2020-2021学年河南省信阳高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省信阳高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4

2. 已知复数z满足z⋅1+2i=i，则复数z的共轭复数z所对应的点位于复平面的( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 用反证法证明命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确的反设为（ ）
A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数
C.a，b，c至少有一个奇数D.a，b，c至多有一个偶数

4. 使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.1b>1a>0B.ea>ebC.a2>b2D.lna>lnb>0

5. 有一散点图如图所示，在5个(x, y)数据中去掉D(3, 10)后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④解释变量x与预报变量y的相关性变强.其中正确说法的个数为( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 若a，b，c满足2a=3，b=lg25，3c=2．则( )
A.a
7. 执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足( )

A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x

8. 在西方，人们把宽与长之比为5−125−12≈0.618的矩形称为黄金矩形，这个比例5−12被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD，矩形BCFE，矩形EBHG，矩形GEJI，矩形GKLI均为黄金矩形．若画中点G与点K间的距离超过3.2cm，点C与点F间的距离不超过14cm，则该名画中，A与B间的距离可能为( )
（参考数据： 0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)

A.34cmB.36cmC.37cm

9. 函数y=2x−2−xsinx在−π,π的图象大致为( )
A.B.
C.D.

10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如下所示：
附表及公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
则下列说法正确的是（ ）
A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

11. 若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=fx的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对P,Q是函数y=fx的一对“友好点对”（点对P,Q与Q,P看作同一对“友好点对”）．已知函数f(x)=lgax, x>0,|x+4|,−5≤x<0(a>0且a≠1)，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是( )
A.0,1∪1,+∞B.15,1
C.15,1∪1,+∞D.0,1

12. 若alna>blnb>clnc=1，则( )
A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc
B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc
C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna
D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb
二、填空题

已知A={x|ax−3x+a>0}，若1∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．

若幂函数y=fx的图象经过函数g(x)=lga(x+3)+14(a>0且 a≠1)图象上的定点A，则f12=________.

我们知道，当a>b>c时，可以得到不等式1a−b+1b−c≥4a−c，当a>b>c>d时，可以得到不等式1a−b+1b−c+1c−d≥9a−d，由此可以推广：当a1>a2>a3>⋯>an时，其中n∈N∗，n≥3得到的不等式是________．

已知fx=2f′ln2x+ex ，则曲线y=fx在0,f0处的切线方程为________.
三、解答题

已知i为虚数单位，关于x的方程x2−px+10=0p∈R的两根分别为x1，x2．若x1=3+i，求实数p 的值．

已知函数fx=x3+1−ax2−aa+2x， gx=19x−7．
(1)当a=1时，求fx的单调增区间；

(2)若对任意x1∈−1,1，总存在x2∈1,3，使得f′x1+2ax1=12gx2成立，求实数a的取值范围．

某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如下表：
他们分别用两种模型①y=bx+a，②y=aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；
②若广告投入量x=18，该模型收益的预报值是多少？
附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．

已知f′x是函数fx的导函数，且f−x=fx，当x≥0时，f′x>3x．
(1)证明：当x≥0时，函数gx=fx−32x2是增函数；

(2)解不等式fx−fx−1<3x−32．

已知fx=13x3+32x2+2x， f′x是fx的导数．
(1)求fx的极值；

(2)令gx=f′x+kex−1，若y=gx的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1−3t,y=3t,（t为参数），曲线C2的参数方程为
x=2+2csθ,y=2sinθ, （θ为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1的普通方程以及C2的极坐标方程；

