2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）6月月考数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|0A.x|x≤2B.x|0
2. 遵义市某学校高一年级学生共1300人，其中男生700人，女生600人，为了解该校高一年级学生的视力情况，用分层抽样抽取260人进行调查，则应抽取男生共（）
A.120人B.130人C.140人D.260人

3. 已知向量a→=x,2,b→=1,−2，且a→//b→，则x的值为（）
A.−2B.−1C.1D.2

4. 遵义市302B路公交车上行始发站为红花岗站，终点站为市行政中心站，共29站，途经遵义市第四中学站，运营时间为每天06:50−21:20，票价3元，每隔10分钟从红花岗站发一趟车．假如每一位乘客在始发站都能上车．遵义市第四中学高一某学生周日返校时，在任意时间到达始发站红花岗站乘坐302B公交车返校，则该生等车时间不超过3分钟的概率是（）
A.310B.12C.23D.710

5. 三个数a=130.8,b=0.8−3,c=lg30.7的大小顺序为（）
A.c
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的n=4，则输出的S=( )

A.1B.5C.14D.30

7. 在矩形ABCD中，若AB=6,AD=4，且CP→=2PD→，则AP→⋅BD→=（）
A.−10B.−4C.4D.10

8. 函数fx=cs2x−π2ex−e−x的部分图象大致为（）
A.B.
C.D.

9. 若sinθ+π6=13，则sin2θ+5π6的值为（）
A.−79B.−59C.59D.79

10. 已知数列an满足a1=1 a2=13，若an−1⋅an+an⋅an+1=2an−1⋅an+1 （n≥2且n∈N∗)，则a2021=( )
A.14042B.14041C.12021D.12020

11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=π4， cs2A2=12+b4a，则△ABC的形状是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

12. 已知数列an是递增的等差数列，且a2,a3是函数fx=x2−9x+20的两个零点，记数列1anan+1的前n项和为Sn，若不等式Sn>112lgm(2m−3)(m>0且m≠1）对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围为（）
A.1,3B.32,+∞C.32,3D.3,+∞
二、填空题

已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y=43xx≥0上，则sinα=________．

已知在定义域内单调递增的奇函数fx对任意的正数a，b满足fa+f3b−1=0，则3a+1b的最小值为________.

若x，y满足约束条件x+2y−2≥0,x−y+1≥0,2x+y−4≥0,则z=3x+y的最小值为________．

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=4abcsC，则sinCsinA⋅sinB的最小值为________.
三、解答题

请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①函数fx相邻两个对称中心之间的距离为π2；
②函数fx相邻两个最大值之间的距离为π；
③函数fx在a,b上单调递增，且b−a的最大值为π2．
已知函数fx=cs2ωx+sinωxcsωx−12ω>0________．将函数fx图象上所有的点向右平移π4个单位长度得到函数gx的图象．
(1)求函数gx的解析式；

(2)求函数gx在区间−π8,π2上的值域．

百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目．100年来，中国社会沧桑巨变．今年是我国建党一百周年，某班（共50名同学）举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩（均在80∼100之间）绘制成频率分布直方图如图．
（1）求α的值，并求在[80,92）的学生总人数；

（2）若从成绩在[80,88）的同学中随机选出两人，求至少有一人成绩在[84,88）的概率．

全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？科学技术领域的创新能力是一流企业的基石．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x（万元）与收益y（万元）的数据统计如下：

(1)请根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；

(2)该企业欲使收益不低于50万元，科技投入的费用至少要多少万元？附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，
a=y−bx.

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csAa+csBb=c3b．
(1)求a的值；

(2)若A=π6，∠ABC的平分线交AC于点D，且AD=2DC，求b的值．

已知数列an满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=3−2n+32n，n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；

