人教B版 (2019)6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系随堂练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
A [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＝10，,S3＝3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝10，,3a1＋\f(3×2,2)×d＝3，))解得a1＝－2，d＝3．]
2．eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．eq \f(1,2)
C [设x为eq \r(2)＋1与eq \r(2)－1的等比中项，则x2＝(eq \r(2)＋1)(eq \r(2)－1)＝1，∴x＝±1．]
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．2 D．3
D [由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3．]
4．曲线f(x)＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
D [∵f′(x)＝4－3x2，∴f′(－1)＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2．]
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a4－a2＝3，则S11＝( )
A．30 B．33 C．36 D．66
B [∵a2＋a6＝2a4，∴2a4－a2＝a6＝3，
因此，S11＝eq \f(11(a1＋a11),2)＝eq \f(11×2a6,2)＝11a6＝11×3＝33．故选B．]
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－eq \r(3,2)B．－eq \r(3,2)
C．eq \r(3,2)D．1
B [在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，
因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，
即a4(q3＋1)＝2×eq \f(a4,q3)，所以q6＋q3－2＝0，解得q3＝1(舍)或q3＝－2．所以q＝－eq \r(3,2)．]
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cs x
C．f(x)＝sin x－xD．f(x)＝eq \f(1,x)
B [对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cs x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cs x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝eq \f(1,x)在x＝0处没有定义，所以x＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B．]
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq \f(3,2)(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
C [由Sn＝eq \f(3,2)(an－1)(n∈N*)可得Sn－1＝eq \f(3,2)(an－1－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减可得an＝eq \f(3,2)an－eq \f(3,2)an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．又a1＝S1＝eq \f(3,2)(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若直线y＝eq \f(1,2)x＋b是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是( )
A．f(x)＝eq \f(1,x)B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex
BCD [直线y＝eq \f(1,2)x＋b的斜率为k＝eq \f(1,2)，
由f(x)＝eq \f(1,x)的导数为f′(x)＝－eq \f(1,x2)，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，而4x3＝eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(1,2)，故B正确；
由f(x)＝sin x的导数为f′(x)＝cs x，而cs x＝eq \f(1,2)有解，故C正确；
由f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，而ex＝eq \f(1,2)，解得x＝－ln 2，故D正确，
故选BCD．]
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0B．S4＝S3
C．S7＝0D．{an}是递减数列
ABC [设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a1，得3a1＋3d＝2a1，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，S4＝S3，S7＝7a1＋21d＝7(a1＋3d)＝0，故选ABC．]
11．已知函数f(x)＝x＋2tan x，其导函数为f′(x)，设g(x)＝f′(x)cs x，则( )
A．f(x)的图像关于原点对称
B．f(x)在R上单调递增
C．2π是g(x)的一个周期
D．g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为2eq \r(2)
AC [f(x)＝x＋2tan x的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且f(－x)＝－x＋2tan(－x)＝－x－2tan x＝－(x＋2tan x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，故A项正确；
由f(x)＝x＋2tan x，得f′(x)＝1＋eq \f(2,cs2x)，则g(x)＝f′(x)cs x＝cs x＋eq \f(2,cs x)．
f′(x)＝1＋eq \f(2,cs2 x)>0恒成立，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；
由g(x)＝cs x＋eq \f(2,cs x)，得函数g(x)的定义域是，
g(x＋2π)＝cs(x＋2π)＋eq \f(2,cs(x＋2π))＝cs x＋eq \f(2,cs x)＝g(x)，故C项正确；
设t＝cs x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，t∈(0，1)，
此时h(t)＝g(x)＝t＋eq \f(2,t)，t∈(0，1)，根据对勾函数的单调性，h(t)在(0，1)上单调递减，∴g(x)>h(1)＝3，故D项错误，故选AC．]
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin x; ②y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))；③y＝ex－1；④y＝x2．
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．① B．② C．③ D．④
AC [对于①，注意到y＝sin x的值域是[－1，1]；当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sin x＝±1时，x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sin x仅过唯一的整点(0，0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图像经过多个整点，如点(0，0)，(1，1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选AC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知正项递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a7＝20，a4·a7＝64，则eq \f(S6,S9)＝__________．
eq \f(5,21) [设正项递增等比数列{an}的公比为q，且q>1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a7＝20,a4·a7＝64)) ，且a7>a4，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝4,a7＝16)) ，
因为a7＝a4q3，即16＝4q3，解得q3＝4，
所以eq \f(S6,S9)＝eq \f(\f(a1(1－q6),1－q),\f(a1(1－q9),1－q))＝eq \f(1－q6,1－q9)＝eq \f(1－42,1－43)＝eq \f(－15,－63)＝eq \f(5,21)．]
14．已知f(x)＝x(2 020＋ln x)，f′(x0)＝2 021，则x0＝________．
1 [f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，
又∵f′(x0)＝2 021，
∴f′(x0)＝2 021＋ln x0＝2 021，则ln x0＝0，x0＝1．]
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________．
