2020-2021学年湖北省襄阳市高一（下）6月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省襄阳市高一（下）6月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x|x>−1,B=x|2x2+3x−9<0，则A∩B=( )
A.−1,3B.−3,+∞C.−1,32D.−32,+∞

2. 在一组样本数据中，2，4，6出现的频率分别为0.3，0.3，0.4，则这组数据的平均数为( )
A.4B.4.2C.4.4D.4.5

3. 已知函数fx=lg2x2+4，则“x≥2”是“fx≥3”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．函数fx=x2ex+e−x的图象大致是( )
A.B.
C.D.

5. 已知一个圆柱的底面半径和高分别是某圆锥的高和底面半径，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆柱与该圆锥的体积之比为( )
A.23:1B.33:2C.33:1D.3:1

6. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg21+SN，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比. 当信噪比SN比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计，按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比SN从1000提升到16000，则C大约增加了( )（附：lg2≈0.3）
A.21%B.32%C.43%D.54%

7. 已知函数fx=Acsωx+φA>0，ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移tt>0个单位长度，得到函数gx的图象，若gx满足gπ−x=gx，则t的最小值为( )

A.π6B.π4C.5π6D.5π12

8. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=π4,c=3，则CA→⋅CB→的取值范围是（ ）
A.0,9B.0,3C.3,+∞D.9,+∞
二、多选题

下列几何体中，有且仅有6个面的是( )
A.四棱台B.四棱锥C.五棱锥D.五棱柱

复数z1=2+ii，z2=3+i1−i，则( )
A.z1，z2互为共轭复数B.z1z2=−5
C.|z1|=|z2|D.z1
近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加．下图为国家统计局发布的2010∼2019年幼儿园数量及学前教育毛人园率统计图．根据该统计图，下列说法一定正确的是（ ）
注：毛入园率=适龄儿童入读幼儿园人数适龄儿童总人数.

A.2019年，全国共有幼儿园28.1万所
B.2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2%
C.2010∼2019年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加
D.2010∼2019年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线a和b分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为θ，且sinθ=31010，当BC1 与b所成角为60∘时，则a与侧面BCC1B1 所成角的正切值可能为( )
A.2B.3C.12D.13
三、填空题

某林场新种了一批树苗，其中杉树苗20000棵，松树苗30000棵．为调查树苗的生长情况，按树苗的种类采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中松树苗有60棵，则杉树苗的棵数为________．

已知单位向量a→，b→，c→满足a→−3b→=22c→，则a→与c→的夹角为________．

某公园有一个人工湖如图1所示，其平面图如图2所示，该公园管理处为方便市民出行，计划在图2中的A，C处修建一座木桥．为得到木桥AC的长度，现经测量得到AB=20米，∠ABC=15∘，∠BAC=120∘，则AC=________米．


已知函数fx=2csωx+π3ω>0在区间0,π上至少有1个零点，至多有2个零点，则ω的取值范围是________．
四、解答题

某养殖场新引进了40只幼猪，并对其体重（单位：千克）进行了测量，将数据按照[10,12)，[12,14)，…，20,22分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)试估计这40只幼猪体重的中位数；

(2)试估计这40只幼猪中体重不低于16千克的数量．

已知复数z=m2+3m−10+2m2−3m−2im∈R .
(1)若复数z是纯虚数，求m的值；

(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．

已知向量a→=1,2,b→=3,x .
(1)若2a→⊥a→−b→，求|a→+b→|；

(2)若c→=−3,−4,a→//2b→+c→，求b→−2a→与a→的夹角的余弦值．

在①acsC+ccsA=2c，②b1−2csA=2acsB，③b2csC+bccsB=2ac这三个条件中任选一个补充到下面问题中，并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．________．
(1)求sinCsinB的值；

(2)若a=4，D为BC的中点，且AD=6，求△ABC的周长．
注．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知函数fx=lg2ax+2，gx=lg2x−1a∈R．
(1)若fx在其定义域内单调递增，求函数fx2的值域；

(2)当a=1时，若关于x的方程fx=gx+m在2,4上有实根，求m的取值范围．

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB=CD=22，AC=AD，∠CBD=2∠CDB=90∘．

(1)证明：BC⊥平面ABD；

(2)在侧面ACD内求作一点H，使得BH⊥平面ACD，写出作法（无需证明），并求线段AH的长．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省襄阳市高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】

【解答】
解：因为A=−1,+∞，B=−3,32，
所以A∩B=−1,32 .
故选C .
2.
【答案】
B
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】

