2020-2021学年贵州省遵义高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年贵州省遵义高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线x+y−1=0的倾斜角是（ ）
A.π6B.π4C.π3D.3π4

2. 已知z=i1−i，则|z|=( )
A.12B.22C.1D.2

3. 下列求导正确的是( )
A.x′=x2B.ex+1′=ex+1
C.csx′=−sinxD.xlnx′=lnx

4. 某双曲线两条渐近线的夹角为π3，则该双曲线的离心率为( )
A.2B.3C.2D.233

5. 直线ax+a+1y+a−1=0过定点( )
A.2,1B.2,−3C.−2,1D.−2,3

6. 对于任意正实数m，命题p:“1m<1”，命题q:“m2>1”，则p是q的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7. 已a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则α//β
B.若a⊂α，b⊂β，a//b，则α//β
C.若a⊥β，a⊥α，则α//β
D.若α⊥β，b⊥β，则b//α

8. 函数fx=ex−e−xx2−x的图像大致为( )
A.B.
C.D.

9. 已知f′x=2，则limΔx→0fx+Δx−fx−ΔxΔx=（ ）
A.−4B.−2C.0D.4

10. 如图，某正三棱柱展开图如图所示，则该棱柱的表面积为( )

A.63B.1532C.93D.103

11. 如图，把一个体积为64cm3 ，表面涂有灰漆的正方体木块锯成64个体积为1cm3的小正方体.从中任取1块，则这1块至少有1面涂漆的概率为( )

A.132B.116C.78D.1516

12. 长方体顶ABCD−A1B1C1D1顶点均在球O上，AB=3，O−ABCD体积为2，则球O面积的最小值为( )
A.12πB.16πC.17πD.24π
二、填空题

抛物线x2=4y的焦点坐标为________．

x2+y2+2y−3=0表示圆的半径为________.

直线3x+ay−1=0的一个法向量是m→=1,43，则a=________.

F1，F2是双曲线C:x22−y2=1的左右焦点，过点F1的直线l与C的左右两支曲线分别交于A、B两点，若l⊥F2B，则F2A→⋅F2B→=________.
三、解答题

某学校在一次调查“足球迷”的活动中，随机调查男生，女生共96人，调查结果如下：

(1)男生、女生中“足球迷”的频率分别是多少？

(2)是否有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异？
附：K2=nad−bc2a+ba+da+cb+d，其中n=a+b+c+d，

已知⊙O圆心在直线y=x+2上，且过点A1,0，B2,1.
(1)求⊙O的标准方程；

(2)已知过点3,1的直线l被截得的弦长为4，求直线l的方程．

一次考试中，每位考生要在8道试题中随机依次抽出2道题回答，答对其中1题为及格．已知某位考生会答8道题中的5道题．
(1)这位考生第一次抽到的题是他会答的题的概率？

(2)这位考生及格的概率有多大？

如图．已知△ABC是正三角形，EA．CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2,DC=1，F是BE的中点．

(1)求证：DF//平面ABC；

(2)求三棱锥B−ADF体积．

设函数fx=x3+3mx2+nx+m2且在x=−1处取得极值．
(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在0,2上单调递增，求实数m的取值范围．

