2020-2021学年河南省信阳市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省信阳市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 用系统抽样的方法从全校1000人中抽取50人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，4，⋯，999，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为19，则第三组抽取的号码是（ ）
A.29B.39C.49D.59

2. 下列三角函数值为负数的是（ ）
A.sin2B.cs3C.tan4D.cs−5

3. 在△ABC中，若BD→=2DC→，则AD→等于（ ）
A.13AB→+23AC→B.23AB→+13AC→
C.AB→+2AC→D.2AB→+AC→

4. 已知角α的终边与单位圆交于点P−13,yy>0，则sinα等于（ ）
A.−23B.23C.−223D.223

5. 在△ABC中，AB→⋅AC→=0，AB=3，AC=4，则AB→在CB→上的投影为（ ）
A.−95B.95C.−165D.165

6. 魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率，首创“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15∘≈0.2588）（ ）

A.12B.24C.48D.96

7. 函数fx=2sin2x+π4图象的一个对称中心为（ ）
A.π,0B.3π8,0C.π8,0D.−π4,0

8. 若A，B是随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A.PA∪B=PA+PB
B.P(A∩B)=P(A)PB
C.若A，B是对立事件，则A，B互斥
D.若A，B是互斥事件，则A，B对立

9. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生一组随机数：
937 966 191 925 274 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 123 537 986
若用1，3，5，7，9表示下雨，用0，2，4，6，8表示不下雨，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）
A.14B.720C.25D.38

10. 如图，点A，B，C在半圆O上，AOCD为正方形，在图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A.2πB.1π+2C.2π+2D.2π+4

11. 为了得到函数y=cs2x−π3的图象，只需把y=sin2x图象上所有点（ ）
A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度
C.向左平移π12个单位长度D.向右平移π12个单位长度

12. 已知函数fx=sinωx+φ，其中ω>0，|φ|≤π2，−π4为fx的零点，且fx≤|fπ4|恒成立，fx在区间−π12,π24上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）
A.17B.15C.13D.11
二、填空题

三进制数2021(3)化成十进制数是________．

一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为7，则数据3x1−4，3x2−4，⋯，3xn−4的平均数为________．

已知向量a→=sinα,csα,b→=−2,1共线，则sin2α−cs2α=________.

古希腊的数学家毕达哥拉斯最先发现和研究了黄金分割．我们把底与腰的长度比等于黄金比值5−12的等腰三角形叫做黄金三角形，已知黄金三角形的顶角为36∘，则cs36∘=________．
三、解答题

已知|a→|=2，|b→|=1，a→与b→的夹角为π3．
(1)求a→⋅b→与|a→−2b→|的值；

(1)若a→+b→与a→−λb→垂直，求实数λ的值．

某厂生产内径为10.00mm 的一种精密零件，从生产的零件中抽出100件，将内径尺寸绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分5组，分别为[9.90,9.94),[9.94,9.98),[9.98,10.02),[10.02,10.06),10.06,10.10.
规定：尺寸在[9.98,10.02）的零件为优质品，尺寸在[9.94,9.98)和[10.02,10.06)的零件为合格品，尺寸在[9.90,9.94)和10.06,10.10的零件为次品．

(1)估计该厂的优质品率与次品率；

(2)从该厂生产零件的样本尺寸在[9.98,10.06)的零件中，按分层抽样的方法随机抽取7件，再从中抽出两件进行检测，求两个零件中至少有一件是优质品的概率；

(3)已知生产一件产品的利润y（单位：元）与零件的等级如下表所示：
估计该厂生产上述100件零件平均一件的利润．

为了全面提高学生的体质健康水平，充分发挥体育考试的激励作用，信阳市今年中考体育考试成绩以满分70分计入中招成绩总分（其中中长跑满分30分）．甲、乙两名同学进行了多次中长跑训练，现将甲、乙两同学10次的训练成绩记录如下：
甲：24，23，28，23，28，20，26，28，25，25；
乙：16，30，30，28，29，28，26，23，29，28.
(1)完成两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两名同学的成绩作比较，写出两个统计结论；

(2)设甲同学平均成绩为x¯，将这10次成绩依次输入，按程序框（如图）进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．

已知函数fx=cs2x−sin2x−23sinxcsxx∈R．
(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；

(2)若x∈0,π2，求fx的最大值与最小值，并求fx取最大值与最小值时的x的值．

2021年3月的中美高层战略对话中国代表的表现令国人振奋，印有杨洁篪“中国人不吃这一套”金句的T恤衫成为热销产品．某商场在五天内这种T恤衫的销售情况如下表：

(1)求y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(2)若每件T恤衫利润为20元，试根据(1)求出的线性回归方程，预测该商场第8天能获利多少元？
参考数据：i=15xiyi=17×1+38×2+59×3+80×4+106×5=1120．
参考公式：回归直线的方程是y=bx+a，其中b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2,a=y¯−bx¯.