【解答】
解：平均数x=2×0.3+4×0.3+6×0.4=4.2 .
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：若x≥2，则lg2x2+4≥lg28=3，
即fx≥3，
若fx≥3，
则lg2x2+4≥3，
即x2≥4，
解得x≤−2或x≥2，
所以“x≥2”是“fx≥3”的充分不必要条件．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：可知f(x)是偶函数，
所以其图象关于y轴对称，排除C和D，
当x→+∞时，fx→0，所以排除A．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
【解答】
解：设该圆锥的底面半径和高分别为r，ℎ，
则ℎ=3r，
从而V圆柱=πℎ2r=3πr3,
V圆锥=13πr2ℎ=33πr3，
故V圆柱：V圆锥=3πr3：33πr3=33：1．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
【解析】
由题意可得C的增加值为Wlg21+5000−Wlg21+1000Wlg21+1000，再由对数的运算性质求解．
【解答】
解：由题意，C增加比率为
1.1Wlg216000Wlg21000−1
=1.1×lg16000lg1000−1
=1.1×3+4lg23−1≈0.54=54%．
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
余弦函数的对称性
【解析】
无
【解答】
解：∵T=4π3−π12=π，
∴ω=2，
由图可知A=1，
∴fx=cs2x+φ，
∵fx的图象过点π12,1，
∴π6+φ=2kπk∈Z,
又|φ|<π，
∴φ=−π6，
从而f(x)=cs(2x−π6)，g(x)=cs(2x−2t−π6)，
由gπ−x=gx知直线x=π2是gx图象的一条对称轴，
∴π−2t−π6=kπ，t=5π12−kπ2k∈Z，
∴tmin=5π12．
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积的运算
余弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理知a2=b2+c2−2bccsA=b2+9−32b，
又△ABC是锐角三角形，
所以a2+b2−9>0，且a2+9−b2>0，
可得2b2−32b>0，18−32b>0,
所以322则CA→⋅CB→=abcsC=a2+b2−92=b2−322b.
又b∈322,32，
故CA→·CB→的取值范围是0,9．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
棱柱的结构特征
棱锥的结构特征
棱台的结构特征
【解析】
无
【解答】
解：四棱台和五棱锥都有且仅有6个面，四棱锥有5个面，五棱柱有7个面．
故选AC．
【答案】
B,C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得z1=2+ii=−1+2i，z2=3+i1−i=1+2i，
则z1z2=4i2−1=−5，
|z1|=1+4=5，|z2|=1+4=5，
即|z1|=|z2|，
故A，D错误，BC正确．
故选BC．
【答案】
A,B,D
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由统计图可得，A，B，D均正确，
2010∼2019年我国学前教育毛入园率在持续增加，
但毛入园率由适合入读幼儿园的人数及入读幼儿园的人数共同决定，所以C不一定正确．
故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
无
【解答】
解：易得直线BD与BC1所成角为60∘，
∴b//BD或b//AC，
当b//BD时，过点C作直线CE与BD交于点O，
直线CE与BD夹角的正弦值为31010，
则a//CE，此时θ=∠COD或∠BOC，
a与侧面BCC1B1所成角为∠ECB，
∵sinθ=31010，
对于tanθ=3，
当θ=∠COD时，
tan∠ECB=tanθ−π4=tanθ−tanπ41+tanθ⋅tanπ4=12，
当θ=∠BOC时，
tan∠ECB=tanπ−θ−π4=−tanθ+π4
=−tanθ+tanπ41−tanθ⋅tanπ4=2，
当b//AC时，同理．
故选AC．
三、填空题
【答案】
40
【考点】
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设样本中杉树苗的棵数为x，则6030000=x20000，解得x=40.
故答案为：40．
【答案】
π2
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
【解答】
解：由a→−3b→=22c→，
可得a→−22c→=3b→，
两边平方，化简可得a→⋅c→=0，
所以a→与c→的夹角为π2.
故答案为：π2.
【答案】
10(3−1)
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】

