精品解析：湖北省孝感市汉川市2020-2021学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

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一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，4cmB. 3cm，6cm，6cm
C. 2cm，2cm，6cmD. 5cm，6cm，7cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可.
【详解】A、2+3＞4，能组成三角形；
B、3+6＞7，能组成三角形；
C、2+2＜6，不能组成三角形；
D、5+6＞7，能够组成三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了三角形构成条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.
2. 对三角形的高、中线和角平分线概念理解错误的是（ ）
A. 直角三角形只有一条高
B. 钝角三角形有两条高在三角形外部
C. 锐角三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点
D. 任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质逐一分析各个选项即可．
【详解】解：A、错误，直角三角形也有三条高线；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、正确，任意三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
D、正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线的性质．熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的性质是解题的关键.
3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D都是轴对称图形，C是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，理解轴对称图形的概念是解题的关键．
4. 四边形的内角和为（ ）
A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】
【详解】解：四边形的内角和=（4-2）•180°=360°
故选B．
5. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据点关于y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.
【详解】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B
【点睛】本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.
6. 如图，，已知在中，边最长，边最短，则中三边的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据全等三角形的性质，可知对应边相等，再根据已知作出判断即可.
【详解】解：∵在△ABC中，AB边最长，BC边最短，AB的对应边是AD，BC的对应边是DE，
∴△ADE中三边的大小关系是DE＜AE＜AD
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，确认两条线段或两个角相等，往往利用全等三角形的性质求解，关键是找准对应边．
7. 如图，已知，添加条件后，可得，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的．
【详解】A、∵∠BAD=∠CAD，
∴，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故此选项正确；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故此选项正确；
C、∵BD=CD，
∴，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故此选项正确；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故此选项错误．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但SSA无法证明三角形全等．
8. 如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A. 7B. 5C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先由AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，判断出Rt△AEC≌Rt△CDB，又由AE＝7，BD＝2，得出CE=BD=2，AE=CD=7，进而得出DE=CD-CE=7-2=5.
【详解】解：∵AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB
又∵AE＝7，BD＝2，
∴CE=BD=2，AE=CD=7，
DE=CD-CE=7-2=5.
【点睛】此题主要考查直角三角形的全等判定，熟练运用即可得解.
9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
故选B．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
10. 如图，三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论：
①平分；
②；
③若，，，则的周长为7；
④；
⑤若平分与交于点，当时，．其中结论正确的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质，可知∠BDC=∠BED，BC=BE,DE=DC,可判断①③正确，再由三角形的面积计算公式可判断④正确，再根据角平分线的性质及三角形的内角和定理可判断⑤正确.用逆推的方法可判断②错误，从而得到正确的结果.
【详解】解：∵三角形纸片中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，
∴∠BDC=∠BED，∠ABD=∠CBD，∠BED=∠C，BC=BE,DE=DC,
∴平分；
故①正确；
假设，则
∵∠ADE+∠CDE=180°，；
∴∠ABC+∠CDE=180°，
∵∠ABC+∠CDE+∠BED+∠C =360°，
∴∠BED+∠C =180°，
∵∠BED=∠C，
∴∠BED=∠C=90°，
而题中并没有已知∠C=90°，故假设不成立.
故②错误；
∵，，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2.
∵AD+DE=AD+DC=AC=5.
∴的周长=AE+AD+DE=2+5=7；
故③正确；
如图，过点D作DF⊥AB于F，则
∵ ,
∴
∵BC=BE,
∴
∵
∴；
故④正确；
∵平分与交于点，∠ABD=∠CBD，
∴∠BCI+∠CBI= =
∵
∴.
∴∠BCI+∠CBI=65°，
∵∠BCI+∠CBI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=115°，
故⑤正确；
综上所述，①③④⑤正确，故正确的个数有4个.
故选C.
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，求两个三角形面积比时作出辅助线，进行转化是解题的关键.
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若等腰三角形的周长是，腰长为，则底边长为______．
【答案】11.
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵等腰三角形的周长是，腰长为，
∴底边长=26-7.52=11cm.
故答案为11.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于辨别是否要分情况讨论．
12. 从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，可以把七边形分割成__________个三角形．
【答案】5
【解析】
【分析】根据从多边形一个顶点出发的对角线分多边形的特征即可得到结果．
【详解】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个点与其余各顶点，可以把七边形分割成5个三角形
故答案为：5．
【点睛】本题考查是多边形的对角线，解答本题的关键是熟练掌握从n边形的一个顶点出发的对角线有（n-3）条，把多边形分成（n-2）个三角形．
13. 如图，在中，，，平分交于点，，垂足为，且，的长为______．
【答案】6.
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质求解即可.
【详解】解：∵在中，，，
∴=.
∵平分交于点，，
∴CD=DE.
∴=CD+BD=BC=6cm.
故答案为6.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，理解相关性质是解题的关键.
14. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
【答案】
【解析】
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解
【详解】解：
①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或
故答案为或
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点共有______个．
【答案】4.