已知向量a→=(2csx,1)，b→=(csx,3sin2x+m)函数f(x)=a→⋅b→.

(1)若x∈R时，不等式−3
(2)当x∈[0，π]时，讨论函数f(x)的零点情况.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省信阳市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
系统抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：1000人中抽取50人做问卷调查，分50组，每组20人，
由于第一组中采用抽签法抽到的号码为19，
∴抽到的号码依次为19，39，59，⋯，999．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：sin2>0，cs3<0，tan4>0，cs−5=cs5>0．
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
无
【解答】
解：AD→=AB→+23BC→=AB→+23AC→−AB→=13AB→+23AC→．
故选A．
4.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
无
【解答】
解：由−132+y2=1，y>0，
得y=223，
∴sinα=y=223．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
向量的投影
【解析】
无
【解答】
解：依题意，△ABC为直角三角形，A=90∘，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
作AD⊥BC，D为垂足，
则DB=95，
又AB→与CB→的夹角为锐角，
即AB→在CB→上的投影为95．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
无
【解答】
解：第1次执行循环体后，
S=12×6×sin60∘=332，
不满足退出循环的条件，则n=12，
第2次执行循环体后，
S=12×12×sin30∘=3，
不满足退出循环的条件，则n=24，
第3次执行循环体后，
S=12×24×sin15∘≈3.1058，
满足退出循环的条件，则输出的n值为24．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：由 2x+π4=kπ，k∈Z，
得x=kπ2−π8，k∈Z，
取k=1，
得x=3π8．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
无
【解答】
解：选项A，选项B不一定成立；
对立一定互斥，互斥不一定对立．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
【解答】
解：基本事件总数为20，三天中恰有两天下雨有925，932，569，431，257，556，730，123，共8个，
所求概率约为P=820=25．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
无
【解答】
解：通过割补法，知阴影部分的面积等于三角形ACD的面积，不妨设圆O的半径为1，
则S全=1×1+14×π×12=1+π4，
S阴影=12×1×1=12，
故所求概率为 P=S阴影S全=121+π4=2π+4 ．
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
无
【解答】
解：y=cs2x−π3=sin(2x−π3+π2)=sin2(x+π12) ，
∴为了得到函数y=cs2x−π3 的图象，只需把y=sin2x图象上所有点向左平移π12个单位长度．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
函数恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：由题意知函数fx=sinωx+φ，ω>0，|φ|≤π2，
x=π4为y=fx图象的对称轴，x=−π4为fx的零点，
∴2n−14⋅2πω=π2，n∈N∗，
∴ω=2n−1，n∈N∗，
又∵fx在区间−π12,π24上有最小值无最大值，
∴周期 T≥π24+π12=π8，
即2πω≥π8，
∴ω≤16，
∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω=15，
当ω=15时，由题意可得−π4×15+φ=kπ，
∵|φ|≤π2，
∴ φ=−π4，
函数为y=fx=sin15x−π4，
在区间−π12,π24上，15x−π4∈−3π2,3π8，
此时fx在15x−π4=−π2时取得最小值，
∴ω=15满足题意．
则ω的最大值为15．
故选B．
二、填空题
【答案】
61
【考点】
进位制
【解析】
无
【解答】
解：2021(3)=2×33+0×32+2×31+1=61．
故答案为：61．
【答案】
17
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：3x1−4，3x2−4，⋯，3xn−4的平均数为3×7−4=17.
