河南省南阳市第三中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份河南省南阳市第三中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的平方根是（ ）
A．9B．9和﹣9C．3D．3和﹣3
2．下列说法正确的有（ ）
（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）﹣a一定没有平方根；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．给出下列各数：其中无理数有（ ）
A．1 个B．2个C．3个D．4个
4．若，则a的值为（ ）
A．4B．-4C．-2D．
5．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
6．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 （ ）
A．a2+4B．2a2+4aC．3a2﹣4a﹣4D．4a2﹣a﹣2
7．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数B．负数C．等于零D．不能确定
8．若二项式4m2+9加上一个单项式后是一个含m的完全平方式，则这样的单项式共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．a11÷（﹣a2）3•a5的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣a10D．a9
10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2018B．2017C．55D．45
二、填空题
11．＝_____．
12．若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为_____．
13．计算：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=__．
14．因式分解：3x3﹣6x2y+3xy2=__________．
15．计算：﹣（﹣a4）5•a3÷（﹣a）5＝_____．
16．若（―x²―4y²)·A＝16y4―x4,则A＝ ________________.
17．若x+y＝8，x2y2＝4，则x2+y2＝_____．
三、解答题
18．已知5a+2的立方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a-b+c的平方根．
19．（1）化简：[x（x2y2﹣xy）﹣2y（x2﹣x3y）]÷3x2y
（2）化简求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中y＝1，x＝．
20．甲乙两人共同计算一道整式乘法题：.由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为．
（1）求正确的a，b的值． （2）若知道，请计算出这道整式乘法题的正确结果．
21．（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式
解：设，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
① ②
22．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
23．已知：x+y＝5，xy＝3．
求：①x2+5xy+y2； ②x4+y4．
24．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）求（2+i）2的共轭复数；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．
25．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵，
当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x=______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值.
参考答案
1．D
【分析】
先化简，再根据平方根的地红衣求解．
【详解】
解：∵=9，
∴的平方根是，
故选D．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作．
2．A
【分析】
根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案．
【详解】
解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意；
（2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意；
（3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意；
（5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查无理数的概念，实数与数轴的关系，平方根，立方根的定义，掌握相关概念是本题的解题关键.
3．B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：是分数，属于有理数；＝2，0，，＝﹣3，是整数，属于有理数．
无理数有：π，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.6565565556…（相邻两个6之间的5的个数逐次加1）等有这样规律的数．
4．A
【分析】
根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，明确算术平方根的定义是解题的关键．
5．C
【分析】
根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．
【详解】
∵，
∴，即4ab＝4，
解得，ab＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．
6．C
【详解】
试题分析：根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解：（2a）2﹣（a+2）2
=4a2﹣a2﹣4a﹣4
=3a2﹣4a﹣4，
故选C．
点评：本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
7．B
【分析】
首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【详解】
解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平方差公式，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.
8．C
【分析】
本题考查运用完全平方式进行因式分解的能力，式子4m2和9分别是2m和3的平方，可当作首尾两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去2m和3的乘积的2倍，即±12m，或m4．
【详解】
可添加m4，±12m，﹣9．
故选C．
【点睛】
本题考查对完全平方公式灵活应用的能力，把握其公式结构特点是完成此类题的关键．
9．C
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】
解：a11÷（﹣a2）3•a5
＝a11÷（﹣a6）•a5
＝﹣a11﹣6+5
＝﹣a10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．D
【分析】
根据图形中的规律即可求出（a+b）10的展开式中第三项的系数．
【详解】
找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）10第三项系数为1+2+3+…+9=45．
故选D．
【点睛】
本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
11．﹣4
【分析】
根据二次根式的化简计算即可；
【详解】
解：原式＝﹣3﹣﹣﹣1+，
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键．
12．1
【分析】
把代数式a2﹣b2﹣2b变形为（a+b）（a﹣b）﹣2b，整体代入求值即可.
【详解】
解：因为a﹣b＝1，
a2﹣b2﹣2b＝（a+b）（a﹣b）﹣2b＝a+b﹣2b＝a﹣b＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题的考点是代数式的化简求值，解题的关键是利用平方差公式化简原式，注意可能在化简时出现错误．
13．2x+5
【详解】
试题分析：原式=x2+2x+1﹣x2+4
=2x+5．
故答案为2x+5．
考点：1、完全平方公式；2、平方差公式；3、整式的运算
14．3x（x﹣y）2
【分析】
先提取3x,再根据完全平方公式即可求解．
【详解】
3x3﹣6x2y+3xy2=3x（x2﹣2xy+y2）
=3x（x﹣y）2．
故答案为：3x（x﹣y）2．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式及公式法进行因式分解．
15．﹣a18
【分析】
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，计算即可．
【详解】
解：﹣（﹣a4）5•a3÷（﹣a）5
＝a20•a3÷（﹣a）5
＝a23÷（﹣a）5
＝﹣a18．
故答案为：﹣a18．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
16．-4y²+x²
【分析】
利用整式的除法运算即可计算出结果.