(2)若C1与C2交于A，B两点，点M1,0，求|MA|+|MB|的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省信阳市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．
【解答】
解：∵ 集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，
∴ A∩B={2, 4}，
∴ A∩B中元素的个数为2．
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得z=i⋅1−2i5=2+i5，则z=25−15i，所以z所对应的点位于复平面的第四象限．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
无
【解答】
解：命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数”的否定为：
“自然数a，b，c中没有偶数”，即“自然数a，b，c都是奇数”．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题考查充分必要条件的应用，不等式性质及其应用，考查推理能力，属于基础题．根据不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果．
【解答】
解：A，∵a>b>0⇔1b>1a>0，
∴1b>1a>0是a>b>0的充要条件，故选项不符合题意；
B，∵ea>eb，
∴a>b，
∵ a>b>0⇒a>b，
∴ea>eb是a>b>0的必要不充分条件，故选项不符合题意；
C，∵a>b>0⇒a2>b2 ，
∴a2>b2是a>b>0的必要不充分条件，故选项不符合题意；
D，∵lna>lnb>0 ，
∴a>b>1 ，
∵a>b>1⇒a>b>0，
∴lna>lnb>0是a>b>0的充分不必要条件，故选项符合题意．
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
回归分析
【解析】
利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．
【解答】
解：∵ 从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，
则去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，
∴ 相关系数r变大，相关指数R2变大，残差的平方和变小，
∴ 四个命题都正确.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：由2a=3，可得a∈(1, 2)，
b=lg25>2，
由3c=2，可得c∈(0, 1)，
∴ c故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：输入x=0，y=1，n=1，
则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，
则x=12，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，
则x=32，y=6，满足x2+y2≥36，
输出x=32，y=6，
将x=32，y=6，代入四个选项中，只有y=4x满足.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
归纳推理
黄金分割常数
【解析】
无
【解答】
解：由黄金矩形的定义可知ADAB=CFAD=EGCF=GJEG=GKGI=5−12≈0.618，
∴ADAB⋅CFAD⋅EGCF⋅GIEG⋅GKGI=GKAB=5−125≈0.090，
∴AB=GK0.09>≈35.56cm，
又ADAB⋅CFAD=CFAB=5−122≈0.38，
∴AB=CF0.38≤140.38≈36.84cm，
∴AB∈(35.56,36.84)．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
函数的零点
【解析】
本题主要考查了函数的奇偶性和零点以及函数的图象，属于基础题，根据奇偶性的定义可得f(x)为偶函数，排队B；再令f(x)=0可得函数的零点为−π，0，π，排队CD，从而得到结论．
【解答】
解：函数定义域[−π,π]关于原点对称，
且f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)
=−(2x−2−x)(−sinx)
=(2x−2−x)sinx=f(x)，
∴f(x)是偶函数，故排除A；
令f(x)=0，即(2x−2−x)sinx=0，
∴ 2x−2−x=0或sinx=0，
又x∈[−π,π]，
∴ 解得x=−π，0，π，排除C，D.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
独立性检验
【解析】
无
【解答】
解：根据表可知，K2=40×14×13−6×7220×20×21×19=4.91，
由于3.841<4.91<6.635，
∴有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．
故选C．
11.
【答案】
C
【考点】
函数新定义问题
函数的零点
【解析】
根据原点对称的性质，求出当−5≤x<0时函数关于原点对称的函数，
条件转化函数fx=lgaxx>0与y=−|x−4|0作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．
【解答】
解：当−5≤x<0时，
函数y=|x+4|关于原点对称的函数为−y=|−x+4|，
即y=−|x−4|0若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数fx=lgaxx>0与y=−|x−4|0作出两个函数的图象如图所示，
若a>1，则f(x)=lgax(x>0)的图象与y=−|x−4|0当x=5时，y=−|5−4|=−1；
若0即lga5<−1=lga1a，得1a<5，得a<0或a>15.
由于0综上可得a的范围是151，
即实数a的取值范围是15,1∪1,+∞.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
对数值大小的比较
利用导数研究函数的单调性