已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆C过点3,12.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在不过原点O的直线l:y=kx+m与C交于PQ两点，使得OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．若存在，求出k，m满足条件．若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年贵州省遵义市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】
解：因为直线x+y−1=0的斜率是−1，
所以直线x+y−1=0的倾斜角的正切值为−1，
则直线x+y−1=0的倾斜角为3π4．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
无
【解答】
解：∵ z=i1−i=i1+i2=−12+i2，
∴ |z|=22．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的运算法则求导，然后再判断正确答案．
【解答】
解：A，x′=12x−12，故选项错误；
B，ex+1′=ex，故选项错误；
C，csx′=−sinx，故选项正确；
D，xlnx′=x′lnx+xlnx′=lnx+1，故选项错误.
故选C．
4.
【答案】
C,D
【考点】
双曲线的特性
【解析】
先由双曲线的两条渐近线的夹角为60∘，得双曲线的两条渐近线的斜率为±33，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由ba=33，再由双曲线中c2=a2+b2，求其离心率即可．
【解答】
解：∵ 双曲线的两条渐近线的夹角为π3，且渐近线关于x、y轴对称，
∴ 双曲线的两条渐近线中经过一象限的渐近线的倾斜角为30∘或60∘，
则斜率为3或33，
即ba=3或33，
若ba=3则b=3a，
则c=a2+b2=4a2=2a，
则离心率e=ca=2.
若ba=33，则b=33a，
则c=a2+b2=a2+39a2=233a，
则离心率e=ca=233.
综上所述，离心率为2或233，
故选CD．
5.
【答案】
C
【考点】
直线恒过定点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线ax+a+1y+a−1=0过定点，则该直线与a无关，
即a(x+y+1)+y−1=0，
则x+y+1=0，y−1=0，
解得：x=−2，y=1.
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
解出关于p、q的x的范围，结合集合的包含关系，判断即可．
【解答】
解：若命题p:“1m<1”成立，即m>1或m<0，
若命题q:“m2>1”成立，即m>1或m<−1，
故p是q的充要条件．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，若a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则α与β平行或相交；
B，若a⊂α，b⊂β，a//b，则α与β平行或相交；
C，若直线a同时垂直于两个平面α，β，则α//β；
D，若α⊥β，b⊥β，则b可能在α上，即b不一定平行α.
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】
解：函数f−x=e−x−ex−x2−(−x)=−ex−e−xx2+x=−fx，
则函数fx为奇函数，图象关于原点对称，排除CD；
当x=1时，e>f1=e−1e−1>0，排除B．
故选A．
9.
【答案】
D
【考点】
导数的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据导数的定义可知，
limΔx→0fx+Δx−fx−ΔxΔx=2f′(x)=4.
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面三角形的边长，代入棱柱表面积公式，即可得到答案．
【解答】
解：该三棱柱的直观图如图，
则底面三角形的高为3×32=32，
所以该棱柱的表面积为：
S=3×3×2+2×12×3×32
=63+323=1523．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，先弄清至少有一面涂红漆的小正方体个数以及没有颜色的小正方体的个数，从中随机取出一块，根据古典概型及其概率计算公式解之即可.
【解答】
解：由题意可知，正方体的边长为364=4cm，
没有颜色的小正方体有8个，
至少有一面涂有红色的小正方体有56个，
从64个正方体中随机取出1块，
这一块至少有一面有红色的概率是P=5664=78.
故选C.
12.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
解题时，先设AD=x，AA′=y，球O的半径为r，然后求出长方体的体对角线长d=2r=x2+y2+9，利用四棱锥的体积为2，求出x2+y2的最小值，再求出球O的表面积的最小值．
【解答】
解：设AD=x，AA′=y，球O的半径为r，
则长方体的体对角线长d=2r=x2+y2+9，
整理得，4r2=x2+y2+9，
因为VO−ABCD=13×12×3xy=12xy=2，则xy=4，
所以x2+y2≥2xy=8，
当且仅当x=y=2时，等号成立，
此时(4r2)min=8+9=17，
所以rmin=172，
Smin=4πrmin2=4π×174=17π．
故选C．
二、填空题
【答案】
(0, 1)
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，
∴ p2=1，
∴ 抛物线x2=4y的焦点坐标为(0, 1).
故答案为：(0,1).
【答案】
2
