2020-2021学年河南省周口高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省周口高二（下）5月月考数学（理）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知函数fx=2x2−1的图象上一点1,1及邻近一点1+Δx,1+Δy，则ΔyΔx等于（ ）
A.4B.2Δx+4C.4+ΔxD.4Δx+Δx2

2. i是虚数单位，复数1−3i1−i的共轭复数是( )
A.2+iB.2−iC.−1+2iD.−1−2i

3. 若fx=2xf′1+x2，则 f′(1) 等于( )
A.2 B.0 C.−2 D.−4

4. 由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形的面积为（ ）
A.112B.14C.13D.712

5. 我校崇德楼共有4层，每层均有两个楼梯，由一楼到四楼的走法有（ ）
A.6种B.8种C.16种D.24种

6. 2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a1+a2+⋯+a9+a10的值为（ ）
A.−20B.−1C.0D.1

7. 现有5人排成一排，要求甲乙两人之间至多有1人，则不同的排法有（ ）种．
A.84B.72C.96D.48

8. 为提高市区的防疫意识，某医院从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，则防控宣传组既有男医生又有女医生的概率为（ ）
A.57B.67C.1235D.2435

9. 某产品的销售收入y1（万元）是产量 x（千台）的函数：y1=17x2，生产成本y2（万元）是产量x（千台）的函数： y2=2x3−x2x>0，为使利润最大，应生产( )
A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台

10. 若函数f(x)=x2+ax+1x在[13, +∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[−1, 0]B.[0, 253]C.[253, +∞)D.[9, +∞)

11. 已知圆M：(x−2)2+y2=4，则过点(1, 1)的直线中被圆M截得的最短弦长为22．类比上述方法：设球O是棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，过AC1的一个三等分点作球O的截面，则最小截面的面积为( )
A.πB.4πC.5πD.6π

12. 已知函数fx=3x+4lnx−x−a−1至少有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[1,+∞)B.[1,4ln3−2)C.2,4ln2−12D.[1,4ln3−3]
二、填空题

若(x−ax)n展开式中所有二项式系数之和是64，常数项为15，则实数a的值是________．
三、解答题

当实数a为何值时，z=a2−2a+a2−3a+2i．
(1)为纯虚数；

(2)对应的点在第一象限内．

已知函数fx=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R)，g(x)=f(x)+f′x是奇函数．
(1)求a，b的值；

(2)求gx在区间1,2上的最大值与最小值．

在数列an中，a1=12，an+1=3anan+3，求a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

在(2x−1x)6的展开式中，
(1)第3项的二项式系数及系数；

(2)含x2的项及项数．

已知函数f(x)=12x2−alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当x>1时，12x2+lnx<23x3恒成立．

设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0, 2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2．
(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥−2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省周口市高二（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ Δy=[2(1+Δx)2−1]−1=2Δx2+4Δx，
∴ ΔyΔx=4+2Δx.
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
根据两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求出复数1−3i1−i，可得它的共轭复数．
【解答】
解：复数1−3i1−i=(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=2−i，
故它的共轭复数为2+i.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
函数的求值
【解析】
利用导数的运算法则求出f′(x)，令x=1得到关于f′(1)的方程，解方程求出f′(1)，求出f′(x)；令x=0求出f′(0)．
【解答】
解：∵ f′(x)=2f′(1)+2x，
∴ f′(1)=2f′(1)+2，
∴ f′(1)=−2，
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】

【解答】
解：由题意得，两曲线的交点坐标是(1, 1)，(0, 0)，
故积分区间是[0, 1]
所求封闭图形的面积为01(x2−x3)dx=13×1−14×1=112.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
由分步乘法计数原理可得结果
【解答】
解：走法共分三步：
一层到二层2种，
二层到三层2种，
三层到四层2种，
一共23=8种．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
分别令x=0，x=1，即可得到答案.
【解答】
解：2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，
令x=0，可得a0=(−1)10=1，
令x=1，可得a0+a1+a2+⋯+a10=(2−1)10=1，
∴ a1+a2+⋯+a9+a10=0.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
分甲乙二人相邻和甲乙之间只有一人两种情况，进行求解即可.
【解答】
解：甲乙二人相邻的排法有A22⋅A44=48种，
甲乙之间只有一人的排法有A22C31A33=36种，
故甲、乙两人中间至多有一人的排法有36+48=84种．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
古典概型及其概率计算公式
排列、组合的应用
对立事件的概率公式及运用
【解析】
求出男医生或女医生的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.
【解答】
解：从3名男医生和4名女医生中选派3名医生组成防控宣传组，
基本事件总数有C73=35，
其中全部为男医生或女医生的基本事件个数为C43+C33=5，
∴ 防控宣传组既有男医生又有女医生的概率为1−535=67.
故选B.
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
根据条件得到利润f(x)=−2x3 +18x2 ，利用导数得到f(x)的单调性，进而可得其极值
【解答】
解，设利润为f(x)，
则f(x)=y1−y2=17x2−2x3−x2=18x2−2x3x>0，
则f′(x) =−6x2 +36x(x>0)，
令f′x>0，解得0令f′x<0，解得x>6；
故函数f(x)在(0, 6)上单调递增，在(6,+∞)上单调递减，
则当x=6时，f(x)取得极大值也是最大值，
故当产量6千台时，利润最大．
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
函数f(x)=x2+ax+1x在[13, +∞)上是增函数，则其导函数在[13, +∞)上是非负值，又因导函数为递增函数，只需最小值非负即可．
【解答】
解：f(x)=x2+ax+1x在[13, +∞)上是增函数，
∴ f′(x)=2x+a−1x2在[13, +∞)上大于零，
∵ f′(x)=2x+a−1x2在[13, +∞)上单调递增，
∴ f′(13)=23−9+a≥0，
∴ a≥253．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
类比推理
【解析】
由题意，求出正方体的体对角线长，得到球心O到过AC1的一个三等分点的球O的截面的距离，再求出球的半径，可得最小截面的圆的半径，即可求出最小截面的面积．
【解答】
解：由题意，正方体的体对角线长为32+32+32=33，
则球心O到过AC1的一个三等分点的球O的截面的距离为12×13×33=32，
球的半径为332，
∴ 最小截面的圆的半径为(332)2−(32)2=6，
∴ 最小截面的面积为π⋅(6)2=6π．
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】

