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专题04 线段、角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）
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这是一份专题04 线段、角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版），文件包含专题04线段角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版原卷版docx、专题04线段角的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
专题04 线段、角的轴对称性
考点一、角平分线
1．（2020·无锡惠山金桥实验学校八年级期中）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点
故选C．
2．（2020·江苏淮安区·八年级期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
3．（2019·江苏启东市·八年级期中）为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
【答案】A
【解析】
角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．
又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以应建在三个内角平分线的交点上．
故选A.
4．（2019·扬州市翠岗中学八年级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线。”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．三角形的三条角平分线相交于同一点
【答案】A
【解析】∵两把尺子宽度相等，
∴P到OB的距离和P到OA的距离相等，
根据到角两边的距离相等的点在角平分线上可知，OP平分∠BOA，
故选A.
5．（2020·江苏省无锡市侨谊教育集团八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为__．
【答案】24
【解析】
解：作于，
平分，，，
，
的面积，
故答案为：24．
6．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____．
【答案】2
【解析】
解：作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：2．
7．（2020·江苏新沂市·八年级期中）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
解：如图所示，作，
是的角平分线，，，
，
，
，
的面积为，，，
，
．
故答案为：．
8．（2020·南通西藏民族中学八年级期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝_________．
【答案】6：5：3
【解析】
解：如图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵O为△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，
∴S△ABO：S△BOC：S△AOC=
=（×AB×OD）：（×BC×OE）：（×AC×OF）
=AB：BC：AC
=12：10：6
=6：5：3．
故答案为：6：5：3．
9．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中） 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
考点二、线段垂直平分线
1．（2020·江苏射阳县·）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【解析】
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选A
2．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
【答案】A
【解析】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
3．（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．
A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【解析】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，
故选：B．
4．（2019·江苏宿豫区·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
5．（2019·镇江实验学校八年级期中）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵点P在AC上，
∴PA+PC＝AC，
而PB+PC＝AC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选：C．
6．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为_______．
【答案】11
【解析】
∵的垂直平分线交于点
∴AD=BD
∵
∴
∵，
∴
故答案为：11．
7．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，AB＝AC＝AD，AD∥BC，若∠D＝24°，则∠BAC＝_____度．
【答案】84
【解析】
解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D＝24°，∠B＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝∠D＝24°，
∴∠ACB＝48°，
∴∠B＝48°．
∴∠BAC＝180°-2×48°=84°
故答案为：84．
8．（2019·江苏南京市·八年级期中）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
【答案】见解析
【解析】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
考点三、综合
1．（2021·江苏滨湖区·八年级期中）如图，在中，高AD和BE交于点H，且DH=DC，则∠ABC=________°．
【答案】45
【解析】
解：∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠AEB=90，
∴∠C+∠CAD=90，∠C+∠CBE=90，
∴∠CAD=∠CBE，
在和中
，
∴（AAS），
∴AD=BD，
又∵∠ADB=90，
∴∠DAB=∠DBA=45，
∴∠ABC=45，
故答案为：45．
2．（2019·江苏兴化市·八年级期中）请你先在BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
【答案】见解析
【解析】
解：如图，点P和点Q为所作．
3．（2020·江苏广陵区·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，
（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系 ，并证明你的结论
【答案】（1）15°；（2），理由见解析
【解析】
解：（1），，，
．
是的角平分线，
．
为的外角，
．
是的高，
．
．
（2）由（1）知，
又．
，
．
4．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹，用黑色签字笔加粗加黑）
作的角平分线交于；
过点作垂直于，垂足为，交的延长线于点；
（2）证明：．
【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析
【解析】
解：（1）作法：①以点为圆心、以任意长为半径作弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点．
线段即为所求，如图：
；
过点作垂直于，垂足为，交的延长线于点，如图：
．
（2）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴在和中，
∴
∴
∵由（1）的作图过程可知：、，且是公共边
∴
∴
∴
∴．
1．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为( )
A．40° B．35° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE=∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故选B．
2．（2020·江苏句容市·）如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=AD=2，
∴DP的最小值为2，
∴点D符合题意，
故选：D．
3．（2019·江苏无锡市·新城中学八年级期中）如图，△ABC的两个外角平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AC B．BP平分∠ABC
C．BP平分∠APC D．PA=PC
【答案】B
【解析】
解：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD =PF，
∴点P在∠ABC的平分线上．
∴BP平分∠ABC.
