2020-2021学年河南省郑州市高一（下）4月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省郑州市高一（下）4月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列说法正确的是（ ）
A.第二象限的角比第一象限的角大
B.若sinα=12，则α=π6
C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关

2. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A.A与BB.B与CC.A与DD.B与D

3. 下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（ ）

A.i>20B.i<20C.i>=20D.i<=20

4. 如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为（ ）

A.235B.215C.195D.165

5. 若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于( )
A.sin12B.π6C.1sin12D.2sin12

6. 41(6)对应的二进制数是（ ）
A.11001(2)B.10011(2)C.10101(2)D.10001(2)

7. 已知角α的终边过点P(−8m, −6cs60∘)且csα=−45，则m的值是（ ）
A.12B.−12C.−32D.32

8. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中编号落入区间[1, 450]的人做问卷A，编号落入区间[451, 750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A.7B.9C.10D.15

9. 某服装加工厂某月生产A，B，C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（ ）
A.80B.800C.90D.900

10. 若样本x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为10，方差为3，则样本2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数、方差是（ ）
A.19，12B.23，12C.23，18D.19，18

11. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}，若|a−b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.19B.29C.718D.49

12. 若图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于( )

A.11 B.10C.8 D.7
二、填空题

已知sinα+3csα3csα−sinα=5，则sin2α−sinαcsα的值为________．

执行如图所示的程序框图，若输入的m=1734，n=816，则输出的m的值为________．


已知cs(75∘+α)=13，其中α为第三象限角，则cs(105∘−α)+sin(α−105∘)+sin(α−15∘)=________．

用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=−4时的值时，V3的值为________．
三、解答题

化简：
(1)cs(180∘+α)sin(90∘+α)tan(α+360∘)sin(−α−180∘)cs(−180∘−α)cs(270∘−α)．

(2)1csα1+tan2α+1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα（其中α为第二象限角）．

从某高中入校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况如下表所示．

(1)请在频率分布表中的①，②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率分布直方图；

(2)根据频率分布直方图估计这100名同学身高的平均值，中位数及众数；

(3)再按身高分层抽样，抽取20人参加某项活动，求其中身高超过170cm 的人数．

根据科学研究人的身高是具有遗传性的，唐三的身高为1.90m，他的爷爷的身高1.70m，他的父亲的身高为1.80m，他的儿子唐东的身高为1.90m，
(1)请根据以上数据画出父(x)子(y)身高的散点图；

(2)根据父(x)子(y)身高的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测唐三的孙子唐雨浩将来的身高.
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx)

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为x,y．
(1)求当x，y∈R时，P满足x−22+y−22≤4的概率；

