2020-2021学年湖南省长沙高二（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省长沙高二（下）5月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列几何体中为球的是( )
A.B.
C.D.

2. 已知数列an的前4项依次为1，2，3，4，则此数列的一个通项公式为( )
A.an=nB.an=2n−1C.an=n+12D.an=n

3. 已知角α为第一象限角，则sinα的值( )
A.一定为正B.一定为负
C.等于0D.可能为正，也可能为负

4. 已知集合A=0,1,2，B=x,3，若A∩B=1，则x=( )
A.0B.1C.2D.3

5. 下列等式成立的是（ ）
A.lg2(8+4)=lg28+lg24B.lg2(8−4)=lg28−lg24
C.lg223=3lg22D.lg28lg24=lg284

6. 函数fx=x2−1的图象关于( )
A.x轴对称B.y轴对称
C.坐标原点对称D.直线y=x轴对称

7. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=1，S4=10，则公差d=( )
A.−2B.−1C.2D.1

8. 为了解某地经济的发展状况，收集了该地某银行从2016年至2020年这5年的居民存款数．已知居民存款数与年份具有线性相关关系，并利用最小二乘法，得到居民存款数y(亿元)与年份x的线性回归方程为y=1.2x−2408，那么据此，可以预测2021年的居民存款数约为( )
A.14亿元B.15亿元C.16亿元D.17亿元

9. 已知函数fx=tanx，则下列结论正确的是( )
A.fx的定义域为RB.fπ3=32
C.fπ4=1D.fx在定义域内为增函数

10. 如图是一个底面为正方形的长方体，则下列结论中正确的是( )

A.BD1⊥CC1B.AC⊥BD1
C.BD1//B1CD.DD1//平面ACB1
二、填空题

抛掷一枚每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子1次，则出现正面向上的数字为2的概率为________．

函数fx=x−3的定义域为________.

已知向量a→=(1, −2)，b→=(2, m)，若a→⊥b→，则m=________．

已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为________.

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 B=60∘，a=2，b=7，则c=________.
三、解答题

已知一组样本数据的茎叶图如图所示．

1在这组数据中任取一个数，求这个数大于30的概率；

2若这组数的平均数是33，求a的值．

已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1）的图象经过点A0,−2和B1,2 .
(1)求实数a，b的值；

(2)若an=fnn∈N∗，求数列an的前n项和Sn .