故选：B．
4．（2020·江苏兴化市·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：过点E作于M，于N，于H，如图，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：B．
5．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
如解图，过点作，交于点，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，
∴，这时有最小值，即的长度，
∵，，，
∴．
∵，
∴，即的最小值为．
故答案为．
6．（2020·南通市八一中学八年级期中）如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为_______．
【答案】45°
【解析】
∵S△PBC＝S△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°−45°＝45°；
故答案为：45°．
7．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为_________°.
【答案】40
【解析】
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图：
∵∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝70°，
∴∠MAN＝110°−70°＝40°，
故答案为40．
8．（2019·无锡中山高级中学八年级期中）如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°,BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在点C'的位置上.则B C'=_____________.
【答案】2
【解析】
∵把△ADC沿AD对折,点C落在点C′，
∴△ACD≌△AC′D，
∴∠ADC=∠ADC′=60°,DC=DC′.
∴∠CDC′=120°.
∴∠BDC′=60°.
又∵AD为△ABC的中线，BC=4，
∴BD=CD=BC=2，
∴BD=DC′=2,即三角形BDC′为等边三角形.
∴C'B=2.
9．（2020·江苏海安市·八年级期中）如图，在中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是_ _
【答案】10
【解析】
解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
∴，
设的面积为S，则，
为的中点，
，
∵的面积比的面积大1，
∴的面积比的面积大1，
∴SS＝1，
,
∴S＝10，
故答案为：10．
10．（2020·南京外国语学校八年级期中）如图，中，DE⊥AB，垂足为点E．DF⊥AC，垂足为点F，AD平分∠BAC，则下列结论中正确的有_____．
①DE＝DF；②AD⊥BC；③AE＝AF；④∠EDA＝∠FDA；⑤∠B＝∠C；⑥BD＝CD．
【答案】①③④
【解析】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△AED和△RtAFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，AE＝AF，故③④正确；
要想证得②⑤⑥那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．
∴只有①③④是正确的．
故答案为：①③④．
11．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是_____．
【答案】33
【解析】
解：如图，连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△BOC+S△AOB+S△AOC
=
=
=×22×3=33．
故答案为：33．
12．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，在中，分别以为圆心，为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是__________．
【答案】10.5
【解析】
根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
13．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）请利用直尺完成下列问题
（1）如图（1）示，利用网格画图：
①在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）如图（2）已知在ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中点，在BC上一点E，利用尺规作图作出直线DE，使直线DE平分ABC周长（保留作图痕迹）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）①如图（1）所示，点P即为所求作的点；
②如图（1）所示，点Q即为所求作的点；
（2）如图所示：直线DE即为所作的直线．
14．（2019·镇江实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
【答案】（1）S＝12﹣2t；（2）1.5
【解析】
解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）如图3，
∵QP的垂直平分线过A，
∴AP＝AQ，
∴3﹣t＝t，解得t＝1.5；
或t﹣3＝t，显然不成立；
∴AP＝AQ＝1.5．
15．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析．
【解析】
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积为：×3×2＝3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
16．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为5．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13，求OA的长．
【答案】（1）相等 （2）5 （3）4
【解析】
解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：相等；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为5，
∴AD+DE+AE=5，
∴BD+DE+EC=5，即BC=5；
（3）l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为13，BC=5，
∴OB+OC=8，
∴OA=OB=OC=4．
17．（2020·江苏常熟市·八年级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积．
【答案】（1）40º；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）∵EF⊥AB，且∠AEF=50°，
∴，
∵∠BAD=100°，
∴；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵，EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF= EG；
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF= EH；
∴EG= EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）∵，