(2)求当x，y∈Z时，P满足x−22+y−22≤4的概率．

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

已知sinx−csx∈[−1, 2]，求函数f(x)=(sinx−a)(csx+a)的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市高一（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
象限角、轴线角
弧度制
【解析】
通过给变量取特殊值，举反例，可以排除4个选项中的3个选项，只剩下一个选项，即为所选．
【解答】
解：排除法可解．
第一象限角370∘不小于第二象限角100∘，故A错误；
当sinα=12时，也可能α=56π，故B错误；
当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C错误；
D叙述正确．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
由已知条件利用互斥事件、对立事件的概念求解．
【解答】
解：∵ 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，
事件B为“落地时向上的数是偶数”，
事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，
事件D为“落地时向上的数是4的倍数”，
∴ A与B是对立事件，
B与C是相同事件，
A与D不能同时发生，但A不发生时，D不一定发生，故A与D是互斥事件但不是对立事件，
B与D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
循环语句
【解析】
根据程序的功能为一个求20个数的平均数的程序，得到循环次数，从而得到判定的条件．
【解答】
解：因为该程序框图是求20个数的平均数的程序，故当i>20时跳出循环.
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
由已知中矩形的长为5，宽为2，我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S阴影的方程，解方程即可求出阴影部分面积．
【解答】
解：∵ 矩形的长为5，宽为2，则S矩形=10，
∴ S阴S矩=S阴10=138300，
∴ S阴=235.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
弧长公式
【解析】
1弧度的圆心角所对的弦长等于2，求这圆心角所对的弧长，已知圆心角求弧长，需要知道半径，在弦长的一半，半径和弦心距组成的直角三角形中利用三角函数的定义，得到半径长，从而根据弧长公式得到弧长．
【解答】
解：设圆的半径为r．由题意知r⋅sin12=1，
∴ r=1sin12，
∴ 弧长l=α⋅r=1sin12．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
进位制
【解析】
进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将6进制数转化为十进制数，再由除2取余法转化为二进制数，进行求解；
【解答】
解：41(6)=4×61+1=25．
25÷2=，
12÷2=，
6÷2=，
3÷2=，
1÷2=，
故25(10)=11001(2).
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
从csα=−45，推出α在第二、三象限，−6cs60∘可知α在第三象限，
利用三角函数余弦的定义，可求m的值．
【解答】
解：P(−8m, −3)，csα=−8m64m2+9=−45．
∴ m=12或m=−12（舍去）．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
系统抽样方法
等差数列的通项公式
【解析】
由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+(n−1)30=30n−21，由451≤30n−21≤750求得正整数n的个数．
【解答】
解：960÷32=30，
故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为an=9+(n−1)30=30n−21．
由 451≤30n−21≤750，
解得15.7≤n≤25.7．
再由n为正整数可得 16≤n≤25，
且n∈Z，故做问卷B的人数为10.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
在分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，由B产品知比为2302300，A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，得C产品的样本容量为80，算出C产品的样本容量，根据每个个体被抽到的概率，算出产品数．
【解答】
解：∵ 分层抽样是按比抽取，
由B产品知比为2302300=110，共抽取样本容量是4000×110=400，
设C产品的样本容量为x，
∵ A产品样本容量比C产品的样本容量多10，
∴ x+x+10=400−230，
∴ 得C产品的样本容量为80，
∴ C产品共有80÷110=800.
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
根据题意，由平均数与方差的公式进行分析与计算，得出答案即可．
【解答】
解：∵ 样本x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为10，方差为3，
∴ (x1+2)+(x2+2)+…+(xn+2)n=10，
即x1+x2+...+xn=10n−2n=8n；
1n[(x1+2−10)2+(x2+2−10)2+...+
(xn+2−10)2]=3，
即(x1−8)2+(x2−8)2+...+(xn−8)2=3n；
∴ 样本2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均数是
x=(2x1+3)+(2x2+3)+…+(2xn+3)n
=2(x1+x2+…+xn)+3nn
=2×8n+3nn=19；
方差是s2=1n[(2x1+3−19)2+
