2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A.y0+ΔyB.f(x0+Δx)
C.f(Δx)D.f(x0+Δx)−f(x0)

2. 一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s=t2+5t，则物体在t=3时的瞬时速度为（ ）
A.9B.10C.11D.12

3. 已知函数fx=1x2，则f′12=( )
A.−14B.−18C.−8D.−16

4. 下列求导运算正确的是( )
A.(e−x)′=−e−xB.(csπ3)′=−sinπ3
C.(sin2x)′=2xcsxD.(3x)′=3x

5. 已知fx=xlnx，若f′x0=0，则x0=( )
A.1eB.1C.eD.e2

6. 下列函数中，既是奇函数，又存在极值的是( )
A.y=x2B.y=x3C.y=lnxD.y=x+1x

7. 函数y=x+2csx在[0,π2]上的极大值点为（ ）
A.0B.π3C.π6D.π2

8. 已知函数fx=−x2−2x+3在区间a,2上的最大值为154，则a=( )
A.12B.−32C.−12D.−12或−32

9. 垂直于直线2x−6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2−1相切的直线方程是( )
A.3x+y−2=0B.3x−y+2=0C.3x+y+2=0D.3x−y−2=0

10. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是( )

A.B.
C.D.

11. 若函数fx=x2−2x−4lnx，则fx的单调递减区间为( )
A.2,+∞B.−1,0∪2,+∞
C.−1,2D.0,2

12. 已知函数fx=csx−sinx，f′x为fx的导函数，定义f1x=f′x，f2x=f1x′，…，fn+1x=fnx′n∈N∗，经计算f1x=−sinx−csx，f2x=−csx+sinx，f3x=sinx+csx，...，照此规律，则f2021x=( )
A.−csx+sinxB.csx−sinxC.sinx+csxD.−sinx−csx
二、填空题

曲线y=lnx+ax与直线y=2x−1相切，则a=_________．

函数fx=e2x−3ex+x的极小值为________.

若幂函数y=fx的图象经过点12,4，则f′−1的值为________.

某厂生产某种产品x件的总成本Cx=1200+127x2（单位：万元），又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
三、解答题

求下列函数的导数：
(1)y=x+199；

(2)y=2e−x．

已知函数fx=2x−12+5x．
(1)求f′(x)；

(2)求曲线y=fx在点2,19处的切线方程．

若函数fx=ax2+2x−43lnx在x=1处取得极值．
(1)求函数fx的单调区间；

(2)求函数fx的极值．

已知函数fx=12x2−alnx+1−ax．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若fx>a22恒成立，求正实数a的取值范围．

设x=1与x=−2是函数fx=ax3+bx2−2x，a≠0的两个极值点．
(1)求a，b的值；

(2)求函数fx的单调区间．

如图，一个圆心角为直角的扇形花草房OAB，半径为1，点P 是AB⌢上一个动点(不含端点)，现打算在扇形OBP 内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ 将扇形OAP 分成左右两部分，PQ 左侧部分的△POQ 为观赏区，PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a 为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f(θ) .

(1)求f(θ)关于θ 的函数关系式；

(2)求当θ 为何值时，总造价最小，并求出最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
根据题意函数y=f(x)，我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x0和x0+△x分别代入函数y=f(x)，然后相减求出△y．
【解答】
解：∵ 自变量x由x0改变到x0+Δx，
当x=x0，y=f(x0)，
当x=x0+Δx，y=f(x0+Δx)，
∴ Δy=f(x0+Δx)−f(x0).
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
导数的概念
导数的运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ s=t2+5t，
∴ s′=2t+5，
∴ s′|t=3=2×3+5=11，
即物体在t=3时的瞬时速度为11．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
根据函数的导数公式进行求解即可．
【解答】
解：函数的导数f′(x)=−2x−3，
则f′12=−2×12−3=−16.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可．
【解答】
解：A，(e−x)′=−e−x，故选项A正确；
B，(csπ3)′=(12)′=0，故选项B错误；
C，(sin2x)′=(sin2x)′⋅(2x)′=2cs2x，故选项C错误；
D，(3x)′=3xln3，故选项D错误．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=xlnx，
∴ f′x=lnx+1，
∵ f′x0=0，即lnx0+1=0，
∴ x0=1e.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数在某点取得极值的条件
函数奇偶性的判断
【解析】
判断A没有极值，C，D不是奇函数，判断推出结果．
【解答】
解：A，f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，是偶函数，
该选项不符合题意.
B，y=x3单调递增，没有极值，该选项不符合题意.
C，y=lnx单调递增，没有极值，该选项不符合题意.
D，函数y=x+1x满足f(−x)=−f(x)，函数是奇函数，
f′(x)=1−1x2=x2−1x2，
∴ f(x)在x=−1是取得极大值，在x=1时取得极小值.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数y=x+2csx的导数为y′=1−2sinx，
因为x∈0,π2，由y′=1−2sinx=0，可得sinx=12，解得x=π6．
当x∈0,π6时， y′>0，当x∈π6,π2时， y′<0，
所以函数y=x+2csx在x∈0,π6上单调递增，在x∈π6,π2上单调递减，
所以使得函数y=x+2csx取得极大值的x的值为π6.
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
由函数y=fx的解析式，我们可以分析出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标等信息，进而根据函数y=fx=−x2−2x+3在区间a,2上的最大值为154，可知区间a,2在对称轴的右侧，则a≥−1,fa=−a2−2a+3=154, 解方程组可得答案．
【解答】
解：f′(x)=−2x−2，
得f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递减，
则函数最大值为f(−1)=4，
若函数y=fx=−x2−2x+3在区间[a,2]上的最大值为154，
则函数y=fx=−x2−2x+3在区间a,2上为减函数，
则a≥−1,fa=−a2−2a+3=154,
解得a=−12或a=−32(舍)，
故a=−12．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1求出所求直线的斜率，然后求出曲线方程的导函数，令导函数值等于求出的斜率，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，把切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据求出的切线斜率及切点坐标写出所求的直线方程．
【解答】
解：因为所求直线垂直于直线2x−6y+1=0，
所以其斜率为k=−3，
又由曲线y=x3+3x2−1求导数得
y′=3x2+6x，
由3x2+6x=−3，
解得x=−1，
则切点为−1,1，
所以切线方程为y−1=−3x+1，
即3x+y+2=0．
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由导函数图象可知，f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，在(−2, 0)上单调递增；从而得到答案．
【解答】
解：由导函数图象可知，
f(x)在(−∞, −2)，(0, +∞)上单调递减，
在(−2, 0)上单调递增.
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
直接求导，即可确定导数小于零的范围.
【解答】
解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2−4x.
令f′x<0，解得−1又∵ f(x)的定义域为(0,+∞)，
∴ 函数fx的单调递减区间为0,2.
故选D.
12.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
函数的周期性
【解析】