∵EG= EH，AD=4，CD=8，
∴EG= EH=，
∴EF= EH=，
∴．
18．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）．
（1）若点与点重合，则_______，_______；
（2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为_________．
（3）在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1），8；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
（1）若点D与点A重合，
则∠COA＝45°，OA＝OC＝8．
故答案为：45°，8．
（2）如图：延长ED、OA，交于点F．
∵∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠AOC＋∠BCO＝180°，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠DAF．
在△BDE和△ADF中，
，
∴（ASA），
∴DE＝DF．
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OE＝OF，
∴根据等腰三角形的性质可得∠EOD＝∠FOD．
由折叠可得∠FOD＝∠EOC＝，
∴∠COA＝3＝90°，
∴＝30°．
故答案为：；
（3）由（2）得是的线段垂直平分线，
∴，BE=AF
∵，
∴．
19．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）将边长为4的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE，点O为其交点．
（1）判断AO与OB的数量关系，并说明理由
（2）如图②，若P，N分别为BE，EC上的动点，请在图中找出使NP+PD最小值的点P和点N位置
（3）如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN+NP+PD的最小值
【答案】（1）证明见解析；（2）点N为BD的中点；（3）．
【解析】
(1)结论为：AO=OB，
由折叠知AD为对称轴，∠BAD=∠CAD=30º，
同理由∠ABE=∠CBE=30º，
∴∠ABE =∠BAD即∠ABO=∠BAO，
∴OA=OB；
(2)过N作NP关于BE的对称点N1P，NP+PD最短时，D、P、N1三点在一线，且DN1⊥AB时最短，
∵DB=2，∠ABC=60º，
∴BN=BD=1，NB=N1B=1，
∴点N为BD的中点；
(3)作对称轴BE关于AB的对称线段BE1，点Q关于AB的对称点Q1在AE1上，
当Q1、N1、P、D四点在一线时QN+NP+PD=Q1N1+N1P+PD=Q1D=Q1N1+N1P+PD=Q1D最短，
此时BQ1=BQ=1，BD=2，∠E1BA=∠EBA=∠CBE=30º，即∠E1BC=90º，
在Rt△Q1BD中，由勾股定理的Q1B=．
专题04 线段、角的轴对称性
考点一、角平分线
1．（2020·无锡惠山金桥实验学校八年级期中）三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解析】
解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点
故选C．
2．（2020·江苏淮安区·八年级期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
3．（2019·江苏启东市·八年级期中）为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
【答案】A
【解析】
角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．
又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以应建在三个内角平分线的交点上．
故选A.
4．（2019·扬州市翠岗中学八年级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线。”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．三角形的三条角平分线相交于同一点
【答案】A
【解析】∵两把尺子宽度相等，
∴P到OB的距离和P到OA的距离相等，
根据到角两边的距离相等的点在角平分线上可知，OP平分∠BOA，
故选A.
5．（2020·江苏省无锡市侨谊教育集团八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则△ABD的面积为__．
【答案】24
【解析】
解：作于，
平分，，，
，
的面积，
故答案为：24．
6．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____．
【答案】2
【解析】
解：作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：2．
7．（2020·江苏新沂市·八年级期中）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
解：如图所示，作，
是的角平分线，，，
，
，
，
的面积为，，，
，
．
故答案为：．
8．（2020·南通西藏民族中学八年级期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝_________．
【答案】6：5：3
【解析】
解：如图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵O为△ABC三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为12，10，6，
∴S△ABO：S△BOC：S△AOC=
=（×AB×OD）：（×BC×OE）：（×AC×OF）
=AB：BC：AC
=12：10：6
=6：5：3．
故答案为：6：5：3．
9．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中） 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
考点二、线段垂直平分线
1．（2020·江苏射阳县·）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【解析】
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选A
2．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）．
A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线
【答案】A
【解析】
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
3．（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．
A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
【答案】B
【解析】
解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，
故选：B．
4．（2019·江苏宿豫区·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+CE+BE＝18，
则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，
∴AC＝10，
故选：B．