10 [观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10．]
16．函数f(x)＝sin 2x在原点(0，0)处的切线方程为__________，请你举出与函数f(x)＝sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数是__________．(本题第1空2分，第2空3分)
y＝2x y＝x2＋2x(答案不唯一) [由f(x)＝sin 2x得f′(x)＝2cs 2x，
所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线斜率为k＝f′(0)＝2，
所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线方程为：y＝2x．
与函数f(x)＝sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数，则函数在原点(0，0)处的导数值为2的函数即可．
y＝x2＋2x，y′＝2x＋2，所以函数在原点(0，0)处的切线方程为：y＝2x．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4＋a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，__________，若数列{bn}满足bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解] (1)选择①，设公差为d，
由S8＝72，a3＝6得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8a1＋28d＝72,a1＋2d＝6)) ，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2,d＝2))，所以an＝2n，
又因为bn＝2an，所以bn＝22n＝4n，所以数列{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝41＋42＋…4n＝eq \f(4(1－4n),1－4)＝eq \f(4,3)(4n－1)．
(2)选择②，设公差为d，因为S5＝6a2，所以可得5a3＝6a2，
又因为a3＝6，所以a2＝5，所以d＝1，所以an＝n＋3．
又因为bn＝2an，所以bn＝2n＋3＝8×2n，
所以数列{bn}是以16为首项，2为公比的等比数列，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝8(21＋22＋…＋2n)＝8×eq \f(2(1－2n),1－2)＝16(2n－1)．
(3)选择③，设公差为d，
因为S6＝S4＋a5，可得S6－S4＝a5，即a6＋a5＝a5，所以a6＝0，
又因为a3＝6，所以d＝－2．所以an＝－2n＋12．
又因为bn＝2an，所以bn＝2－2n＋12＝212×2－2n，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝212×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－1＋4－2＋…＋4－n))＝212×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋\f(1,42)＋…＋\f(1,4n)))＝212×eq \f(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n))),1－\f(1,4))＝eq \f(212,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n)))．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq \f(a2,3)x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3．
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意得f′(0)＝b＝3．∴b＝3．
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3．
①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1．
19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6，Sn＝eq \f(1,2)an＋1＋1．
(1)证明：数列{Sn－1}为等比数列，并求出Sn；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Tn．
[解] (1)证明：由已知Sn＝eq \f(1,2)(Sn＋1－Sn)＋1，整理得Sn＋1＝3Sn－2，
所以Sn＋1－1＝3(Sn－1)，令n＝1，得S1＝eq \f(1,2)a2＋1＝4，所以S1－1＝3，
所以{Sn－1}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以Sn－1＝(S1－1)×3n－1＝3n，所以Sn＝3n＋1．
(2)由(1)知，Sn＝3n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3n－1＋1))＝2×3n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝4，
所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2×3n－1，n≥2，)) 所以eq \f(1,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1)，n≥2，))
所以Tn＝eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,an)＝eq \f(1,4)＋eq \f(\f(1,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3n－1))),1－\f(1,3))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4×3n－1)．
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1．
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝eq \f(6,x＋1)－2，令S′(x)＝0，得x＝2．
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足a3＝4，a5＝6，数列{lg2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列．
(1)求an和bn；
(2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2d＝a5－a3＝6－4＝2，∴d＝1，∴a1＝2，
∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
∵数列{lg2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列，
∴lg2bn＝1＋(n－1)×1＝n，即bn＝2n．
(2)由(1)得cn＝(n＋1)·2n，
∴Tn＝2·21＋3·22＋4·23＋…＋(n＋1)·2n，①
2Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②
①－②得－Tn＝2·21＋22＋23＋24＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1
＝2＋eq \f(2(1－2n),1－2)－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，∴Tn＝n·2n＋1．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1．
(1)当a＝－eq \r(2)时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－eq \r(2)时，f(x)＝x3－3eq \r(2)x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6eq \r(2)x＋3．
令f′(x)＝0，得x1＝eq \r(2)－1，x2＝eq \r(2)＋1．
当x∈(－∞，eq \r(2)－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，eq \r(2)－1)上是增函数；
当x∈(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)上是减函数；
当x∈(eq \r(2)＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(eq \r(2)＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－eq \f(5,4)．
当a≥－eq \f(5,4)，x∈[2，＋∞)时， f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(5,2)x＋1))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))·(x－2)>0，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0．
综上，a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，＋∞))．
x
(－∞，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
x
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
eq \f(1,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