【解答】
解：因为f1x=−sinx−csx，
f2x=−csx+sinx，
f3x=sinx+csx
f4(x)=csx−sinx，
f5x=−sinx−csx，
f6x=−csx+sinx，
…，
观察知fnx呈周期性变化，周期为4，
所以f2021x=f505×4+1 x=f1x=−sinx−csx.
故选D.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设切点为Px0,y0，
则y0=lnx0+ax0，y0=2x0−1，
切线的斜率k=f′x0=1x0+a=2，
解得x0=1，a=1．
故答案为：1．
【答案】
−2
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．
【解答】
解：依题意， f′x=2e2x−3ex+1=2ex−1 (ex−1)，
令f′(x)=0，解得x=ln12或0，
当x∈−∞,ln12时，f′x>0，
当x∈ln12,0时，f′x<0，
当x∈0,+∞ 时，f′x>0，
故fx在(−∞, ln12)上单调递增，在ln12,0上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
故函数fx在x=0处取到极小值f0=−2.
故答案为：−2．
【答案】
2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
导数的运算
【解析】
设幂函数的解析式为f(x)=xa，求出函数的解析式，再求导即可得到答案.
【解答】
解：设幂函数的解析式为f(x)=xa，
∵ 幂函数y=fx的图象经过点12,4，
∴ (12)a=4，
解得a=−2，
∴ f(x)=x−2，
∴ f′(x)=−2x−3，
∴ f′(−1)=−2×(−1)−3=2.
故答案为：2.
【答案】
225
【考点】
利用导数研究函数的最值
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：设产品单价为m万元.
因为产品单价的平方与产品件数x成反比，
所以m2=kx（其中k为非零常数）.
因为生产100件这样的产品单价为50万元，
所以502=k100，故k=250000.
记生产x件产品时，总利润为f(x)，
则f(x)=mx−C(x)=500x−1200−127x2，x>0，
则f′(x)=250x−227x，
由f′(x)>0得，0由f′(x)<0得，x>225，
故函数f(x)在(0,225)上单调递增，在(225,+∞)上单调递减，
因此当x=225时，f(x)取最大值，
即产量定为225件时，总利润最大.
故答案为：225．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ y=x+199，
∴ y′=99x+198x+1′=99x+198．
(2)∵ y=2e−x，
∴ y′=2e−x−x′=−2e−x．
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ y=x+199，
∴ y′=99x+198x+1′=99x+198．
(2)∵ y=2e−x，
∴ y′=2e−x−x′=−2e−x．
【答案】
解：(1) f′x=42x−1+5=8x+1.
(2) f′(2)=17 ，
故切线方程是： y−19=17x−2，
即 17x−y−15=0．
【考点】
简单复合函数的导数
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】