5．（2019·镇江实验学校八年级期中）如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：∵点P在AC上，
∴PA+PC＝AC，
而PB+PC＝AC，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．
故选：C．
6．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为_______．
【答案】11
【解析】
∵的垂直平分线交于点
∴AD=BD
∵
∴
∵，
∴
故答案为：11．
7．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，AB＝AC＝AD，AD∥BC，若∠D＝24°，则∠BAC＝_____度．
【答案】84
【解析】
解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D＝24°，∠B＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝∠D＝24°，
∴∠ACB＝48°，
∴∠B＝48°．
∴∠BAC＝180°-2×48°=84°
故答案为：84．
8．（2019·江苏南京市·八年级期中）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
【答案】见解析
【解析】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
考点三、综合
1．（2021·江苏滨湖区·八年级期中）如图，在中，高AD和BE交于点H，且DH=DC，则∠ABC=________°．
【答案】45
【解析】
解：∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC=∠AEB=90，
∴∠C+∠CAD=90，∠C+∠CBE=90，
∴∠CAD=∠CBE，
在和中
，
∴（AAS），
∴AD=BD，
又∵∠ADB=90，
∴∠DAB=∠DBA=45，
∴∠ABC=45，
故答案为：45．
2．（2019·江苏兴化市·八年级期中）请你先在BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
【答案】见解析
【解析】
解：如图，点P和点Q为所作．
3．（2020·江苏广陵区·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，
（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系 ，并证明你的结论
【答案】（1）15°；（2），理由见解析
【解析】
解：（1），，，
．
是的角平分线，
．
为的外角，
．
是的高，
．
．
（2）由（1）知，
又．
，
．
4．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图，已知，，．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹，用黑色签字笔加粗加黑）
作的角平分线交于；
过点作垂直于，垂足为，交的延长线于点；
（2）证明：．
【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析
【解析】
解：（1）作法：①以点为圆心、以任意长为半径作弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点．
线段即为所求，如图：
；
过点作垂直于，垂足为，交的延长线于点，如图：
．
（2）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴在和中，
∴
∴
∵由（1）的作图过程可知：、，且是公共边
∴
∴
∴
∴．
1．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为( )
A．40° B．35° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B'AE，
∴∠CAE=∠BAD=55°，
又∵∠AEC=90°，
∴∠ACB=∠ACB'=35°，
故选B．
2．（2020·江苏句容市·）如图，四边形中，，，连接，，垂足是且，点是边上的一动点，则的值可能是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】
解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=AD=2，
∴DP的最小值为2，
∴点D符合题意，
故选：D．
3．（2019·江苏无锡市·新城中学八年级期中）如图，△ABC的两个外角平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AC B．BP平分∠ABC
C．BP平分∠APC D．PA=PC
【答案】B
【解析】
解：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
∵AP平分∠DAE，CP平分∠ACF，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD =PF，
∴点P在∠ABC的平分线上．
∴BP平分∠ABC.
故选：B．
4．（2020·江苏兴化市·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：过点E作于M，于N，于H，如图，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：B．
5．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图，在中，，，，AD是的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
如解图，过点作，交于点，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，
∴，这时有最小值，即的长度，
∵，，，
∴．
∵，
∴，即的最小值为．
故答案为．
6．（2020·南通市八一中学八年级期中）如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为_______．
【答案】45°
【解析】
∵S△PBC＝S△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°−45°＝45°；
故答案为：45°．
7．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为_________°.
【答案】40
【解析】
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图：
∵∠DAB＝110°，
∴∠HAA′＝70°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″，
∴∠MAB＋∠NAD＝70°，
∴∠MAN＝110°−70°＝40°，
故答案为40．
8．（2019·无锡中山高级中学八年级期中）如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°,BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在点C'的位置上.则B C'=_____________.
【答案】2
【解析】
∵把△ADC沿AD对折,点C落在点C′，
∴△ACD≌△AC′D，
∴∠ADC=∠ADC′=60°,DC=DC′.
∴∠CDC′=120°.
∴∠BDC′=60°.
又∵AD为△ABC的中线，BC=4，
∴BD=CD=BC=2，
∴BD=DC′=2,即三角形BDC′为等边三角形.
∴C'B=2.
