高中数学11.2直线的倾斜角和斜率教学设计

这是一份高中数学11.2直线的倾斜角和斜率教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，课时安排，教学准备，教学过程，作业布置，板书设计等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．在理解直线的倾斜角和斜率概念的基础上，掌握过两点的直线的斜率；公式并牢记斜率公式的特点及适用范围；
2．进一步了解向量作为数学工具在进一步学习数学中的作用；
3．培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的培养；
4．充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，培养学生数形结合的数学思想．
【教学重点】
斜率概念理解与斜率公式
【教学难点】
斜率概念理解与斜率公式
【课时安排】
1课时
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入：
1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°。
倾斜角的取值范围是0°≤＜180°。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示。
3．概念辨析：①当直线和轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0°≤＜180°；③倾斜角是90°的直线没有斜率。
提问：
（1）哪些条件可以确定一条直线？
（2）在平面直角坐标系中，过点P的任何一条直线，对轴的位置有哪些情形？如何刻划它们的相对位置？
（3）给定直线的倾斜角，如何求斜率？
（4）设是直线的倾斜角，为其斜率，则当及时，与之相应的取值范围是什么
（5）判断正误：
①直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
②直线的斜率值为，则它的倾斜角为（ ）
③因为所有直线都有倾斜角，故所以直线都有斜率（ ）
④因为平行于轴的直线的斜率不存在，所以平行于轴的直线的倾斜角不存在 （ ）
二、讲解新课：
4．斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：

推导：设直线的倾斜角是，斜率是，向量的方向是向上的（如上图所示）。向量的坐标是。过原点作向量，则点P的坐标是，而且直线OP的倾斜角也是，根据正切函数的定义，
即
同样，当向量的方向向上时也有同样的结论。
当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率
5．斜率公式的形式特点及适用范围：
①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；
②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；
③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；
④当时，直线的倾斜角＝，没有斜率
6．确定一条直线需要具备几个独立条件：需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等
三、讲解范例：
例1求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。
解：，就是

因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是
点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角。
例2求过下列两点的直线的斜率及倾斜角
①、； 斜率不存在，
②、； ，
③、 ，
点评：结合反三角的知识写出斜率在不同取值范围内所对应的倾斜角表
达式：①当时，；②当时，；
③当时，
例3 若三点，，共线，求的值
解：
拓广：到目前为止共有几种证明三点共线的方法
例4 已知三角形的顶点，，，中点为，当的斜率为1时，求的值及的长
解：点坐标为，

四、课堂练习：
1．若直线过（－2，3）和（6，－5）两点，则直线的斜率为____ ，倾斜角为______。
2．已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为________。
3．已知直线l过A（－2，（t+）2）、B（2，（t－）2）两点，则此直线斜率为______，倾斜角为___ 。
4．已知两点A（x，－2），B（3，0），并且直线AB的斜率为，则x= _______。
5．斜率为2的直线经过（3，5）、（a，7）、（－1，b）三点，则A、B的值是（ ）
A．a=4，b=0 B．a=－4，b=－3 C．a=4，b=－3 D．a=－4，b=3
6．已知两点M（2，－3）、N（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C． ≤k≤4 D．－≤k≤4
7．已知两点A（－3，4）、B（3，2），过点P（2，－1）的直线与线段AB有公共点。
（1）求直线的斜率k的取值范围。
（2）求直线的倾斜角的取值范围。
8．如果直线沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率。
9．过P（－1，2）的直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角
参考答案：
1．－1；135°
2．当1=0时， 2＝0，当0°＜1＜180°时，＝180°－1
3．－1；135° 4．－1 5．C 6．A
7．（1）k≤－1或k≥3
（2）arctan3≤≤ 8．－ 9． 2 ，arctan2
五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率公式，理解斜率公式的推导
【作业布置】
【板书设计】
直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定 义
取值范围