(2)设数列bn满足bn=an⋅lg2an+1，求数列bn的前n项和Sn．

已知函数fx=ex−e−x+2.
(1)求f−505+f−504+⋯+f−1+f1+⋯+f505的值；

(2)用函数单调性的定义证明|fx在R上单调递增；

(3)若对任意θ∈R，不等式f2sinθ+2csθ+fsin2θ−a≤4恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年贵州省遵义市高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为集合B={0，1，2，3，4}，所以A∩B=1,2.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为学生共有1300人，用分层抽样抽取260人，
则抽取的比例为5:1，而男生共有700人，
所以应抽取男生人数为15×700=140.
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由向量的平行公式可得：−2x=2，所以x的值为−2.
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，每隔10分钟发一趟车，而等车时间不超过3分钟的概率为310.
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由数形结合可知，三个数的范围分别是：01,c<0，
所以三个数的大小顺序为：b>a>c.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：程序运行情况如下：
第一步运行后：i=1,s=1；
第二步运行后：i=2,s=1+4=5；
第三步运行后：i=3,s=5+9=14；
第四步运行后：i=4,s=14+16=30．
结束循环，输出s．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的几何表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：以A为坐标原点，AB→,AD→所在方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则A0,0,B6,0,D0,4,P2,4，
则AP→=2,4,BD→=−6,4，所以AP→⋅BD→=4．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原函数可变为fx=sin2xex−e−x，是偶函数，排除B，C选项；
通过观察A，D的区别，再取一个很小的正数，可以发现sin2x>0,ex>e−x，所以fx>0.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
二倍角的余弦公式
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinθ+π6=13，所以cs2θ+π3=1−2sin2θ+π6=79，
而sin(2θ+5π6)=sin[(2θ+π3)+π2]=cs(2θ+π3)=79.
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，在方程两边同除以an−1anan+1，可得：1an+1+1an−1=2an，
即：1an是等差数列，且首项1a1=1，公差d=1a2−1a1=2，
所以an=12n−1，所以a2021=14041.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
二倍角的余弦公式
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知可得：cs2A2=1+csA2=12+b4a
⇒csA=b2a⇒csA=sinB2sinA，
所以sin2A=sinB⇒2A=B或2A+B=π.
当2A=B时，A=π4,B=π2，三角形为等腰直角三角形；
当2A+B=π时，A=C=π4,B=π2，三角形为等腰直角三角形．
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
数列与函数单调性问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a2+a3=9,a2a3=20,且an为递增的等差数列，
所以a2=4,a3=5，
所以d=1,a1=3,an=n+2，
Sn=13×4+14×5+…+1n+2n+3=13−1n+3，
所以Sn是关于n的单调递增函数，当n=1时，Sn取得最小值为112，
所以112lgm2m−3<112，即：lgm2m−3<1，
(1)0m>0⇒m>3，舍去．
(2)m>1时，0<2m−3故选C.
二、填空题
【答案】
45
【考点】
三角函数线
【解析】
无
【解答】
解：取y=43xx>0上的一个点为3,4，
则sinα的值为45．
故答案为：45．
【答案】
12
【考点】
基本不等式
函数奇偶性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知，因为fx是单调递增的奇函数，
fa=f1−3b⇒a=1−3b⇒a+3b=1，
所以3a+1b=3a+1ba+3b=6+9ba+ab≥12.
当且仅当a=3b时取等号．