9．（2020·江苏海安市·八年级期中）如图，在中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：3，AD与BE相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是_ _
【答案】10
【解析】
解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM＝DN，
∴，
设的面积为S，则，
为的中点，
，
∵的面积比的面积大1，
∴的面积比的面积大1，
∴SS＝1，
,
∴S＝10，
故答案为：10．
10．（2020·南京外国语学校八年级期中）如图，中，DE⊥AB，垂足为点E．DF⊥AC，垂足为点F，AD平分∠BAC，则下列结论中正确的有_____．
①DE＝DF；②AD⊥BC；③AE＝AF；④∠EDA＝∠FDA；⑤∠B＝∠C；⑥BD＝CD．
【答案】①③④
【解析】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△AED和△RtAFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，AE＝AF，故③④正确；
要想证得②⑤⑥那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．
∴只有①③④是正确的．
故答案为：①③④．
11．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是_____．
【答案】33
【解析】
解：如图，连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△BOC+S△AOB+S△AOC
=
=
=×22×3=33．
故答案为：33．
12．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，在中，分别以为圆心，为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是__________．
【答案】10.5
【解析】
根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
13．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）请利用直尺完成下列问题
（1）如图（1）示，利用网格画图：
①在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；
②在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）如图（2）已知在ABC中，AB＜AC＜BC，D是AC中点，在BC上一点E，利用尺规作图作出直线DE，使直线DE平分ABC周长（保留作图痕迹）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）①如图（1）所示，点P即为所求作的点；
②如图（1）所示，点Q即为所求作的点；
（2）如图所示：直线DE即为所作的直线．
14．（2019·镇江实验学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．
（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
【答案】（1）S＝12﹣2t；（2）1.5
【解析】
解：（1）如图1，当0＜t≤3时，
BQ＝t，BC＝4，
∴S＝×4×t＝2t；
如图2，当3＜t≤5时，
，
AQ＝t﹣3，
则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；
（2）如图3，
∵QP的垂直平分线过A，
∴AP＝AQ，
∴3﹣t＝t，解得t＝1.5；
或t﹣3＝t，显然不成立；
∴AP＝AQ＝1.5．
15．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析．
【解析】
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积为：×3×2＝3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
16．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为5．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13，求OA的长．
【答案】（1）相等 （2）5 （3）4
【解析】
解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：相等；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为5，
∴AD+DE+AE=5，
∴BD+DE+EC=5，即BC=5；
（3）l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为13，BC=5，
∴OB+OC=8，
∴OA=OB=OC=4．
17．（2020·江苏常熟市·八年级期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积．
【答案】（1）40º；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）∵EF⊥AB，且∠AEF=50°，
∴，
∵∠BAD=100°，
∴；
（2）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵，EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF= EG；
∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF= EH；
∴EG= EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）∵，
∵EG= EH，AD=4，CD=8，
∴EG= EH=，
∴EF= EH=，
∴．
18．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）．
（1）若点与点重合，则_______，_______；
（2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为_________．
（3）在（2）的条件下，求证：．
【答案】（1），8；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
（1）若点D与点A重合，
则∠COA＝45°，OA＝OC＝8．
故答案为：45°，8．
（2）如图：延长ED、OA，交于点F．
∵∠AOC＝∠BCO＝90°，
∴∠AOC＋∠BCO＝180°，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠DAF．
在△BDE和△ADF中，
，
∴（ASA），
∴DE＝DF．
∵∠ODE＝∠OCE＝90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OE＝OF，
∴根据等腰三角形的性质可得∠EOD＝∠FOD．
由折叠可得∠FOD＝∠EOC＝，
∴∠COA＝3＝90°，
∴＝30°．
故答案为：；
（3）由（2）得是的线段垂直平分线，
∴，BE=AF
∵，
∴．
19．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）将边长为4的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE，点O为其交点．
（1）判断AO与OB的数量关系，并说明理由
（2）如图②，若P，N分别为BE，EC上的动点，请在图中找出使NP+PD最小值的点P和点N位置
（3）如图③，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN+NP+PD的最小值
【答案】（1）证明见解析；（2）点N为BD的中点；（3）．
【解析】
(1)结论为：AO=OB，
由折叠知AD为对称轴，∠BAD=∠CAD=30º，
同理由∠ABE=∠CBE=30º，
∴∠ABE =∠BAD即∠ABO=∠BAO，
∴OA=OB；
(2)过N作NP关于BE的对称点N1P，NP+PD最短时，D、P、N1三点在一线，且DN1⊥AB时最短，
∵DB=2，∠ABC=60º，
∴BN=BD=1，NB=N1B=1，
∴点N为BD的中点；
(3)作对称轴BE关于AB的对称线段BE1，点Q关于AB的对称点Q1在AE1上，
当Q1、N1、P、D四点在一线时QN+NP+PD=Q1N1+N1P+PD=Q1D=Q1N1+N1P+PD=Q1D最短，
此时BQ1=BQ=1，BD=2，∠E1BA=∠EBA=∠CBE=30º，即∠E1BC=90º，
在Rt△Q1BD中，由勾股定理的Q1B=．
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