【解答】
解： 如图，
因为∠ABC=15∘,∠BAC=120∘，
所以∠ACB=45∘，
因为∠ABC=15∘，
所以sin∠ABC=sin45∘−30∘=6−24，
因为AB=20米，
由正弦定理可得AC=ABsin∠ABCsin∠ACB=20×6−2422=10(3−1)米 .
故答案为：10(3−1).
【答案】
(16,136]
【考点】
函数的零点
正弦函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：∵x∈0,π，
∴ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
则π2<ωπ+π3≤5π2，
解得16<ω≤136．
故答案为：(16,136] ．
四、解答题
【答案】
解：(1)后三组的频率之和为(0.125+0.075+0.025)×2=0.45，
后四组的频率之和为(2×0.125+0.075+0.025)×2=0.7，
所以中位数位于第三组，设中位数为a，
则(16−a)×0.125+0.45=0.5．解得a=15.6．
所以这40只幼猪体重的中位数估计值为15.6．
(2)由频率分布直方图可得，不低于16千克的频率为(0.125+0.075+0.025)×2=0.45，
所以这40只幼猪中体重不低于16千克的数量估计为0.45×40=18．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
概率的应用
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)后三组的频率之和为(0.125+0.075+0.025)×2=0.45，
后四组的频率之和为(2×0.125+0.075+0.025)×2=0.7，
所以中位数位于第三组，设中位数为a，
则(16−a)×0.125+0.45=0.5．解得a=15.6．
所以这40只幼猪体重的中位数估计值为15.6．
(2)由频率分布直方图可得，不低于16千克的频率为(0.125+0.075+0.025)×2=0.45，
所以这40只幼猪中体重不低于16千克的数量估计为0.45×40=18．
【答案】
解：(1)由题意可得m2+3m−10=0，2m2−3m−2≠0，
即m+5m−2=0,2m+1m−2≠0,
解得m=−5 ．
(2)由题意可知复数z在复平面内对应的点为Zm2+3m−10,2m2+3m−2 ，
则m2+3m−10<0，2m2−3m−2>0，
解得−5即m的取值范围为−5,−12.
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得m2+3m−10=0，2m2−3m−2≠0，
即m+5m−2=0,2m+1m−2≠0,
解得m=−5 ．
(2)由题意可知复数z在复平面内对应的点为Zm2+3m−10,2m2+3m−2 ，
则m2+3m−10<0，2m2−3m−2>0，
解得−5即m的取值范围为−5,−12.
【答案】
解：(1)∵a→=1,2，b→=3,x，
∴2a→=2,4，a→−b→=−2,2−x ，
由2a→⊥(a→−b→)，
可得2a→⋅a→−b→=0 ，
即−2×2+42−x=0，
解得x=1，
∴a→+b→=4,3 ，
故|a→+b→|=5．
(2)依题意得2b→+c→=3,2x−4，
又a→//(2b→+c→)，
则2x−4−2×3=0 ，
∴x=5，
则b→=3,5 ，
则b→−2a→=1,1 ，
∴cs⟨b→−2a→,a→⟩=b→−2a→⋅a→|b→−2a→|⋅|a→|
=1+22×5=31010 ,
∴b→−2a→与a→的夹角的余弦值为31010．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵a→=1,2，b→=3,x，
∴2a→=2,4，a→−b→=−2,2−x ，
由2a→⊥(a→−b→)，
可得2a→⋅a→−b→=0 ，
即−2×2+42−x=0，
解得x=1，
∴a→+b→=4,3 ，
故|a→+b→|=5．
(2)依题意得2b→+c→=3,2x−4，
又a→//(2b→+c→)，
则2x−4−2×3=0 ，
∴x=5，
则b→=3,5 ，
则b→−2a→=1,1 ，
∴cs⟨b→−2a→,a→⟩=b→−2a→⋅a→|b→−2a→|⋅|a→|
=1+22×5=31010 ,
∴b→−2a→与a→的夹角的余弦值为31010．
【答案】
解：(1)选①，
∵acsC+ccsA =2c，
∴sinAcsC+sinCcsA=2sinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC,
∴sinB=2sinC ，
则sinCsinB=12．
选②，
∵b1−2csA=2acsB，
∴sinB1−2csA=2sinAcsB ，
∴sinB=2(sinAcsB+sinBcsA) ，
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB ，
∴sinB=2sinC,
则sinCsinB=12．
选③，
∵b2csC+bccsB=2ac，
∴b2⋅a2+b2−c22ab+bc⋅a2+c2−b22ac=2ac ，
∴a2b+b2−bc22a+a2b+bc2−b22a=2ac ，
∴ab=2ac,
∴b=2c，
则sinCsinB=cb=12．
(2)∵a=4，
∴BD=CD=2 ，
在△ABD中，由余弦定理，
可得cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=10−c246，
在△ACD中，由余弦定理，
可得cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=10−b246 ，
∵∠ADB+∠ADC=π，