已知函数fx=sinωxω>0的部分图象如图所示．

1求fx的最小正周期，并求出ω的值；

2若fθ=130<θ<π4，求fθ+π6的值．

已知直线l:x−y+2=0和圆C:x2+y2−2x−4y+1=0 .
1求圆C的圆心坐标与半径；

2判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；

3若过坐标原点O的直线m与圆C交于A，B两点，求△ABC面积的最大值；并求面积最大时直线m的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省长沙市高二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
简单组合体的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中几何体为圆锥，B中几何体为圆柱，C中几何体为圆台，D中几何体为球.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
类比推理
等差数列的通项公式
【解析】
逐个选项检验其是否满足前4项依次为1，2，3，4，即可得到正确选项．
【解答】
解：∵an的前4项为1，2，3，4，
A，an=n，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，故A符合题意；
B，an=2n−1，a2=2×2−1=3，故B不符合题意；
C，an=n+12，a2=2+12=32，故C不符合题意；
D，an=n，a2=2，故D不符合题意．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
象限角、轴线角
三角函数值的符号
【解析】
首先确定α的终边所在位置，然后确定sinα的符号即可．
【解答】
解：∵α为第一象限角
∴2kπ<α<2kπ+π2(k∈Z)，
∴sinα的值一定为正．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
由集合A，B，以及两集合的交集，确定出x的值即可．
【解答】
解：∵A=0,1,2，B=x,3，且A∩B=1，
∴x=1．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
【解析】
分别根据对数的运算法则进行判断即可．
【解答】
解：A，等式的左边=lg2(8+4)=lg212，右边=lg28+lg24=3+2=5，∴ 不成立．
B，等式的左边=lg2(8−4)=lg24=2，右边=lg28−lg24=3−2=1，∴ 不成立．
C，等式的左边=3，右边=3，∴ 成立．
D，等式的左边=lg28lg24=32，右边=lg282=lg24=2，∴ 不成立．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性判断函数图象的特征．
【解答】
解：函数的定义域为x|x∈R，f−x=(−x)2−1=x2−1，
f(−x)=f(x)，
所以函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的前n项和公式列出方程，能求出数列an的公差．
【解答】
解：∵等差数列an的前n项和为Sn，
S4=10，a1=1，
S4=4a1+4×32d=10，
解得d=1，
∴数列an的公差为1．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
将x=2021代入回归方程求出对应的y的值即可．
【解答】
解：由存款数y(亿元)与年份x的线性回归方程为y=1.2x−2408，
把x=2021代入可得y=17.2．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
正切函数的单调性
正切函数的定义域
【解析】
直接利用正切函数的性质判断各选项．
【解答】
解：fx=tanx，
定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，故A错误；
fπ3=tanπ3=3，故B错误；
fπ4=tanπ4=1，故C正确；
fx在−π2+kπ,π2+kπ，k∈Z上单调递增，
只能说它在任一一个连续区间内是单调递增的，不能说在定义域内单调递增，故D错误．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
棱柱的结构特征
两条直线垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵几何体为长方体，
∴在矩形CDD1C1中，CC1//DD1，CC1=DD1，
又∵DD1与BD1相交并且不垂直，故A错误；
∵底边为正方形，
∴AC⊥BD ，
又D1D⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴D1D⊥AC.
∵BD∩D1D=D，
∴AC⊥面BDD1，
∵BD1⊂ 面BDD1，
∴AC⊥BD1，故B正确；
∵B1C⊂面BCC1B1，
且BD1∩面BCC1B1=B，故C错误；
∵DD1//BB1，BB1∩面ACB1=B1，故D错误．
故选B．
二、填空题
【答案】
16
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
根据题意，分析可得本题是一个等可能事件的概率，由分步计数原理可得事件包含的情况数目，由对数的运算性质，由lgab2=1可得b=2a，根据条件列举出可能的情况，根据概率公式得到结果．
【解答】
解：正面向上的数字可能为1，2，3，4，5，6，
则出现正面向上的数字为2的概率为16.
故答案为：16.
【答案】
{x|x≥3}
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得x−3≥0，解得x≥3.
故函数fx=x−3的定义域为{x|x≥3}.
故答案为：{x|x≥3}.
【答案】
1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出m
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=2−2m=0，
解得m=1.
故答案为：1．
【答案】
25π
【考点】
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
【解答】
解：∵圆锥的底面半径r=2，高ℎ=1，
∴圆锥的母线长l=r2+ℎ2=22+12=5，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积为
S侧面积=πrl=π×2×5=25π．
故答案为：25π．
【答案】
3
【考点】
余弦定理
【解析】
由a，csB以及b，利用余弦定理即可求出c的值；由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式求出即可．
【解答】
解：∵ a=2，csB=cs60∘，b=7，
∴ 由余弦定理得：b2=a2+c2−2ac⋅csB，即7=4+c2−2c，
解得：c=3或c=−1（舍去）.
故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：1因为这8个数据中，大于30的数有5个，
所以在这组数据中任取一个数，这个数大于30的概率为58.
2由12+22+26+34+36+42+43+40+x=33×8，
得x=9．
【考点】
茎叶图
古典概型及其概率计算公式
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1因为这8个数据中，大于30的数有5个，
所以在这组数据中任取一个数，这个数大于30的概率为58.
2由12+22+26+34+36+42+43+40+x=33×8，
得x=9．
【答案】
解：(1)由已知，可得f0=−2,f1=2,
即a0+b=−2,a+b=2,
解得a=5，b=−3 .
(2)因为fx=5x−3，an=fn，
所以an=5n−3，
故Sn=51−3+52−3+⋯+5n−3
=5+52+⋯+5n−3n
=5(5n−1)5−1−3n=5n+14−3n−54 .
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知，可得f0=−2,f1=2,
即a0+b=−2,a+b=2,
解得a=5，b=−3 .
(2)因为fx=5x−3，an=fn，
所以an=5n−3，
故Sn=51−3+52−3+⋯+5n−3
=5+52+⋯+5n−3n
=5(5n−1)5−1−3n=5n+14−3n−54 .
【答案】
解：1由图象可知，fx的最小正周期为π，
由2πω=π，得ω=2.
2因为fx=sin2x，且fθ=13，
所以sin2θ=13，
又0<θ<π4，
所以0<2θ<π2，
故cs2θ=1−sin22θ=223，
所以fθ+π6=sin2θ+π6=sin2θ+π3
=sin2θcsπ3+cs2θsinπ3
=13×12+223×32=1+266．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的周期性
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1由图象可知，fx的最小正周期为π，
由2πω=π，得ω=2.
2因为fx=sin2x，且fθ=13，
所以sin2θ=13，
又0<θ<π4，
所以0<2θ<π2，
故cs2θ=1−sin22θ=223，
所以fθ+π6=sin2θ+π6=sin2θ+π3
=sin2θcsπ3+cs2θsinπ3
=13×12+223×32=1+266．
【答案】
解：1因为圆C的方程可化为x−12+y−22=4，
所以圆C的圆心坐标1,2，半径为r=2.
2因为直线l的方程为x−y+2=0，
所以圆心C1,2到直线l的距离d1=12<2，
故直线l与圆C相交.
3设圆心C到直线m的距离为d，则AB=24−d2，
所以S△ABC=12d×AB=d24−d2≤d2+4−d22=2，
当且仅当d2=4−d2，即d=2时取等号．
设直线m的方程为y=kx，则d=k−2k2+1=2，
即k2+4k−2=0，
解得k=−2−6或k=−2+6，
所以直线m的方程为y=−2+6x或y=6−2x．
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1因为圆C的方程可化为x−12+y−22=4，
所以圆C的圆心坐标1,2，半径为r=2.
2因为直线l的方程为x−y+2=0，
所以圆心C1,2到直线l的距离d1=12<2，
故直线l与圆C相交.
3设圆心C到直线m的距离为d，则AB=24−d2，
所以S△ABC=12d×AB=d24−d2≤d2+4−d22=2，
当且仅当d2=4−d2，即d=2时取等号．
设直线m的方程为y=kx，则d=k−2k2+1=2，
即k2+4k−2=0，
解得k=−2−6或k=−2+6，
所以直线m的方程为y=−2+6x或y=6−2x．