河南省南阳市卧龙区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题-

这是一份河南省南阳市卧龙区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题-，共20页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．4的算术平方根是( )
A．2B．－2C．±2D．4
2．下列各数：0、3π、、、、1.1010010001…，其中无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4. 如图，直线上有三个正方形，若的边长分别为1和3，则的面积为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
5．一个长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定
7．下列四个命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角都相等
B．如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等
C．对顶角相等
D．等边三角形每一个角都等于60°
8．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
9．如图，和中，点，，，在同一直线上，在①，②，③，④，⑤五个条件中，能使与全等的条件的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④⑤
10．下列命题中正确的命题有（ ）个．
①三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；④有一个角是的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半
A．1B．2C．3D．4
填空题
11. 若x，y都是实数，且， xy的值为________．
12．用反证法证明命题：“如果，那么”的第一步应是_____．
13．很多代数恒等式可以用图形面积来解释．如图，请利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式________．
14．如图，在和中，，，，点、、在同一条直线上，连结、，下面四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______（只需填写序号）．
15．已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC为一边作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，连接BD，则线段BD的长度为________．
三、解答题
16．计算：（1）； （2）．
17．已知（x2+mx+n）（x﹣1）的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．
先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（-2x），其中x=-3，y=﹣2020
19. 正方形网格的每个小正方形的边长为1，格点中，、、三边的长分别为、、．
（1）在数轴上画出，这两个点；
（2）请在正方形网格中画出格点；
（3）这个三角形的面积为_________．
20. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，的值为
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
21．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
22．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是 ．
23．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．
（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由；
（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长．
参考答案
1．A
【详解】
根据算术平方根的定义进行解答即可．
解答：解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选A．
2．B
【分析】
根据的定义：无理数就是无限不循环小数进行判断即可
【详解】
解：因为，；
则在0、3π、、、、1.1010010001…，中无理数为：3π、、1.1010010001…，共3个
故选：B
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．D
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则去判断B、C两项，根据合并同类项法则去判断A项，根据幂的乘方法则去判断D项，可得答案．
【详解】
解：A、a和b不是同类项，不能合并 ，故此项错误；
B、 ，故此项错误；
C、，故此项错误；
D、 ，故此项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方的性质．解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．
4．B
【分析】
利用总数乘以对应频率即可；
【详解】
根据题意知，该组的人数为：（人）；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了频数与频率，准确计算是解题的关键．
5．A
【分析】
根据整式除法计算即可；
【详解】
由题可得：；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了整式除法的计算，准确计算是解题的关键．
6．C
【分析】
根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．
【详解】
解：
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵
∴该三角形为直角三角形
故选C．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理．
7．D
【分析】
先分别写出四个命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定方法、平方根的定义、对顶角的定义和等边三角形的判定方法判断四个逆命题的真假．
【详解】
解：A、“全等三角形的对应角都相等”的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题，所以A选项不符合题意；
B、“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题，所以B选项不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角为对顶角，此逆命题为假命题，所以C选项不符合题意；
D、“等边三角形每一个都等于60°”的逆命题为每一个都等于60°的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，原命题也是真命题，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
8．D
【分析】
先设直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，于是有a2+b2=c2，即a2+52=132，易得a=12 cm，a-b即可得小正方形的边长．
【详解】
解：设大直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，那么有a2+b2=c2，
∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，
∴a2+52=132，
解得a=12（舍去负值），即a=12 cm，
∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7 cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．
9．C
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行推理即可．
【详解】
解：A、∵，
∴BC=FE，AB=DF，
但不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
B、∵，
∴BC=FE，AB=DF，
但不是对应夹角相等，不能用SSA判定，故本选项错误；
C、∵，，，
∴≌（AAS），故本选项正确；
D、，，，
不能用AAA进行判定；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
10．C
【分析】
利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①因为线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，所以三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，正确；
②因为等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线互相重合，所以等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合，错误；
③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，正确；
理由：如图，
是△ABC的外角，AB=AC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DBC=∠B+∠C=2∠C，
∴等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；
④因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以有一个角是的三角形是等边三角形，错误；
⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半，正确；
