＝eq \f(F－F阻,m)↓；
BC段：F＝F阻⇒a＝0⇒v达到最大值，vm＝eq \f(P额,F阻)