故答案为：12.
【答案】
5
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：通过约束条件画出可行域，可以发现可行域是开区域，
将z=3x+y转化为y=−3x+z的形式，
然后在可行域内平移，可找出最小值点为1,2，
所以z=3x+y的最小值为5．
故答案为：5．
【答案】
233
【考点】
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a2+b2=4abcsC≥2ab⇒csC≥12⇒C∈(0,π3]，
由余弦定理可得：a2+b−c2=2abcsC⇒a2+b2=c2+2abcsC
=4abcsC⇒csC=c22ab，
所以sinCsinAsinB=1sinC⋅sin2CsinAsinB=1sinC⋅c2ab=2tanC，
因为C∈(0,π3]，
所以tanC的最大值为3，
所以2tanC的最小值为233.
故答案为：233.
三、解答题
【答案】
解：(1)选择任—均可．
fx=1+cs2ωx2+12sin2ωx−12=22sin2ωx+π4．
由已知可得ω=1，
∴ fx=22sin2x+π4．
gx=22sin2x−π4．
(2)−π8≤x≤π2，−π2≤2x−π4≤3π4，−1≤sin2x−π4≤1，
∴ 22≤22sin2x−π4≤22，
∴ 函数gx在−π8,π2上的值域为−22,22．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)选择任—均可．
fx=1+cs2ωx2+12sin2ωx−12=22sin2ωx+π4．
由已知可得ω=1，
∴ fx=22sin2x+π4．
gx=22sin2x−π4．
(2)−π8≤x≤π2，−π2≤2x−π4≤3π4，−1≤sin2x−π4≤1，
∴ 22≤22sin2x−π4≤22，
∴ 函数gx在−π8,π2上的值域为−22,22．
【答案】
解：（1）由题意a+2a+5a+8a+9a×4=1，解得a=0.01．………2分根据频率分布直方图，可得成绩落在[80.92）的学生人数为
0.01+0.02+0.05×4×50=16．…………4分
（2）根据频率分布直方图，可得成绩落在[80.84）和[84.88）的人数分别为：0.04×50=2和0.08×50=4 ．…··……6分
将落在[80.84）和[84.88）的人分别记作A，B和c，d，e，f，则从成绩在[80,88）的同学中随机选出2位，有AB，Ac，Ad，Ae，AF;Bc，Bd，Be，B′：cd，ce，c:dd d/
ef共15种情况…····……8分
记“至少有一人成绩在[84,88）’为事件C，则事件C包含：Ac，Ad，Ae，Af；
Bc，Bd，Be，B/:cd e,ef:dde d/：ef共14种情况，…………10分故PC=1415.所以至少有一人成绩在[84.88）的概率为1415
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
略
略
【解答】
解：（1）由题意a+2a+5a+8a+9a×4=1，解得a=0.01．………2分根据频率分布直方图，可得成绩落在[80.92）的学生人数为
0.01+0.02+0.05×4×50=16．…………4
（2）根据频率分布直方图，可得成绩落在[80.84）和[84.88）的人数分别为：0.04×50=2和0.08×50=4 ．…··……6分
将落在[80.84）和[84.88）的人分别记作A，B和c，d，e，f，则从成绩在[80,88）的同学中随机选出2位，有AB，Ac，Ad，Ae，AF;Bc，Bd，Be，B′：cd，ce，c:dd d/
ef共15种情况…····……8分
记“至少有一人成绩在[84,88）’为事件C，则事件C包含：Ac，Ad，Ae，Af；
Bc，Bd，Be，B/:cd e,ef:dde d/：ef共14种情况，…………10分故PC=1415.所以至少有一人成绩在[84.88）的概率为1415
.
【答案】
解：(1)x=12，y=27，
i=17xi−xyi−y=56，i=17xi−x2=28，
∴ b=2，a=3，
∴ y=2x+3．
(2)2x+3≥50，
解得x≥23.5，
所以科技投入的费用至少要23.5万元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)x=12，y=27，
i=17xi−xyi−y=56，i=17xi−x2=28，
∴ b=2，a=3，
∴ y=2x+3．
(2)2x+3≥50，
解得x≥23.5，
所以科技投入的费用至少要23.5万元．
【答案】
解：(1)由正弦定理得：csAsinA+csBsinB=c3sinB
⇒sinBcsA+csBsinAsinAsinB=sinA+BsinAsinB
=sinCsinAsinB=c3sinB．
∵ sinB≠0，
∴ sinCsinA=c3，
即：ca=c3，
∴ a=3．
(2)由已知得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，
BCsin∠BDC=CDsin∠DBC，
sin∠ADB=sin∠BDC，
sin∠ABD=sin∠DBC，
∴ ABAD=BCCD，
即ABBC=ADCD=21．
∵ BC=a=3，
∴ AB=c=6．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得：b=33．