故答案为：17.
【答案】
−15
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量a→=sinα,csα,b→=−2,1共线，
∴ sinα+2csα=0，
∴ tanα=−2，
∴ sin2α−cs2α=2tanα1+tan2α−1−tan2α1+tan2α=−15.
故答案为：−15.
【答案】
5+14
【考点】
解三角形
黄金分割法—0.618法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ABC中，不妨设AB=AC=1，BC=5−12，
作AD⊥BC，D为垂足，则∠BAD=18∘，sin18∘=BC2AB=5−14，
∴ cs36∘=1−2sin218∘=1−25−142
=5+14．
故答案为：5+14.
三、解答题
【答案】
解：(1)a→⋅b→=|a→|×|b→|csπ3=1；
|a→−2b→|=a→−2b→2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=2．
(2)若a→+b→与a→−λb→垂直，则a→+b→⋅a→−λb→=0，
即a→2+1−λa→⋅b→−λb→2=0，
∴ 22+1−λ×1−λ×1=0，
∴ λ=52．
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)a→⋅b→=|a→|×|b→|csπ3=1；
|a→−2b→|=a→−2b→2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=2．
(2)若a→+b→与a→−λb→垂直，则a→+b→⋅a→−λb→=0，
即a→2+1−λa→⋅b→−λb→2=0，
∴ 22+1−λ×1−λ×1=0，
∴ λ=52．
【答案】
解：(1)由实验结果知，该厂的优质品率为10×0.04=40%，次品率为0.5+0.5×0.04=4%．
(2)该厂生产零件的样本尺寸在[9.98,10.06)的零件中优质品与合格品的概率之比为4:3．随机抽取7件，其中优质品4件分别记为a,b,c,d，合格品3件，记为1，2，3．
从7件零件中随机抽取2件的一切可能结果所组成的基本事件共21个：
a,b,a,c,a,d,a,1,a,2，a,3,b,c,b,d,b,1,b,2,b,3，
c,d,c,1,c,2,c,3,d,1,d,2,d,3,1,2，1,3,2,3．
用A表示“两个零件中至少有一件是优质品”的事件，则事件A由18个基本事件组成：(a,b),(a,c),(a,d),(a,1)，(a,2),(a,3),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(b,3),(c,d),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)．故事件A的概率为PA=1821=67．
(3)该厂生产上述100件零件中，优质品40件，合格品56件，次品4件，平均一件的利润为
1100×20×40+10×56+−20×4=12.8（元）.
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由实验结果知，该厂的优质品率为10×0.04=40%，次品率为0.5+0.5×0.04=4%．
(2)该厂生产零件的样本尺寸在[9.98,10.06)的零件中优质品与合格品的概率之比为4:3．随机抽取7件，其中优质品4件分别记为a,b,c,d，合格品3件，记为1，2，3．
从7件零件中随机抽取2件的一切可能结果所组成的基本事件共21个：
a,b,a,c,a,d,a,1,a,2，a,3,b,c,b,d,b,1,b,2,b,3，
c,d,c,1,c,2,c,3,d,1,d,2,d,3,1,2，1,3,2,3．
用A表示“两个零件中至少有一件是优质品”的事件，则事件A由18个基本事件组成：(a,b),(a,c),(a,d),(a,1)，(a,2),(a,3),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(b,3),(c,d),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)．故事件A的概率为PA=1821=67．
(3)该厂生产上述100件零件中，优质品40件，合格品56件，次品4件，平均一件的利润为
1100×20×40+10×56+−20×4=12.8（元）.
【答案】
解：(1)茎叶图如下：
统计结论：
①甲的平均成绩小于乙的平均成绩；
②甲比乙的成绩稳定（甲的方差小于乙）；
③甲的中位数为25，乙的中位数为28；
④甲的众数为28，乙的众数为28；
(2)x¯=25,S=6.2，
S表示甲10次成绩的方差，是描述成绩离散程度的量．
S值越小，表示成绩越稳定，S值越大，表示成绩波动大，不够稳定．
【考点】
茎叶图
程序框图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)茎叶图如下：
统计结论：
①甲的平均成绩小于乙的平均成绩；
②甲比乙的成绩稳定（甲的方差小于乙）；
③甲的中位数为25，乙的中位数为28；
④甲的众数为28，乙的众数为28；
(2)x¯=25,S=6.2，