【解答】
解：fx=3x+4lnx−x−a−1则a+1=3x+4lnx−x，
令gx=3x+4lnx−x，
g′x=−3x2+4x−1=−x2+4x−3x2=−x−3x−1x2，
可得gx在0,1递减，在1,3递增，在3,+∞递减，
x→0时，gx→+∞，g1=2，g3=4ln3−2，
所以函数fx=3x+4lnx−x−a−1至少有两个零点转化为y=a+1与gx=3x+4lnx−x有两个及以上的交点，
根据图像知2≤a+1≤4ln3−2，
所以1≤a≤4ln3−3．
故选D．
二、填空题
【答案】
±1
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
由题意可得2n=64，解得n=6．z再利用(x−ax)6的通项公式即可得出．
【解答】
解：由题意可得2n=64，解得n=6．
∴ (x−ax)6的通项公式Tr+1=C6r(x)6−r(−ax)r=(−a)rC6rx3−3r2，
令3−3r2=0，解得r=2．
∴ 常数项=(−a)2C62=15，解得a=±1．
故答案为：±1．
三、解答题
【答案】
解：(1)z为纯虚数，
a2−2a=0,a2−3a+2≠0,
即a=0或a=2,a≠1且a≠2.
故a=0．
(2)z对应的点在第一象限，
则a2−2a>0,a2−3a+2>0,
∴ a<0或a>2,a<1或a>2,
∴ a<0，或a>2．
∴ a的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)．
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的基本概念
【解析】


【解答】
解：(1)z为纯虚数，
a2−2a=0,a2−3a+2≠0,
即a=0或a=2,a≠1且a≠2.
故a=0．
(2)z对应的点在第一象限，
则a2−2a>0,a2−3a+2>0,
∴ a<0或a>2,a<1或a>2,
∴ a<0，或a>2．
∴ a的取值范围是(−∞,0)∪(2,+∞)．
【答案】
解：(1)因为f′x=3ax2+2x+b，
所以gx=fx+f′x=ax3+3a+1x2+b+2x+b．
因为gx是奇函数，
所以g−x=−gx恒成立，
从而3a+1=0，b=0，
解得a=−13，b=0．
(2)由(1)知gx=−13x3+2x，
所以g′x=−x2+2，
令g′x=0．
解得x=−2（舍去）或x=2，
而g1=53，g2=423，g2=43，
因此gx在区间1,2上的最大值为g2=423，
最小值为g2=43．
【考点】
函数奇偶性的性质
导数的运算
利用导数研究函数的最值
【解析】


【解答】
解：(1)因为f′x=3ax2+2x+b，
所以gx=fx+f′x=ax3+3a+1x2+b+2x+b．
因为gx是奇函数，
所以g−x=−gx恒成立，
从而3a+1=0，b=0，
解得a=−13，b=0．
(2)由(1)知gx=−13x3+2x，
所以g′x=−x2+2，
令g′x=0．
解得x=−2（舍去）或x=2，
而g1=53，g2=423，g2=43，
因此gx在区间1,2上的最大值为g2=423，
最小值为g2=43．
【答案】
解：a1=12=36，a2=37，a3=38，a4=39，
猜想an=3n+5，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=31+5=12，猜想成立．
②假设当n=kk≥1,k∈N∗时猜想成立，
即ak=3k+5，
则当n=k+1时，
ak+1=3akak+3=3⋅3k+53k+5+3=3k+1+5，
∴当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N∗，an=3n+5都成立．
【考点】
数列递推式
数学归纳法
【解析】