【详解】
解：
∴A=-（）=-4y²+x²
故答案为-4y²+x².
【点睛】
本题考查了平方差的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
17．60或68
【分析】
把已知式子变成完全平方公式计算即可；
【详解】
解：∵x+y＝8，x2y2＝4，
∴（x+y）2＝64，xy＝±2，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
当xy＝2时，原式＝60，
当xy＝﹣2时，原式＝68．
故填60或68．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形考查，准确化简计算是解题的关键．
18．3a-b+c的平方根是±4.
【分析】
利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
∵5a＋2的立方根是3, 3a＋b－1的算术平方根是4,
∴5a＋2＝27, 3a＋b－1＝16
∴a＝5,b＝2
∵c是的整数部分
∴c＝3
∴3a－b＋c＝16
∴3a－b＋c的平方根是±4.
【点睛】
本题考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
19．（1）xy﹣1；（2）﹣x2+8xy，原式＝8﹣2．
【分析】
（1）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式＝（x3y2﹣x2y﹣2x2y+2x3y2）÷3x2y＝xy﹣1；
（2）原式＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣x2+4y2﹣4y2＝﹣x2+8xy，
当x＝，y＝1时，原式＝-+8××1＝8﹣2．
【点睛】
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（1）；（2）6x2-19x+10．
【分析】
（1）先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】
解：（1）∵甲得到的算式：（2x-a）（3x+b）=6x2+（2b-3a）x-ab=6x2+11x-10，
对应的系数相等，2b-3a=11，ab=10，
乙得到的算式：（2x+a）（x+b）=2x2+（2b+a）x+ab=2x2-9x+10，
对应的系数相等，2b+a=-9，ab=10，
∴
解得：；
（2）由（1）得：（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10．
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
21．（1）9，3；（2）①，②
【分析】
（1）根据完全平方公式可得到结论；
（2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论；
②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论．
【详解】
解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，
故答案为9，3；
（2）①，
设，则原式；
②，
设，
.
【点睛】
本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键．
22．（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析
【分析】
（1）根据大矩形面积等于各小图形的面积和求解即可；
（2）将原式进行因式分解，然后得到一边长（a+b），另一边长（a+3b），据此作出图形即可．
【详解】
（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）由题意得：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），所以得到下图
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何证明，因式分解的几何应用，根据面积相等写出恒等式是本题的关键．
23．①34；②333
【分析】
（1）根据完全平分公式化简计算即可；
（2）根据完全平方公式化简计算即可；
【详解】
解：①∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+5xy+y2＝（x+y）2+3xy＝52+3×3＝34；
②∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝19，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝192﹣2×32＝333．
【点睛】
本题主要考查了代数式的求值，准确结合完全平方公式变形计算是解题的关键．
24．（1）﹣i，1；（2）3﹣4i；（3）﹣3或3
【分析】
（1）按照定义计算即可；
（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出实部和虚部的值，再代入要求得式子求解即可；
（3）按照定义计算ab及a+b的值，分两种情况讨论，利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，每相邻四项的和均为0，从而可得答案．
【详解】
（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，
i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；
故答案为：﹣i，1．
（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，
故（2+i）2的共轭复数是3﹣4i；
（3）∵（a+i）（b+i）＝ab﹣1+（a+b）i＝1+3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝3，
解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝﹣3；
当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i﹣1）＝3．
故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为﹣3或3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，多项式与多项式的乘法法则，完全平方公式等知识，读懂定义及其运算法则是解题的关键，本题的计算较为复杂．
25．（1）3， 3；（2）1，大， -2；（3）当时，的最小值为-6.
【分析】
（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先由得到，代入x+y得到关于x的函数关系式，然后配方确定最小值即可；
【详解】
（1）∵，
∴当时，有最小值3；
故答案为3，3.
（2）∵，
∴当时最大值-2；
故答案为1，大，-2.
（3）∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为-6.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是明确题意，将题目中式子化成题目中例子的形式．