理由：如图，AB=AC，BE⊥AC于E，则∠BAC=2∠EBC．
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=，
，
，
∠BAC=2∠EBC，
所以，等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，牢记有关性质定理是解答本题的关键．
11．假设
【分析】
结论的否定为：，由此得出结论．
【详解】
解：由于结论的否定为：，
用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，
故应假设，由此推出矛盾．
故答案为：假设．
【点睛】
本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求，属于基础题．
12．
【分析】
根据等积法进行求解即可．
【详解】
解：由图可得：
，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查因式分解与图形的关系，熟练掌握因式分解是解题的关键．
13．31
【分析】
根据数字发现每三个数字1出现1次，根据此规律计算即可；
【详解】
，
1出现的频数是31．
故答案是31．
【点睛】
本题主要考查了规律型数字变化类，准确分析计算是解题的关键．
14．①②③．
【分析】
①由条件证明，就可以得到结论；
②由就可以得出，就可以得而得出结论；
③由条件知，由，就可以得出结论；
④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论．
【详解】
解：①∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，故①正确；
②∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．故②正确；
③∵，
∴．
∴
∴．故③正确；
④∵，
∴．
∵，，，
∴，．
∵，
∴
∴．故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
15．或
【分析】
AC作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．
【详解】
解：情况一：延长AB交CD于E
∠BAC＝45°，∠CAD＝90°
所以AE是等腰直角△ACD的高线，中线
所以，，CE=DE
因为，，∠BAC＝45°
所以△ACE也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2
所以BE=AE-AB=2-1=1
又因为DE=CE=2，
所以，BD=
情况二：延长直线AB，分别过C、D作垂线，交直线AB于F、E．
与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1
所以，BE=EF-BF；
因为∠BAC＝45°，
所以，∠ACF＝180°-∠BAC-∠F=45°
因为△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°
所以∠ACD＝45°
所以 ，∠FCD＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°
又因为
所以四边形DEFC是矩形
所以DE=CF=2，EF=DC；
因为在等腰直角△ACD中，∠CAD＝90°，
所以，根据勾股定理，CD=4
所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3
因此，
故答案为或．
【点睛】
这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可；
（2）按照整式混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根和整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．
17．（1）；（2）
【分析】
（1）首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先将原式变形为，然后分组，再运用提公因式法和完全平方公式分解就可以求出结论．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，分组分解法，解答时正确分组和灵活运用公式法求解是关键．
18．；-2023
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷(-2x)
=
．
当x=﹣3，y=﹣2020时，
原式=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算的法则．
19．见解析
【分析】
作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
【详解】
解：如图所示，点P即为所求作．
【点睛】
本题主要考查了应用设计与作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
20．（1）90；（2）126°；（3）见解析；（4）1380人．
【分析】
（1）根据“查资料”的人数及所占百分比即可得答案；
（2）先算出“玩游戏”在扇形图中所占的百分比，再计算对应圆心角的度数即可；
（3）利用抽查总人数可计算使用3小时以上的人数；据此补全条形统计图即可；
（4）先计算样本中使用手机2小时以上人数的百分比，再计算该校使用手机2小时以上人数．
【详解】
（1）∵“查资料”的人数是36人，所占百分比为40%，
∴抽查总人数为36÷40%=90（人），
故答案为：90
（2）“玩游戏”在扇形图中所占的百分比为：1-40%-18%-7%=35%，
∴“玩游戏”对应的圆心角度数是：360°×35%=126°，
故答案为：126°
（3）使用3小时以上的人数为90-32-18-16-2=22，
补全条形统计图如下：
（4）使用手机2小时以上人数的百分比为（32+22）÷90×100%=60%，
∴估计每周使用手机的时间在2小时以上的人数人数为：2300×60%=1380（人）．
答：估计假期平均每周使用手机的时间在2小时以上（不含2小时）的有1380人．
【点睛】
本题考查了条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体，解答的关键是熟悉两个统计图的特点，能从两个统计图中找到相关联信息并解决问题．
21．（1）见解析；（2）78°
【分析】
（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）AD＝BE＋DE，见解析；（3）DE＝AD＋BE
【分析】
（1）由已知推出∠CDA=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，推出∠DAC=∠ECB，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB；
（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠CBE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到DE、AD、BE之间的等量关系．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠CDA＝∠BEC＝90°．
∴∠ACD＋∠DAC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠DAC＝∠ECB．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB．
（2）AD＝BE＋DE．
理由如下：
由（1）知△ADC≌△CEB．
∴AD＝CE，CD＝BE．
∴AD＝CE＝CD＋DE＝BE＋DE．
（3）DE＝AD＋BE．
理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又∵∠ADC=∠CEB，AC=CB，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵CD+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
【点睛】
本题主要考查了余角的性质，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证明△ADC≌△CEBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
23．（1）是，见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）证法一：证明△ABC≌△ADC，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可；
【详解】
解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：
证法一：
∵，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC．
∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线．
∴．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
证法二：
连结AC、BD交于点E．
∵，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵，
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
∴．
∴四边形ABCD是垂美四边形．
（2）如图2，在垂美四边形ABCD中，
∵于点O，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．
∴．
．
．
．
∴．
．
∴．
（3）分别连结CD、BE，
如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴．
即．
在和中，
，
∴．
∴．
∵∠BAE＝90°，
∴．
∴．
∴，即．
∴四边形CDEB是垂美四边形．
由（2）得：．
∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝，
∴．
．
．
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键．