【解答】
解：a1=12=36，a2=37，a3=38，a4=39，
猜想an=3n+5，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=31+5=12，猜想成立．
②假设当n=kk≥1,k∈N∗时猜想成立，
即ak=3k+5，
则当n=k+1时，
ak+1=3akak+3=3⋅3k+53k+5+3=3k+1+5，
∴当n=k+1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N∗，an=3n+5都成立．
【答案】
解：(1)第3项的二项式系数为C62=15，
第三项的系数为T3=C62⋅24⋅(−1)2=240．
(2)通项公式为Tk+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x3−r，
令3−r=2，可得r=1，
故含x2的项为第2项，且T2=−192x2．
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
（1）由条件利用二项式展开式的通项公式，第r+1项的二项式系数的定义、第r+1项的系数的定义，求得第3项的二项式系数及系数．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．
【解答】
解：(1)第3项的二项式系数为C62=15，
第三项的系数为T3=C62⋅24⋅(−1)2=240．
(2)通项公式为Tk+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x3−r，
令3−r=2，可得r=1，
故含x2的项为第2项，且T2=−192x2．
【答案】
(1)解：依题意知函数的定义域为(0, +∞)，因为f′(x)=x−ax，
①当a≤0时，f′(x)=x−ax>0，所以f (x)的单调递增区间为(0, +∞).
②当a>0时，因为f′(x)=x−ax=x2−ax=(x−a)(x+a)x，
令f′(x)>0，有x>a，所以函数f (x)的单调递增区间为(a, +∞)；
令f′(x)<0，有0(2)证明：设g(x)=23x3−12x2−lnx，则g′(x)=2x2−x−1x，
当x>1时，g′(x)=(x−1)(2x2+x+1)x>0，
所以g (x)在(1, +∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)=23−12>0，
所以当x>1时，12x2+lnx<23x3成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）先求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）构造函数g(x)=23x3−12x2−lnx，利用导数求函数g(x)的最值，然后去证明不等式．
【解答】
(1)解：依题意知函数的定义域为(0, +∞)，因为f′(x)=x−ax，
①当a≤0时，f′(x)=x−ax>0，所以f (x)的单调递增区间为(0, +∞).
②当a>0时，因为f′(x)=x−ax=x2−ax=(x−a)(x+a)x，
令f′(x)>0，有x>a，所以函数f (x)的单调递增区间为(a, +∞)；
令f′(x)<0，有0(2)证明：设g(x)=23x3−12x2−lnx，则g′(x)=2x2−x−1x，
当x>1时，g′(x)=(x−1)(2x2+x+1)x>0，
所以g (x)在(1, +∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)=23−12>0，
所以当x>1时，12x2+lnx<23x3成立．
【答案】
解：(1)由题意知f(0)=2，g(0)=2，
f′(0)=4，g′(0)=4，
而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c)，
故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，
设F(x)=kg(x)−f(x)=2kex(x+1)−x2−4x−2，
则F′(x)=2kex(x+2)−2x−4=2(x+2)(kex−1)，
∵ F0≥0,
∴ 2k−2≥0,
即k≥1，
令F′(x)=0，得x1=−lnk，x2=−2，
①若1≤k当x∈(x1, +∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在(−2, x1)上单调递减，在(x1, +∞)上单调递增，
故F(x)在[−2, +∞)上的最小值为F(x1)，
而F(x1)=−x1(x1+2)≥0，
x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex−e−2)，
从而当x∈(−2, +∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在(−2, +∞)上单调递增，而F(−2)=0，
故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③若k>e2时，则F−2=−2ke−2+2=−2e−2k−e2<0，
所以当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立，
综上，k的取值范围是[1, e2]．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）对f(x)，g(x)进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0, 2)，从而解出a，b，c，d的值；
（2）由（1）得出f(x)，g(x)的解析式，再求出F(x)及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F(x)的最值，从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立，从而求出k的范围．
【解答】
解：(1)由题意知f(0)=2，g(0)=2，
f′(0)=4，g′(0)=4，
而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c)，
故b=2，d=2，a=4，d+c=4，
从而a=4，b=2，c=2，d=2；
(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，
设F(x)=kg(x)−f(x)=2kex(x+1)−x2−4x−2，
则F′(x)=2kex(x+2)−2x−4=2(x+2)(kex−1)，
∵ F0≥0,
∴ 2k−2≥0,
即k≥1，
令F′(x)=0，得x1=−lnk，x2=−2，
①若1≤kF′(x)<0，当x∈(x1, +∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在(−2, x1)上单调递减，在(x1, +∞)上单调递增，
故F(x)在[−2, +∞)上的最小值为F(x1)，
而F(x1)=−x1(x1+2)≥0，
x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex−e−2)，
从而当x∈(−2, +∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在(−2, +∞)上单调递增，而F(−2)=0，
故当x≥−2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③若k>e2时，则F−2=−2ke−2+2=−2e−2k−e2<0，
所以当x≥−2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立，
综上，k的取值范围是[1, e2]．