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
将圆化成标准方程，结合圆的标准方程与基本概念，可得半径的大小．
【解答】
解：x2+y2+2y−3=0转化为标准方程为：
x2+(y+1)2=22，
则x2+y2+2y−3=0表示圆的半径为2.
故答案为：2.
【答案】
4
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用直线法向量的定义即可求解
【解答】
解：∵ 直线3x+ay−1=0的一个法向量是m→=1,43，
∴ 该直线可表示为3x+4y−1=0，故a=4，
故答案为：4.
【答案】
6−42
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的应用
双曲线的定义
【解析】
求得双曲线的a，b，c由直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，解得|F2B|，再由向量数量积的定义，计算可得所求值．
【解答】
解：由题意知，a=2，b=1，c=3，
可得|F1F2|=23，
∵ l⊥F2B，
∴ |F1B|2+|F2B|2=|F1F2|2=12，
由双曲线的定义，可得|F1B|−|F2B|=2a=22，①
则(|F1B|−|F2B|)2=8，
则|F1B|⋅|F2B|=2，②
结合①②，解得|F2B|=2−2（负值舍去），
则F2A→⋅F2B→=|F2A→| |F2B|→⋅cs∠AF2B
=|F2B|2=6−42.
故答案为：6−42．
三、解答题
【答案】
解：(1)由图中表格可知，男生中“足球迷”的频率为2456；
女生中“足球迷”的频率为1640．
(2)由K2=nad−bc2a+bc+db+ca+c=9624×24−16×3240×56×40×56≈0.001，
查表知道0.001<6.635，
∴ 没有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异．
【考点】
频数与频率
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由图中表格可知，男生中“足球迷”的频率为2456；
女生中“足球迷”的频率为1640．
(2)由K2=nad−bc2a+bc+db+ca+c=9624×24−16×3240×56×40×56≈0.001，
查表知道0.001<6.635，
∴ 没有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异．
【答案】
解：(1)∵ 圆心O在直线y=x+2上，
∴ 设圆心O坐标为x0,x0+2.
∵ ⊙O过A1,0，B2,1两点，OA2=OB2，
∴ x0−12+x0+22=x0−22+x0+2−12，
解得x0=0，
∴ 圆心坐标为0,2，半径r=5，
∴ 圆的标准方程为x2+y−22=5.
(2)设直线l方程为y−1=kx−3，
由垂径定理得，原点到直线的距离为1，
由点到直线的距离公式d=|−3k−1|1+k2=1，
解得k=0或k=−34 ，
综上，直线l方程为y=1或3x+4y−13=0.
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ 圆心O在直线y=x+2上，
∴ 设圆心O坐标为x0,x0+2.
∵ ⊙O过A1,0，B2,1两点，OA2=OB2，
∴ x0−12+x0+22=x0−22+x0+2−12，
解得x0=0，
∴ 圆心坐标为0,2，半径r=5，
∴ 圆的标准方程为x2+y−22=5.
(2)设直线l方程为y−1=kx−3，
由垂径定理得，原点到直线的距离为1，
由点到直线的距离公式d=|−3k−1|1+k2=1，
解得k=0或k=−34 ，
综上，直线l方程为y=1或3x+4y−13=0.
【答案】
解：(1)由题意得，这位考生第一次抽到的题是他会答的题的概率为58.
(2)设会答题为Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，不会答题为N1，N2，N3，
则这位考生答题情况如表所示，
由表可得，该考生及格的概率为2528.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，这位考生第一次抽到的题是他会答的题的概率为58.
(2)设会答题为Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，不会答题为N1，N2，N3，
则这位考生答题情况如表所示，
由表可得，该考生及格的概率为2528.
【答案】
(1)证明：取BA的中点M，连接FM,MC，如图：
∵ F,M分别是BE,BA的中点，
∴ FM // EA，FM=12EA=1.
∵ EA，CD都垂直于平面ABC，
∴ CD // EA，
∴ CD // FM.
又CD=1=FM，
∴ 四边形FMCD是平行四边形，
∴ FD // MC.
∵ FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，
∴ DF // 平面ABC．
(2)解：∵ F是BE中点，EA=AB=2，DC=1，
∴ VB−ADF=VE−ADF，2VE−ADF=VD−ABE，
∵ VD−ABE=VB−ACDF=VB−ACD，
∴ 2VB−ADF=VB−ACD，
VB−ACDF=13S四边形ADCF⋅3=33⋅2+1=3
VB−ACD=13S△ADC⋅3=33⋅12⋅2=33，
VB−ADF=12VB−ACDF−VB−ACD=123−33=33.
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取BA的中点M，连接FM,MC，如图：
∵ F,M分别是BE,BA的中点，
∴ FM // EA，FM=12EA=1.
∵ EA，CD都垂直于平面ABC，
∴ CD // EA，
∴ CD // FM.
又CD=1=FM，
∴ 四边形FMCD是平行四边形，
∴ FD // MC.