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点即可．
【详解】
解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，-2）（0，4）共4个符条件的点．
故答案为4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决特殊的问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
16. 如图，中，，的平分线与外角的平分线交于点，的平分线与外角的平分线交于点，的平分线与外角的平分线交于点，……，依此下去，的平分线与外角的平分线交于点，则的大小为______．（用含的式子表示）
【答案】.
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质依次求出∠P1，∠P2，∠P3,然后总结出规律即可.
【详解】解：∵的平分线与外角的平分线交于点，
∴∠P1BC=∠ABC, ∠P1CD=∠ACD,
∴∠P1CD-∠P1BC=∠ACD-∠ABC,
∵∠P1CD-∠P1BC=∠P1, ∠ACD-∠ABC=∠A,
∴∠P1=∠A,
同理可得：∠P2=∠P1=∠A,
∠P3=∠P2=∠A,
∠Pn=∠Pn-1=∠A,
∵
∴=∠A=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质，发现其中的规律是解题的关键.
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分，解答写在答题卡上）
17. 已知，在如图所示的“风筝”图案中，，，．
求证：．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE即可.
【详解】证明：∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
∴∠CAB=∠EAD，
在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，证明∠CAB=∠EAD是本题的关键．
18. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【答案】7
【解析】
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是（n−2）•180°，依此列方程可求多边形的边数
【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得：
（n-2）×180°=3×360°-180°，
（n-2）＝5，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
19. 如图，，为上一点，且到直线，的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结，若长为7，求长的最小整数值．
【答案】（1）见解析；（2）4.
【解析】
【分析】（1） 作∠BAC的平分线与CD的交点即为所求；
（2） 根据三角形的三边关系求出CM的取值范围，再确定出这个范围的最小整数即可.
【详解】解：(1)如图所示：
(2)依题意，得：∠BAM=∠CAM.
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠CMA.
∵∠BAM=∠CAM,
∴∠CMA=∠CAM,
∴AC=CM.
∵AC+CM>AM
∴2CM>AM
∵AM=7.
∴CM>3.5.
∴CM的最小整数为4.
答：长的最小整数值为4.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及三角形的三边关系，理解解平分线的性质和三角形的三边关系是解题的关键.
20. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）先画出关于轴对称的；再画出关于轴对称的，并写出顶点的坐标．
（2）求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；（2）6.
【解析】
【分析】(1) 先把点A,B关于x轴的对称点A1,B1，再顺次连接A1,B1,C即可作出；再把A1 ,C两点关于y轴对称的点A2 ,C2作出再顺次连接A2 , B1，C2即可作出；在图中读取出的坐标即可.
（2）利用割补法，先画出图形，可知：四边形的面积=△BCB1的面积+△BB1A2的面积=△BCB1的面积+矩形BB1DE的面积-△DA2B1的面积-△EA2B的面积，再依次求出各部分的面积即可.
【详解】（1）解如图所示：顶点坐标为（2，1）．
（2）如图，四边形的面积=△BCB1的面积+△BB1A2的面积
=△BCB1的面积+矩形BB1DE的面积-△DA2B1的面积-△EA2B的面积
=
=2+8-1-3
=6.
【点睛】本题考查了在坐标系中作关于坐标轴的对称图形，作图时找出相应关键点的对称点和求面积时作出相应的辅助线是解题的关键.
21. 如图，，和，和是对应边，，，和交于点．
（1）用表示的三个内角；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）90°-，60°-，30°+；（2）40°.
【解析】
【分析】(1)先根据，得到AC=CD,再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得到求出∠ADC=∠DAC=90°- .再由，可得∠ADF=60°-.根据三角形的外角的性质可得∠AFD=30°+.
(2)根据等腰三角形的性质列出方程求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴AC=CD,
∴∠ADC=∠DAC.
∵，
∴∠ADC=∠DAF=90°- .
∵，
∴∠ADF=60°-.
∵∠AFD是△CDF的外角；
∴∠AFD=30°+.
答: 用表示的三个内角分别为90°-，60°-，30°+.
（2）∵，
∴∠DAF=∠AFD
∴90°-= 30°+.
解得：=40°.
答：的度数为40°.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形外角的性质，用方程思想来解决问题是解题的关键.
22. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠APN的度数为108°．
【解析】
【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；
（2）利用全等三角形性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．
【详解】（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
考点：1.全等三角形的判定与性质2.多边形内角与外角．
23. 在四边形中，，点是的中点
情景引入：
（1）如图1，若是的平分线，试判断，，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，证明得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系为，试证明该结论；
问题探究：
（2）如图2，点是的延长线上一点，连，若恰好是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；（2）AB=AF+CF，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可证△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，由“AAS”可证△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得结论.
【详解】解：（1）AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD平分线
∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵点E是BC的中点
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
（2）AB=AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24. 如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．
（1）填空：______；
（2）当且点运动的速度也是时，求证：；
（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．
【答案】（1）8;(2)见解析；（3）或4.
【解析】
【分析】（1）直接可求△ABC的面积；
（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值．
【详解】解：（1）∵S△ABC=AC×BC
∴S△ABC=×4×4=8（cm2）
故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中

∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
综上所述：x=或4
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．