S表示甲10次成绩的方差，是描述成绩离散程度的量．
S值越小，表示成绩越稳定，S值越大，表示成绩波动大，不够稳定．
【答案】
解：(1)fx=cs2x−3sin2x=−2sin2x−π6．
∴ fx的最小正周期是π．
由正弦函数的性质得2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，
∴ fx的单调递增区间是kπ+π3,kπ+5π6，k∈Z．
(2)若x∈0,π2，则2x−π6∈−π6,5π6，
∴ sin2x−π6∈−12,1，∴ fx∈−2,1．
即fx的最大值为1，此时，x=0；fx的最小值为−2．此时，x=π3．
【考点】
正弦函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)fx=cs2x−3sin2x=−2sin2x−π6．
∴ fx的最小正周期是π．
由正弦函数的性质得2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，
∴ fx的单调递增区间是kπ+π3,kπ+5π6，k∈Z．
(2)若x∈0,π2，则2x−π6∈−π6,5π6，
∴ sin2x−π6∈−12,1，∴ fx∈−2,1．
即fx的最大值为1，此时，x=0；fx的最小值为−2．此时，x=π3．
【答案】
解：(1)由数据可得x¯=151+2+3+4+5=3,y¯=1517+38+59+80+106=60，
i=15xiyi=17×1+38×2+59×3+80×4+106×5=1120，
i=15xi2=12+22+32+42+52=55，
b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2=1120−90055−45=22,a=y¯−bx¯=60−22×3=−6，
故y关于x的线性回归方程为y=22x−6.
(2)由(1)知，当x=8时，y=22×8−6=170．
∴ 每件T恤衫利润为20元，可以预测该商场第8天能获利20×170=3400元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由数据可得x¯=151+2+3+4+5=3,y¯=1517+38+59+80+106=60，
i=15xiyi=17×1+38×2+59×3+80×4+106×5=1120，
i=15xi2=12+22+32+42+52=55，
b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2=1120−90055−45=22,a=y¯−bx¯=60−22×3=−6，
故y关于x的线性回归方程为y=22x−6.
(2)由(1)知，当x=8时，y=22×8−6=170．
∴ 每件T恤衫利润为20元，可以预测该商场第8天能获利20×170=3400元．
【答案】
解：(1)由题意得：
f(x)=a→⋅b→=2cs2x+3sin2x+m，
∴f(x)=3sin2x+cs2x+m+1
=2sin2x+π6+m+1.
当x∈R时，∵sin2x+π6∈[−1,1]，
∴f(x)∈[m−1,m+3], −3则m−1>−3m+3<3，
解得：−2(2)令f(x)=0得：2sin2x+π6=−m−1,
得：sin2x+π6=−m−12.
∵x∈[0,π]
∴2x+π6∈π6,13π6
令u=2x+π6∈π6,13π6,
则sinu=−m−12，u由图知：
1​∘当−m−12>1或−m−12<−1，
即m<−3或m>1时，0个零点.
2​∘当−m−12=1或−m−12=−1,
即m=−3或m=1时，1个零点；
3​∘当12<−m−12<1或−1<−m−12<12，
即−34​∘当−m−12=12，即m=−2时，3个零点.
综上：1​∘m<−3或m>1时，0个零点；
2​∘m=−3或m=1时，1个零点；
3​∘−34​∘m=−2时，3个零点.
【考点】
两角和与差的正弦公式
数量积的坐标表达式
正弦函数的定义域和值域
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得：
f(x)=a→⋅b→=2cs2x+3sin2x+m，
∴f(x)=3sin2x+cs2x+m+1
=2sin2x+π6+m+1.
当x∈R时，∵sin2x+π6∈[−1,1]，
∴f(x)∈[m−1,m+3], −3则m−1>−3m+3<3，
解得：−2(2)令f(x)=0得：2sin2x+π6=−m−1,
得：sin2x+π6=−m−12.
∵x∈[0,π]
∴2x+π6∈π6,13π6
令u=2x+π6∈π6,13π6,
则sinu=−m−12，u由图知：
1​∘当−m−12>1或−m−12<−1，
即m<−3或m>1时，0个零点.
2​∘当−m−12=1或−m−12=−1,
即m=−3或m=1时，1个零点；
3​∘当12<−m−12<1或−1<−m−12<12，
即−34​∘当−m−12=12，即m=−2时，3个零点.
综上：1​∘m<−3或m>1时，0个零点；
2​∘m=−3或m=1时，1个零点；
3​∘−34​∘m=−2时，3个零点.零件等级
优质品
合格品
次品
利润y
20
10
−20
第x天
1
2
3
4
5
销售量y（件）
17
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