∵ FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，
∴ DF // 平面ABC．
(2)解：∵ F是BE中点，EA=AB=2，DC=1，
∴ VB−ADF=VE−ADF，2VE−ADF=VD−ABE，
∵ VD−ABE=VB−ACDF=VB−ACD，
∴ 2VB−ADF=VB−ACD，
VB−ACDF=13S四边形ADCF⋅3=33⋅2+1=3
VB−ACD=13S△ADC⋅3=33⋅12⋅2=33，
VB−ADF=12VB−ACDF−VB−ACD=123−33=33.
【答案】
解：(1)f′x=3x2+6mx+n，
∵ f′−1=0即3−6m+n=0，
∴ 3−6m=n，
则f′(x)=3x2+6mx+n=3[x−(2m+1)](x+1).
①当m=−1时，f′x>0恒成立；
②当2m+1<−1，即m<−1时，
当x∈−∞,2m+1，−1,+∞， f′x>0，
∴ fx在−∞,2m+1，−1,+∞上单调递增，
x∈2m+1,−1，f′x<0，
∴ fx在2m+1,−1上单调递减．
③当2m+1>−1，即m>−1时 ，
当x∈−∞,−1，2m+1,+∞，f′x>0，
∴ fx在−∞,−1，2m+1,+∞上单调递增；
x∈−1,2m+1，f′x<0，
∴ fx在−1,2m+1上单调递减．
综上，当m<−1时，函数的单调增区间是−∞,2m+1，−1,+∞，单调减区间是2m+1,−1，
当m>−1时，函数的单调增区间是x∈−∞,−1，2m+1,+∞ ，单调减区间是−1,2m+1.
(2)由(1)知当m<−1时，成立；
当m>−1时，函数的单调递增区间为2m+1,+∞，
由题知，函数在0,2上单调递增，
∴ 0,2为2m+1,+∞的子集，即2m+1≤0，
综上，m的取值范围为−∞,−1∪−1,−12.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f′x=3x2+6mx+n，
∵ f′−1=0即3−6m+n=0，
∴ 3−6m=n，
则f′(x)=3x2+6mx+n=3[x−(2m+1)](x+1).
①当m=−1时，f′x>0恒成立；
②当2m+1<−1，即m<−1时，
当x∈−∞,2m+1，−1,+∞， f′x>0，
∴ fx在−∞,2m+1，−1,+∞上单调递增，
x∈2m+1,−1，f′x<0，
∴ fx在2m+1,−1上单调递减．
③当2m+1>−1，即m>−1时 ，
当x∈−∞,−1，2m+1,+∞，f′x>0，
∴ fx在−∞,−1，2m+1,+∞上单调递增；
x∈−1,2m+1，f′x<0，
∴ fx在−1,2m+1上单调递减．
综上，当m<−1时，函数的单调增区间是−∞,2m+1，−1,+∞，单调减区间是2m+1,−1，
当m>−1时，函数的单调增区间是x∈−∞,−1，2m+1,+∞ ，单调减区间是−1,2m+1.
(2)由(1)知当m<−1时，成立；
当m>−1时，函数的单调递增区间为2m+1,+∞，
由题知，函数在0,2上单调递增，
∴ 0,2为2m+1,+∞的子集，即2m+1≤0，
综上，m的取值范围为−∞,−1∪−1,−12.
【答案】
解：(1)设椭圆的标准方程为： x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得：e=ca=32，3a2+14b2=1，
解得：a=2，b=1，
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，
联立y=kx+mx2+4y2−4=0，
消去y，得1+4k2x2+8kmx+4m2−1=0，
Δ=64k2m2−1+4k2m2−1>0，得4k2−m2+1>0，
x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2 ，
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kx2+x1+m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以y1x1⋅y2x2=k2x1x2+kmx1+x2x1x2=k2，
化简得−8k2m21+4k2+m2=0，
因为m≠0 ，
所以k2=14，即k=±12，
由于直线OQ斜率存在且不为0，Δ>0，得0综上，存在k=±12，0【考点】
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
椭圆的定义
圆锥曲线的综合问题
直线的斜率
等比数列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设椭圆的标准方程为： x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得：e=ca=32，3a2+14b2=1，
解得：a=2，b=1，
所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.
(2)设Px1,y1，Qx2,y2，
联立y=kx+mx2+4y2−4=0，
消去y，得1+4k2x2+8kmx+4m2−1=0，
Δ=64k2m2−1+4k2m2−1>0，得4k2−m2+1>0，
x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−11+4k2 ，
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kx2+x1+m2.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以y1x1⋅y2x2=k2x1x2+kmx1+x2x1x2=k2，
化简得−8k2m21+4k2+m2=0，
因为m≠0 ，
所以k2=14，即k=±12，
由于直线OQ斜率存在且不为0，Δ>0，得0综上，存在k=±12，0女生
合计
足球迷
24
16
40
非足球迷
32
24
56
合计
56
40
96
P(x2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828