【解析】
alna>blnb>clnc=1，则lnaa>lnbb>lncc=1，elna>elnbb>elnccc=e，即aa>bb>cc=e，所以a>b>c=e>1，则eb+clnb>lnc，
由指数函数的增速度远比对数函数大，故ea+blnc>ec+alnb>eb+clna．
【解答】
解：令f(x)=xlnx，则f′(x)=1+lnx，
当01e时，f′(x)>0，
即f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
由alna>blnb>clnc=1 ，
可得a>b>c，
记gx=lnxex，g′x=1x−lnxex ，
由于函数y=1x−lnx在(0,+∞)上单调递减，lnc=1c，
则1x−lnx=0在(0,+∞)上有唯一解c，
当x>c时，g′(x)<0，
所以x>c时，gx单调递减，
故gaea+clnb>eb+clna.
故选C.
二、填空题
【答案】
[−3, −1)
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
根据元素与集合的关系，列出满足条件的不等式组，解得a的取值范围即可．
【解答】
解：因为1∈A，3∉A，
所以a−31+a>0，3a−33+a≤0或3+a=0，
解得−3≤a<−1．
故答案为：[−3, −1).
【答案】
4
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
先求出点A(−2,14)，设幂函数f(x)的解析式为f(x)=xα，把点A(−2,14)代入幂函数的解析式求出α的值，可得幂函数的解析式，从而求得f(12)的值．
【解答】
解：函数g(x)=lga(x+3)+14(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(−2, 14)，
设幂函数f(x)的解析式为f(x)=xα，
把点A(−2, 14)代入幂函数的解析式可得14=(−2)α，
则α=−2，
故f(x)=x−2，
即f12=12−2=4.
故答案为：4.
【答案】
1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an
【考点】
类比推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由类比推理可得得到的不等式是1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an.
故答案为：1a1−a2+1a2−a3+⋯+1an−1−an≥n−12a1−an.
【答案】
3x+y−1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：f′x=2f′ln2+ex，
令 x=ln2得 f′ln2=2f′ln2+2，
解得f′ln2=−2，
∴fx=ex−4x，
f′x=ex−4，
则f0=1，f′0=−3，
∴曲线y=fx在 (0,f(0))处的切线方程为y−1=−3x，
即3x+y−1=0．
故答案为：3x+y−1=0．
三、解答题
【答案】
解：把x1=3+i代入关于x的方程x2−px+10=0p∈R，
得3+i2−p3+i+10=0，
解得p=6，则p的值为6．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：把x1=3+i代入关于x的方程x2−px+10=0p∈R，
得3+i2−p3+i+10=0，
解得p=6，则p的值为6．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x3−3x，则f′x=3x2−3，
令f′x=3x2−3>0，解得x>1或x<−1，
所以fx的单调增区间为−∞,−1，1,+∞.
(2)由题意知，gx在1,3上的值域为−23,12，
所以12gx的值域为−13,6 .
令ℎx=f′x+2ax=3x2+2x−aa+2 ，
其图象对称轴为x=−13，
且当x∈[−1,−13）时，函数ℎx单调递减，
当x∈(−13,1]时，函数ℎx单调递增，
所以ℎxmin=ℎ−13=−a2−2a−13，
ℎxmax=ℎ1=−a2−2a+5.
又由题意可知，ℎx的值域是−13,6的子集，
所以−a2−2a−13≥−13，−a2−2a+5≤6, 解得−2≤a≤0，
所以实数a的取值范围为−2,0 ．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，fx=x3−3x，则f′x=3x2−3，
令f′x=3x2−3>0，解得x>1或x<−1，
所以fx的单调增区间为−∞,−1，1,+∞.
(2)由题意知，gx在1,3上的值域为−23,12，
所以12gx的值域为−13,6 .
令ℎx=f′x+2ax=3x2+2x−aa+2 ，
其图象对称轴为x=−13，
且当x∈[−1,−13）时，函数ℎx单调递减，
当x∈(−13,1]时，函数ℎx单调递增，
所以ℎxmin=ℎ−13=−a2−2a−13，
ℎxmax=ℎ1=−a2−2a+5.
又由题意可知，ℎx的值域是−13,6的子集，
所以−a2−2a−13≥−13，−a2−2a+5≤6, 解得−2≤a≤0，
所以实数a的取值范围为−2,0 ．
【答案】
解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模
型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)①剔除异常数据，即组号为3的数据，
剩下数据的平均数为x=157×6−6=7.2 ，
y=1530×6−31.8=29.64，
i=15xiyi−5xy=206.4，i=15xi2−5x2=68.8，
∴ b=，a=y−bx=29.64−3×7.2=8.04，
∴ 所选模型的回归方程为y=3x+8.04.
②把x=18代入①中所求回归方程得：
y=3×18+8.04=62.04，故预报值为62.04万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
求解线性回归方程
【解析】
（1）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故选模型①．
（2）（i）剔除异常数据，计算剩下数据的平均数，求出回归系数，写出回归方程；
（ⅱ）把x=18代入回归方程，即可求得该模型收益的预报值．
【解答】