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由正弦定理得：csAsinA+csBsinB=c3sinB
⇒sinBcsA+csBsinAsinAsinB=sinA+BsinAsinB
=sinCsinAsinB=c3sinB．
∵ sinB≠0，
∴ sinCsinA=c3，
即：ca=c3，
∴ a=3．
(2)由已知得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，
BCsin∠BDC=CDsin∠DBC，
sin∠ADB=sin∠BDC，
sin∠ABD=sin∠DBC，
∴ ABAD=BCCD，
即ABBC=ADCD=21．
∵ BC=a=3，
∴ AB=c=6．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得：b=33．
【答案】
解：(1)由已知可得：n=1时，a1=3−52=12；
当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=3−2n+32n，
a1+3a2+5a3+⋯+2n−3an−1=3−2n+12n−1，
①−②得：2n−1an=2n+32n+2n+12n−1=2n−12n，
∴ an=12n，n≥2，n∈N∗，
检验：当n=1时，a1=12符合题意．
∴ an=12n，n∈N∗．
(2)由已知可得：bn=−n+112n，
∴ −Sn=2⋅121+3⋅122+4⋅123+⋯+n⋅12n−1+n+112n
−12Sn=2⋅122+3⋅123+4⋅124+⋯+n⋅12n+n+112n+1
①−②得：
−12Sn=1+122+123+⋯+12n−n+112n+1
=1+14[1−12n−11−12−n+112n+1
=1+12−12n−n+112n+1
=32−12n1+12n+1，
∴ Sn=−3+3+n12nn∈N∗．
【考点】
数列递推式
数列的求和
等比数列的通项公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知可得：n=1时，a1=3−52=12；
当n≥2时，a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=3−2n+32n，
a1+3a2+5a3+⋯+2n−3an−1=3−2n+12n−1，
①−②得：2n−1an=2n+32n+2n+12n−1=2n−12n，
∴ an=12n，n≥2，n∈N∗，
检验：当n=1时，a1=12符合题意．
∴ an=12n，n∈N∗．
(2)由已知可得：bn=−n+112n，
∴ −Sn=2⋅121+3⋅122+4⋅123+⋯+n⋅12n−1+n+112n
−12Sn=2⋅122+3⋅123+4⋅124+⋯+n⋅12n+n+112n+1
①−②得：
−12Sn=1+122+123+⋯+12n−n+112n+1
=1+14[1−12n−11−12−n+112n+1
=1+12−12n−n+112n+1
=32−12n1+12n+1，
∴ Sn=−3+3+n12nn∈N∗．
【答案】
(1)解：由已知得fx+f−x=4
∴ f−505+f−504+⋯+f−1+f1+⋯
+f505=505×4=2020.
(2)证明：∀x1,x2∈R，且x1fx1−fx2=ex1−e−x1+2−ex2−e−x2+2
=ex1−ex2+e−x2−e−x1
=ex11−ex2−x11+1ex1+x2，
∵x1∴ x2−x1>0，
∴ ex2−x1>1，
∴ 1−ex2−x1<0.
∵ ex>0，
∴ ex11−ex2−x1(1+1ex1+x2)<0，
∴ fx1∴ 函数fx在R上单调递增．
(3)解：f2sinθ+2csθ≤4−fsin2θ−a=fa−sin2θ，
由第(2)问知2sinθ+2csθ≤a−sin2θ，
∴ a≥sin2θ+2sinθ+csθ=sinθ+csθ2+2sinθ+csθ−1.
令t=sinθ+csθ=2sinθ+π4∈−2,2，
∴ gt=t2+2t−1t∈−2,2，
∴ gtmax=g2=22+1，
∴ a≥22+1
【考点】
函数的求值
函数单调性的判断与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：由已知得fx+f−x=4
∴ f−505+f−504+⋯+f−1+f1+⋯
+f505=505×4=2020.
(2)证明：∀x1,x2∈R，且x1fx1−fx2=ex1−e−x1+2−ex2−e−x2+2
=ex1−ex2+e−x2−e−x1
=ex11−ex2−x11+1ex1+x2，
∵x1∴ x2−x1>0，
∴ ex2−x1>1，
∴ 1−ex2−x1<0.
∵ ex>0，
∴ ex11−ex2−x1(1+1ex1+x2)<0，
∴ fx1∴ 函数fx在R上单调递增．
(3)解：f2sinθ+2csθ≤4−fsin2θ−a=fa−sin2θ，
由第(2)问知2sinθ+2csθ≤a−sin2θ，
∴ a≥sin2θ+2sinθ+csθ=sinθ+csθ2+2sinθ+csθ−1.
令t=sinθ+csθ=2sinθ+π4∈−2,2，
∴ gt=t2+2t−1t∈−2,2，
∴ gtmax=g2=22+1，
∴ a≥22+1科技投入x
9
10
11
12
13
14
15
收益y
21
22
24
29
30
32
31