2020-2021学年1.4 三角公式的应用教案设计
展开三角之：三角公式的应用
一． 同角间的三角函数关系式
- 平方关系：
- 商数关系：，
- 倒数关系：
作用：（1）已知一个角的某一个三角函数值以及它所在的象限，我们就可以求出其他的三角函数值。
（2）“切化弦”以及“1的巧用”在计算，证明中被广泛应用。
二．诱导公式
（1）终边相同的角的同名三角函数值相等。即：
（2）终边互为反向延长线的角的同名三角函数值之间的关系。
即：：
（3）终边关于x轴对称的两个角的同名三角函数值之间的关系。
即：：
（4）终边关于y轴对称的两个角的同名三角函数值之间的关系。
即：：
（5）互余两个角之间的三角函数关系。
即：：
（6）相差的两个角之间的三角函数关系。
即：：
注意：（1）公式中的角可以是任意的角。通常情况下，我们将看做锐角，这样容易确定公式右边的符号。
（2）公式的做用是：将任意一个角的三角函数值转化成锐角的三角函数值。
（3）特别注意公式（5），（6），可以改变函数名。
三．两角和与差的公式
（1） :
:
（2） :
:
（3） ：
：
应用：（1）公式可以“顺用”，“逆用”，“变形用”；“变形用”主要指，两个公式的变形应用。
（2）公式和；和之间的相加与相减可以得到“和差化积”，“积化和差”公式。
四．二倍角公式
（1）二倍角正弦公式：
（2）二倍角余弦公式：
推论：
即：
（3）二倍角正切公式：
注意：二倍角余弦公式的推论十分重要，在解题中有占据重要地位。是考试中的重点考察内容。
典型例题：
例1：若，则的取值范围是（C）
- 第三象限角
- 第四象限角
例2：已知，求：
（1）
（2）
方法总结：（1）遇到将其平方，就可以求出2的值；
（2）遇到将其平方，如果条件给出角的范围，我们再根据2的符号和m的符号就可以进一步缩小角的范围，从而判断出的符号。（三结合判断角范围）
（3）求出的值，再和已知等式联立方程组解出。
练习：已知求的值
例3：已知，求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
方法总结：将关于的齐次式，化为的表达式进行求值，这是一种常用技巧，应熟练掌握。
练习：已知，求下列各式的值
。
例4：若，求：
解：
例5：已知且为第四象限角，求
解： 发现
练习：已知且为第三象限角，求
解：发现+=
例6：求
解：发现首尾两个角之和为定值
44.5
方法总结：在三角的计算中，注意到已知和所求中的角是什么关系十分重要。
即：两个角之和是否为；两个角之差是否为；我们可以采取相应的诱导公式。（保角变换）
例7：中，已知则cosC的值为（C）
A. B. C. D.
解：本题难点是判断A是锐角。
在中，有A>B>C
例8：已知求。
解：0.5
例9：已知
求
解：
例10：已知求
解：（法一），我们去求的值即可。
因为又
由与得：（1），（2）由两式得
。所以=
。
另解：
即：(1)，平方得：2>0，得：
所以，(2)由（1），（2）两式得
。所以，
所以=。注意：遇到的正弦值或余弦值可以展开得到。反之亦可。
（法二），我们去求的值即可。
因为
又
所以
。
练习：已知求:
方法总结：角的保值变换十分重要。（观察已知和所求角之间的关系：和，差，倍，互余，互补，差九十度，一百八十度等）
例11.已知求的值
解：第一步：确定角所在的范围
第二步：求的某一三角函数值
第三步：确定角的值
=。
练习：已知 求的值。
解：先求出再求出因为
所以因为
=
例12.化简：
解：原式=
练习：（1）
（2）;
（3）。
方法总结：化切为弦一角公式诱导公式
例13：化简下列各式
（1） （2）
解：
例14：已知，求
的值。
解：
练习：（1）已知（C ）
A B C D
（2）已知求的值。
解：
方法总结：统一角是关键。
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