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专题06 勾股定理八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）
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这是一份专题06 勾股定理八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版），文件包含专题06勾股定理八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版原卷版docx、专题06勾股定理八年级数学上学期期中考试好题汇编苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
A．B．C．D．
1．（2019·江苏东台市·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，，B．1，，C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13
2．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．4B．3C．2D．1.5
3．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定
4．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学）在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
5．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2．若S1＝2，S2＝5，则BC＝____________．
6．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为_____．
7．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的额，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是____
8．（2019·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，以△ABC的三边向三角形外作等边三角形，其中S1=S2=6,S3=12，则图中三角形ABC为________三角形.
考点三、勾股定理的运用
1．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图，正方形网格中 ，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，在数轴上以-1表示的点为圆心，以直角三角形的斜边为半径作出一条圆弧（虚线），该圆弧与数轴交于点A，点A所表示的数为m，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，在中，，.将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长是( )
A．4B．3C．6D．5
4．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A．B．0.8C．D．
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的点，若AE=2，求ME+MC的最小值（ ）
A．B．2C．4D．
6．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB长度为_____．
7．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其腰上的高为 _________．
8．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝_____．
9．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）已知是等边三角形，若其高等于，则它的面积为 __________ ．
10．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了9 km，乙往南走了12 km，这时两人相距_______km．
11．（2020·江苏南京市·八年级期中）一个直角三角形的两边长分别是和，则第三边长的平方为_______．
12．（2020·南通市新桥中学八年级期中）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
考点四、证明等综合解答
1．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在中，，垂足为点，，，．
（1）求的长；
（2）求的长．
2．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
3．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4．
（1）求∠ABC的度数．
（2）求CE的长．
4．（2020·江苏滨海县·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22，；
OA32，；
OA42，…
（1）（直接写出答案）OA10＝ ，并用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2＝ ；Sn＝ ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
6．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
7．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形．
(1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c；
(3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形．
1．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·江苏铜山区·八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．9.5B．9C．7.5D．7
3．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AD，D与AB交于点E，连结B，若BD＝B＝2，AD＝3，则点D到A的距离( )
A．B．C．D．
4（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC= ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3 上，且 l2、l3之间的距离为 2，则 l1、l2 之间的距离为______.
5．（2020·连云港外国语学校八年级期中）如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．
6．（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C落在斜边上的点 C′处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC′的延长线上的点 A′处．若图中∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，则 DC′的长为_____.
7．（2019·江苏常熟市·八年级期中）如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______．
8．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为__________.
9．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24．点E为DC上的一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为_____．
C
10．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为_____．
11．（2020·扬州市梅岭中学）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．
12．（2021·江苏鼓楼区·八年级期中）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______．
13．（2021·江苏江阴市·八年级期中）如图所示，直线，垂足为点O，A、 B是直线上的两点，且OB＝，AB＝ 1，直线绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为．当 ＝ ________ 时，直线上仅存在一点P，使得△BPA是以为顶角的等腰三角形，此时 OP＝ _________ ．
14．（2019·江苏淮安区·八年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝ °；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．
①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；
②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为 ．
15．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出，使与关于直线AC对称（点E与点B是对称点）；
（2）直接填出结果：
①AB＝ ；
②与四边形ABCD重叠部分的面积为 ．
16．（2019·江苏兴化市·八年级期中）（知识背景）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股，弦；
当勾为5时，股，弦；
当勾为7时，股，弦．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股 ，弦 ．
（问题解决）
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果，，为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少．
17．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为 °；
②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AE＝30，DE＝14，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
18．（2021·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
（问题情境）
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
（探索新知）
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（初步运用）
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
（迁移运用）
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
19．（2020·江苏海安市·八年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形” 是 命题．(填写“真命题、假命题”)
（2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ．
（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：ΔACE是“奇异三角形”；
②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长．
20．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
A．B．C．D．
1．（2019·江苏东台市·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，，B．1，，C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13
2．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．4B．3C．2D．1.5
3．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定
4．（2019·江苏鼓楼区·南京市第二十九中学）在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2-S3-S4＝_________．
5．（2019·江苏泰州市·泰州中学附属初中八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2．若S1＝2，S2＝5，则BC＝____________．
6．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为_____．
7．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的额，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是____
8．（2019·泰兴市洋思中学八年级期中）如图，以△ABC的三边向三角形外作等边三角形，其中S1=S2=6,S3=12，则图中三角形ABC为________三角形.