解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模
型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
(2)①剔除异常数据，即组号为3的数据，
剩下数据的平均数为x=157×6−6=7.2 ，
y=1530×6−31.8=29.64，
i=15xiyi−5xy=206.4，i=15xi2−5x2=68.8，
∴ b=，a=y−bx=29.64−3×7.2=8.04，
∴ 所选模型的回归方程为y=3x+8.04.
②把x=18代入①中所求回归方程得：
y=3×18+8.04=62.04，故预报值为62.04万元．
【答案】
(1)证明：∵ gx=fx−32x2，
∴ g′x=f′x−3x．
∵ 当x≥0时，f′x>3x，
∴ 当x≥0时，g′x=f′x−3x>0，
∴ gx在[0,+∞)上是增函数．
(2)∵ f−x=fx，
∴ g−x=f−x−32−x2=fx−32x2=gx．
∴ gx是偶函数．
又∵ fx−fx−1<3x−32，
∴ f(x)−32x2∴ g|x|故不等式fx−fx−1<3x−32 的解集为−∞,12 ．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ gx=fx−32x2，
∴ g′x=f′x−3x．
∵ 当x≥0时，f′x>3x，
∴ 当x≥0时，g′x=f′x−3x>0，
∴ gx在[0,+∞)上是增函数．
(2)∵ f−x=fx，
∴ g−x=f−x−32−x2=fx−32x2=gx．
∴ gx是偶函数．
又∵ fx−fx−1<3x−32，
∴ f(x)−32x2∴ g|x|故不等式fx−fx−1<3x−32 的解集为−∞,12 ．
【答案】
解：(1)因为f′x=x2+3x+2=x+1x+2，
所以令f′x=0，得x1=−1,x2=−2 .
当x变化时，f′x,fx的变化如下表所示：
由上表可知，fx极大值=f−2=−23，x极小值=f−1=−56；
(2)由(1)知gx=x2+3x+2+kex−1=x2+3x+1+kex.
由题知需x2+3x+1+kex=0有三个不同的解，即k=−x2+3x+1ex有三个不同的解．
设ℎx=−x2+3x+1ex，则ℎ′x=x2+x−2ex=x+2x−1ex，
当x∈−∞,−2时，ℎ′x>0,ℎx单调递增，
当x∈−2,1时， ℎ′x<0,ℎx单调递减，
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0,ℎx单调递增.
又当x→−∞时，ℎx→−∞，当x→+∞时，ℎx→0且ℎx<0，且ℎ−2=e2 ，ℎ1=−5e ．
作出函数ℎx的简图如图：
数形结合可知：−5e【考点】
利用导数研究函数的极值
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f′x=x2+3x+2=x+1x+2，
所以令f′x=0，得x1=−1,x2=−2 .
当x变化时，f′x,fx的变化如下表所示：
由上表可知，fx极大值=f−2=−23，x极小值=f−1=−56；
(2)由(1)知gx=x2+3x+2+kex−1=x2+3x+1+kex.
由题知需x2+3x+1+kex=0有三个不同的解，即k=−x2+3x+1ex有三个不同的解．
设ℎx=−x2+3x+1ex，则ℎ′x=x2+x−2ex=x+2x−1ex，
当x∈−∞,−2时，ℎ′x>0,ℎx单调递增，
当x∈−2,1时， ℎ′x<0,ℎx单调递减，
当x∈1,+∞时，ℎ′x>0,ℎx单调递增.
又当x→−∞时，ℎx→−∞，当x→+∞时，ℎx→0且ℎx<0，且ℎ−2=e2 ，ℎ1=−5e ．
作出函数ℎx的简图如图：
数形结合可知：−5e【答案】
解：(1)因为曲线C1的参数方程为x=1−3t,y=3t,（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为x+y−1=0.
因为x=2+2csθ,y=2sinθ,
所以x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0，
所以ρ2=4ρcsθ，即曲线C2的极坐标方程为ρ=4csθ．
(2)曲线C1的参数方程可化为x=1−22t,y=22t, （t为参数），
代入x2+y2−4x=0中，可得t2+2t−3=0.
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
所以t1+t2=−2，t1t2=−3，
故|MA|+|MB|=|AB|=t1+t22−4t1t2=14.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
参数方程的优越性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为曲线C1的参数方程为x=1−3t,y=3t,（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为x+y−1=0.
因为x=2+2csθ,y=2sinθ,
所以x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0，
所以ρ2=4ρcsθ，即曲线C2的极坐标方程为ρ=4csθ．
(2)曲线C1的参数方程可化为x=1−22t,y=22t, （t为参数），
代入x2+y2−4x=0中，可得t2+2t−3=0.
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
所以t1+t2=−2，t1t2=−3，
故|MA|+|MB|=|AB|=t1+t22−4t1t2=14.班级
人数
总计
优秀
非优秀
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
广告投入量
2
4
6
8
10
12
收益
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
x
y
i=16xiyi
i=16xi2
7
30
1464.24
364
x
(−∞,−2)
−2
(−2,−1)
−1
(−1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
(−∞,−2)
−2
(−2,−1)
−1
(−1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