(2x2+3−19)2+...+(2xn+3−19)2]
=1n×4[(x1−8)2+(x2−8)2+...+(xn−8)2]
=4n×3n=12．
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a−b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】
解：∵ 试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，
其中满足|a−b|≤1的有如下情形：
①若a=1，则b=1，2；
②若a=2，则b=1，2，3；
③若a=3，则b=2，3，4；
④若a=4，则b=3，4，5；
⑤若a=5，则b=4，5，6；
⑥若a=6，则b=5，6，
总共16种，
∴ 他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49．
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．
【解答】
解：根据提供的该算法的程序框图，
该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．
根据x1=6 ，x2=9，不满足|x1−x2|≤2，
故进入循环体，输入x3，
判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．
因此由8.5=9+x32，
解出x3=8.
故选C.
二、填空题
【答案】
25
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
将已知等式左边分子分母同时除以csα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，求出tanα的值，将所求式子的分母1变形为sin2α+cs2α，然后分子分母同时除以cs2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．
【解答】
解：依题意得：tanα+33−tanα=5，∴ tanα=2，
∴ sin2α−sinαcsα=sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α−tanαtan2α+1=22−222+1=25．
故答案为：25.
【答案】
102
【考点】
程序框图
【解析】
算法的功能是利用辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出1734，816的最大公约数，可得答案．
【解答】
解：由程序框图知：算法的功能是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，
输入的m=1734，n=816，
1734=2×816+102，816=102×8+0，
∴ 输出的m=102．
故答案为：102．
【答案】
22−23
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由同角三角函数基本关系可得sin(75∘+α)，再由整体思想和诱导公式可得．
【解答】
解：∵ cs(75∘+α)=13，其中α为第三象限角，
∴ sin(75∘+α)=−1−(13)2=−223，
∴ cs(105∘−α)+sin(α−105∘)+sin(α−15∘)
=cs[180∘−(75∘+α)]+sin[(75∘+α)−180∘]+sin[(75∘+α)−90∘]
=−cs(75∘+α)−sin(75∘+α)−cs(75∘+α)
=22−23.
故答案为：22−23.
【答案】
−57
【考点】
秦九韶算法
【解析】
首先把一个n次多项式f(x)写成(…（(a[n]x+a[n−1])x+a[n−2]）x+...+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V3的值．
【解答】
解：∵ f(x)=12+35x−8x2+79x3+6x4+5x5+3x6
=(((((3x+5)x+6)x+79)x−8)x+35)x+12，
∴ v0=a6=3，
v1=v0x+a5=3×(−4)+5=−7，
v2=v1x+a4=−7×(−4)+6=34，
v3=v2x+a3=34×(−4)+79=−57，
∴ V3的值为−57.
故答案为：−57.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=−csα⋅csα⋅sinαcsαsinα⋅(−csα)⋅(−sinα)=−1sinα．
(2)∵ α为第二象限角，csα<0，
∴ 原式=1csα×1cs2α+(1+sinα)2cs2α−(1−sinα)2cs2α
=−1+1+sinα−csα+1−sinαcsα=−1−2tanα．
【考点】
三角函数的化简求值
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可化简得解；
（2）根据α的范围可求csα<0，利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可化简得解；
【解答】
解：(1)原式=−csα⋅csα⋅sinαcsαsinα⋅(−csα)⋅(−sinα)=−1sinα．
(2)∵ α为第二象限角，csα<0，
∴ 原式=1csα×1cs2α+(1+sinα)2cs2α−(1−sinα)2cs2α
=−1+1+sinα−csα+1−sinαcsα=−1−2tanα．
【答案】
解：(1)100−5−35−30−10=20，
1−0.05−0.2−0.3−0.1=0.35，
故①处的数据为20，②处的数据为0.350.
补全频率分布直方图如图.
(2)这100名同学身高的平均值为
162.5×0.05+167.5×0.2+172.5×0.35+177.5×0.3
+182.5×0.1=173.5.
中位数为170+5×≈173.571.
众数为172.5.
(3)身高超过170cm的人数为20×(0.35+0.3+0.1)=15（人）.
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
【解析】
利用举反例的方法判断①②错误，根据角的定义判断③正确．
【解答】
解：(1)100−5−35−30−10=20，
1−0.05−0.2−0.3−0.1=0.35，
故①处的数据为20，②处的数据为0.350.