∴cs∠ADB+cs∠ADC=0 ，
∴10−c246+10−b246=0，
即20−b2−c2=0,
由(1)可得b=2c，
∴20−c2−4c2=0，
解得c=2，
则b=4 ，
故△ABC的周长为a+b+c=4+4+2=10 ．
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
解三角形
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)选①，
∵acsC+ccsA =2c，
∴sinAcsC+sinCcsA=2sinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC,
∴sinB=2sinC ，
则sinCsinB=12．
选②，
∵b1−2csA=2acsB，
∴sinB1−2csA=2sinAcsB ，
∴sinB=2(sinAcsB+sinBcsA) ，
∵A+B+C=π，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB ，
∴sinB=2sinC,
则sinCsinB=12．
选③，
∵b2csC+bccsB=2ac，
∴b2⋅a2+b2−c22ab+bc⋅a2+c2−b22ac=2ac ，
∴a2b+b2−bc22a+a2b+bc2−b22a=2ac ，
∴ab=2ac,
∴b=2c，
则sinCsinB=cb=12．
(2)∵a=4，
∴BD=CD=2 ，
在△ABD中，由余弦定理，
可得cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=10−c246，
在△ACD中，由余弦定理，
可得cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=10−b246 ，
∵∠ADB+∠ADC=π，
∴cs∠ADB+cs∠ADC=0 ，
∴10−c246+10−b246=0，
即20−b2−c2=0,
由(1)可得b=2c，
∴20−c2−4c2=0，
解得c=2，
则b=4 ，
故△ABC的周长为a+b+c=4+4+2=10 ．
【答案】
解：(1)∵y=lg2u为增函数，
又∵函数fx在其定义域内单调递增，
根据复合函数的单调性，
可得u=ax+2也是增函数,
∴a>0 ，
f(x2)=lg2(ax2+2)，
∵a>0，
∴ax2+2≥2 ，
∴fx2=lg2(ax2+2)≥lg22=1，
∴函数fx2的值域为[1,+∞)．
(2)当a=1时，fx=lg2x+2，
方程fx=gx+m有实根，lg2x+2x−1=m有实根，
令ℎx=x+2x−1，
∵ℎx=x+2x−1=1+3x−1在[2,4]上单调递减，
∴ℎ4≤ℎx≤ℎ2，
即ℎx∈2,4 ，
从而可得lg2x+2x−1∈2,4，
∴当m∈1,2时，关于x的方程fx=gx+m在[2,4]上有实根．
【考点】
函数的值域及其求法
复合函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵y=lg2u为增函数，
又∵函数fx在其定义域内单调递增，
根据复合函数的单调性，
可得u=ax+2也是增函数,
∴a>0 ，
f(x2)=lg2(ax2+2)，
∵a>0，
∴ax2+2≥2 ，
∴fx2=lg2(ax2+2)≥lg22=1，
∴函数fx2的值域为[1,+∞)．
(2)当a=1时，fx=lg2x+2，
方程fx=gx+m有实根，lg2x+2x−1=m有实根，
令ℎx=x+2x−1，
∵ℎx=x+2x−1=1+3x−1在[2,4]上单调递减，
∴ℎ4≤ℎx≤ℎ2，
即ℎx∈2,4 ，
从而可得lg2x+2x−1∈2,4，
∴当m∈1,2时，关于x的方程fx=gx+m在[2,4]上有实根．
【答案】
(1)证明：∵∠CBD=90∘，
∴BC⊥BD，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC ，
∴BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AB ，
在△BCD中，CD=22，∠CBD=2∠CDB=90∘，
∴BC=BD=2，AD=AB2+BD2=23，
可得AC2=AD2=BC2+AB2，
则AB⊥BC ，
又∵AB∩BD=B，
∴BC⊥平面ABD．
(2)解：如图，
取CD的中点E，连接AE，
过B作BH⊥AE，垂足H即要求作的点．
∵AB⊥BD，AB⊥BC， BC∩BD=B，
∴AB⊥平面BCD，
连接BE，则AB⊥BE，
∵BD⊥BC，BC=BD，
∴BE=2，
则AE=AB2+BE2=10 ，
由等面积法可得BH=2×2210=410=2105 ，
故AH=AB2−BH2=4105 ．
【考点】
直线与平面垂直的判定
棱锥的结构特征
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵∠CBD=90∘，
∴BC⊥BD，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC ，
∴BD⊥平面ABC，
∴BD⊥AB ，
在△BCD中，CD=22，∠CBD=2∠CDB=90∘，
∴BC=BD=2，AD=AB2+BD2=23，
可得AC2=AD2=BC2+AB2，
则AB⊥BC ，
又∵AB∩BD=B，
∴BC⊥平面ABD．
(2)解：如图，取CD的中点E，连接AE，
过B作BH⊥AE，垂足H即要求作的点．
∵AB⊥BD，AB⊥BC， BC∩BD=B，
∴AB⊥平面BCD，
连接BE，则AB⊥BE，
∵BD⊥BC，BC=BD，
∴BE=2，
则AE=AB2+BE2=10 ，
由等面积法可得BH=2×2210=410=2105 ，
故AH=AB2−BH2=4105 ．