【解答】
解：(1) f′x=42x−1+5=8x+1.
(2) f′(2)=17 ，
故切线方程是： y−19=17x−2，
即 17x−y−15=0．
【答案】
解：(1)fx的定义域为0,+∞，f′x=2ax+2−43x，
由已知f′1=2a+2−43=0，
解得a=−13，
所以f′x=−23x+2−43x=−23⋅x−1x−2x.
令f′x>0，解得1令f′x<0，解得x<1或x>2，故函数的减区间为0,1和2,+∞.
(2)由(1)知fx=−13x2+2x−43lnx，f′x=−23⋅x−1x−2x.
令f′x=0，解得x=1或x=2，
且fx的增区间为1,2，减区间为0,1和2,+∞，
则函数的极大值为f2=83−43ln2，极小值为f1=53.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)fx的定义域为0,+∞，f′x=2ax+2−43x，
由已知f′1=2a+2−43=0，
解得a=−13，
所以f′x=−23x+2−43x=−23⋅x−1x−2x.
令f′x>0，解得1令f′x<0，解得x<1或x>2，故函数的减区间为0,1和2,+∞.
(2)由(1)知fx=−13x2+2x−43lnx，f′x=−23⋅x−1x−2x.
令f′x=0，解得x=1或x=2，
且fx的增区间为1,2，减区间为0,1和2,+∞，
则函数的极大值为f2=83−43ln2，极小值为f1=53.
【答案】
解：(1)定义域为0,+∞，
f′x=x−ax+1−a
=x2+1−ax−ax
=x+1x−ax，
当a≤0时，在0,+∞上，f′x≥0，
所以fx在定义域0,+∞上单调递增；
当a>0时，令f′x>0有x>a，
令f′x<0有0所以fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增．
(2)令gx=fx−a22，由(1)及a为正数知，
gx=fx−a22在x=a处取最小值，
所以fx>a22恒成立等价于ga>0，
即−alna+1−aa>0，整理得lna+a−1<0，
令ℎx=lnx+x−1，易知ℎx为增函数，且ℎ1=0，
所以lna+a−1<0的a的取值范围是0【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
解：(1)定义域为0,+∞，
f′x=x−ax+1−a
=x2+1−ax−ax
=x+1x−ax，
当a≤0时，在0,+∞上，f′x≥0，
所以fx在定义域0,+∞上单调递增；
当a>0时，令f′x>0有x>a，
令f′x<0有0所以fx在0,a上单调递减，在a,+∞上单调递增．
(2)令gx=fx−a22，由(1)及a为正数知，
gx=fx−a22在x=a处取最小值，
所以fx>a22恒成立等价于ga>0，
即−alna+1−aa>0，整理得lna+a−1<0，
令ℎx=lnx+x−1，易知ℎx为增函数，且ℎ1=0，
所以lna+a−1<0的a的取值范围是0【答案】
解：(1)f′x=3ax2+2bx−2，
由题意可知：f′1=0，f′−2=0，
即3a+2b−2=0，12a−4b−2=0，
解得a=13，b=12．
(2)可知，f′x=x2+x−2，
由f′x>0，得x<−2或x>1，
由f′x<0，得−2故fx的增区间为−∞,−2，1,+∞；减区间为−2,1．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(1)利用x=1与x=−2是函数fx=ax3+bx2−2x，a≠0的两个极值点，导函数的函数值为0，求解即可．
(2)通过导函数的符号，求解函数的单调区间即可．
【解答】
解：(1)f′x=3ax2+2bx−2，
由题意可知：f′1=0，f′−2=0，
即3a+2b−2=0，12a−4b−2=0，
解得a=13，b=12．
(2)可知，f′x=x2+x−2，
由f′x>0，得x<−2或x>1，
由f′x<0，得−2故fx的增区间为−∞,−2，1,+∞；减区间为−2,1．
【答案】
解：(1)种花区的造价为3a2(π2−θ)，种草区的造价为(θ2−12sinθcsθ)2a，
故总造价f(θ)=3a2(π2−θ)+(θ2−12sinθcsθ)2a
=(3π4−θ2−sinθcsθ)a，0<θ<π2.
(2)f′(θ)=(−12−csθcsθ+sinθsinθ)a
=(12−2cs2θ)a
=2a(14−cs2θ)
=2a(12+csθ)(12−csθ)(0<θ<π2) ,
令f′(θ)=0，得到θ=π3 ,
故当θ=π3 时，总造价最小，且总造价最小为(712π−34)a.
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】
（1）分别求出种花区的造价，种草区的造价，即可得到f(θ)关于θ 的函数关系式，
（2）先求导，再根据导数和函数的最值得关系即可求出答案．
【解答】
解：(1)种花区的造价为3a2(π2−θ)，种草区的造价为(θ2−12sinθcsθ)2a，
故总造价f(θ)=3a2(π2−θ)+(θ2−12sinθcsθ)2a
=(3π4−θ2−sinθcsθ)a，0<θ<π2.
(2)f′(θ)=(−12−csθcsθ+sinθsinθ)a
=(12−2cs2θ)a
=2a(14−cs2θ)
=2a(12+csθ)(12−csθ)(0<θ<π2) ,
令f′(θ)=0，得到θ=π3 ,
故当θ=π3 时，总造价最小，且总造价最小为(712π−34)a.θ
(0,π3)
π3
(π3，π2)
f′(θ)
−
0
+
f(θ)
递减
极小值
递增
θ
(0,π3)
π3
(π3，π2)
f′(θ)
−
0
+
f(θ)
递减
极小值
递增