补全频率分布直方图如图.
(2)这100名同学身高的平均值为
162.5×0.05+167.5×0.2+172.5×0.35+177.5×0.3
+182.5×0.1=173.5.
中位数为170+5×≈173.571.
众数为172.5.
(3)身高超过170cm的人数为20×(0.35+0.3+0.1)=15（人）.
【答案】
解：(1)由已知中的数据可得父(x)子(y)身高的散点图如下图所示：
(2)由已知可得：x=1.8，y=2815，i=13xiyi=10.09，i=13xi2=9.74，
∴ b=10.09−−9.72=12，
a=2815−12×1.8=2930，
故回归方程y=12x+2930.
(3)当x=1.9时，y=12×1.9+2930≈1.92m，
故预测唐三的孙子唐雨浩将来的身高约为1.92m．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）根据已知中的数据，可得父(x)子(y)身高的散点图；
（2）根据父(x)子(y)身高的数据，用最小二乘法求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程y=bx+∧a；
（3）试根据（2）求出的线性回归方程，将x=1.9代入可预测唐三的孙子唐雨浩将来的身高．
【解答】
解：(1)由已知中的数据可得父(x)子(y)身高的散点图如下图所示：
(2)由已知可得：x=1.8，y=2815，i=13xiyi=10.09，i=13xi2=9.74，
∴ b=10.09−−9.72=12，
a=2815−12×1.8=2930，
故回归方程y=12x+2930.
(3)当x=1.9时，y=12×1.9+2930≈1.92m，
故预测唐三的孙子唐雨浩将来的身高约为1.92m．
【答案】
解：(1)由题设可知，P所在的区域的面积为16，
而P在(x−2)2+(y−2)2≤4上的区域为以(2,2)为圆心 , 半径为2的圆 ,
二者交集的面积为π，
所以所求概率为π16．
(2)由于x，y均为整数 , 因此 , 满足 : |x|≤2 , |y|≤2的点P共有25个 ,
但在(x−2)2+(y−2)2≤4内的点只有6个 ,
所求概率为625．
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)由题设可知，P所在的区域的面积为16，
而P在(x−2)2+(y−2)2≤4上的区域为以(2,2)为圆心 , 半径为2的圆 ,
二者交集的面积为π，
所以所求概率为π16．
(2)由于x，y均为整数 , 因此 , 满足 : |x|≤2 , |y|≤2的点P共有25个 ,
但在(x−2)2+(y−2)2≤4内的点只有6个 ,
所求概率为625．
【答案】
解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160∼169之间，而乙班身高集中于170∼180之间．
因此乙班平均身高高于甲班
(2)x
=(158+162+163+168+168+170
+171+179+179+182)÷10
=170，
甲班的样本方差为
110[(158−170)2+(162−170)2+(163−170)2+(168−170)2
+(168−170)2+(170−170)2+(171−170)2
+(179−170)2+(179−170)2+(182−170)2]=57.2．
(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181, 173)(181, 176)
(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)
(178, 176)(176, 173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．
∴ P(A)=410=25．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．
【解答】
解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160∼169之间，而乙班身高集中于170∼180之间．
因此乙班平均身高高于甲班
(2)x
=(158+162+163+168+168+170
+171+179+179+182)÷10
=170，
甲班的样本方差为
110[(158−170)2+(162−170)2+(163−170)2+(168−170)2
+(168−170)2+(170−170)2+(171−170)2
+(179−170)2+(179−170)2+(182−170)2]=57.2．
(3)设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：(181, 173)(181, 176)
(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)
(178, 176)(176, 173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．
∴ P(A)=410=25．
【答案】
解：令t=sinx−csx∈−1,2，则sinx⋅csx=1−sinx−csx22=1−t22，
所以y=sinx−acsx+a=sinxcsx+asinx−csx−a2
=1−t22+at−a2=−12t−a2−a22+12，t∈−1,2 ，
①当a≤−1时，当t=−1时，有ymax=−a−a2 ；
②当−1③当a≥2时，当t=2时，有ymax=−a2+2a−12.
【考点】
函数的最值及其几何意义
同角三角函数间的基本关系
【解析】
令sinx−csx=t∈[−1, 2]，则sinxcsx=1−t22．可得函数f(x)=sinxcsx+a(sinx−csx)+a2=−12(t−a)2+32t2+12=g(t)．对a与−1，2的大小关系分类讨论即可得出．
【解答】
解：令t=sinx−csx∈−1,2，则sinx⋅csx=1−sinx−csx22=1−t22，
所以y=sinx−acsx+a=sinxcsx+asinx−csx−a2
=1−t22+at−a2=−12t−a2−a22+12，t∈−1,2 ，
①当a≤−1时，当t=−1时，有ymax=−a−a2 ；
②当−1③当a≥2时，当t=2时，有ymax=−a2+2a−12.产品类别
A
B
C
产品数量（件）
2300
样本容量（件）
230