考点三、勾股定理的运用
1．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图，正方形网格中 ，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，在数轴上以-1表示的点为圆心，以直角三角形的斜边为半径作出一条圆弧（虚线），该圆弧与数轴交于点A，点A所表示的数为m，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，在中，，.将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长是( )
A．4B．3C．6D．5
4．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学八年级期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A．B．0.8C．D．
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的点，若AE=2，求ME+MC的最小值（ ）
A．B．2C．4D．
6．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB长度为_____．
7．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其腰上的高为 _________．
8．（2020·江苏宿迁市·八年级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝_____．
9．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）已知是等边三角形，若其高等于，则它的面积为 __________ ．
10．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了9 km，乙往南走了12 km，这时两人相距_______km．
11．（2020·江苏南京市·八年级期中）一个直角三角形的两边长分别是和，则第三边长的平方为_______．
12．（2020·南通市新桥中学八年级期中）如图，△ABC中AB=AC，∠C=30°，现将△ABC折叠，使得点B与点A重合，若折痕DE=1，则BC的长为_____．
考点四、证明等综合解答
1．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在中，，垂足为点，，，．
（1）求的长；
（2）求的长．
2．（2019·涟水县郑梁梅中学八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
3．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4．
（1）求∠ABC的度数．
（2）求CE的长．
4．（2020·江苏滨海县·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22，；
OA32，；
OA42，…
（1）（直接写出答案）OA10＝ ，并用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2＝ ；Sn＝ ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
5．（2020·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
6．（2019·江苏阜宁县·八年级期中）如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，分别是、边上的点，且.
（1）证明：；
（2）证明：.
7．（2020·泰兴市济川初级中学八年级期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形．
(1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c；
(3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形．
1．（2020·江苏江都区·八年级期中）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·江苏铜山区·八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A．9.5B．9C．7.5D．7
3．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，连结AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AD，D与AB交于点E，连结B，若BD＝B＝2，AD＝3，则点D到A的距离( )
A．B．C．D．
4（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC= ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3 上，且 l2、l3之间的距离为 2，则 l1、l2 之间的距离为______.
5．（2020·连云港外国语学校八年级期中）如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．
6．（2019·江苏徐州市·八年级期中）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C落在斜边上的点 C′处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC′的延长线上的点 A′处．若图中∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，则 DC′的长为_____.
7．（2019·江苏常熟市·八年级期中）如图，在中，，，点与数轴上表示1的点重合，点与数轴上表示2的点重合，以为圆心，长为半径画圆弧，与数轴交于点，则点所表示的数是______．
8．（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE=45°，，则的面积为__________.
9．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24．点E为DC上的一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为_____．
C
10．（2019·江苏淮阴区·八年级期中）如图，螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成的，其序号依次为①②③④⑤…，若第1个等腰直角三角形的直角边为1，则第2020个等腰直角三角形的面积为_____．
11．（2020·扬州市梅岭中学）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．
12．（2021·江苏鼓楼区·八年级期中）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______．
13．（2021·江苏江阴市·八年级期中）如图所示，直线，垂足为点O，A、 B是直线上的两点，且OB＝，AB＝ 1，直线绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为．当 ＝ ________ 时，直线上仅存在一点P，使得△BPA是以为顶角的等腰三角形，此时 OP＝ _________ ．
14．（2019·江苏淮安区·八年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝ °；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．
①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；
②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为 ．
15．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出，使与关于直线AC对称（点E与点B是对称点）；
（2）直接填出结果：
①AB＝ ；
②与四边形ABCD重叠部分的面积为 ．
16．（2019·江苏兴化市·八年级期中）（知识背景）我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
当勾为3时，股，弦；
当勾为5时，股，弦；
当勾为7时，股，弦．
请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股 ，弦 ．
（问题解决）
（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果，，为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；
（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少．
17．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为 °；
②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AE＝30，DE＝14，求AB的长度．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
18．（2021·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：
（问题情境）
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
（探索新知）
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
（初步运用）
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．
（迁移运用）
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
19．（2020·江苏海安市·八年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形” 是 命题．(填写“真命题、假命题”)
（2）在RtΔABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC 是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ．
（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：ΔACE是“奇异三角形”；
②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长．
20．（2019·无锡市钱桥中学八年级期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
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