北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试综合训练题

这是一份北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试综合训练题，共14页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的有，方程，根据下列表格对应值，已知3是关于x的方程x2﹣，已知a、b、c为常数，点P等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程 复习测试
一．选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）
①2x2﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3；④2x2﹣＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣1，2 D．﹣2，1
3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
4．若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
5．根据下列表格对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.01
0.03
0.45
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27
6．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
7．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8＝0的两个根，则m2+7m﹣mn+2n＝（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
10．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是(　　)
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
11．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)
A．7 B．11 C．12 D．16
二．填空题
13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　 　．
14．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝　 　．
15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为　 　．
16．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0，若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值是　 　．
17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根，且x12+x22＝4k2，则k的值是 　　．
18．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
三．解答题
19．用指定的方法解下列方程：
（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9（分解因式法） （2）3x2+8x﹣3＝0（配方法）



（3）4x2+1＝4x（公式法） （4）（x+8）（x+1）＝﹣12（用适当方法解）



20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．





21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1x2，求k的值．





22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．





23．某地区2021年有绿地面积57.5公顷，该地区近几年准备不断增加绿地面积，预计2023年达到82.8公顷．
（1）求该地区2021至2023年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2024年该地区绿地面积能否达到100公顷？





24．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？






25．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，
（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？




北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程 复习测试答案提示
一．选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的有（　　）选：A．
①2x2﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3；④2x2﹣＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣1，2 D．﹣2，1
选：C．
3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
选：B．
4．若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有一根为﹣1，则方程的另一根为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
选：D．
5．根据下列表格对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.01
0.03
0.45
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．3.23＜x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.26＜x＜3.27
选：B．
6．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
选：D．
7．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
选：B．
8．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8＝0的两个根，则m2+7m﹣mn+2n＝（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6
选：D．
9．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）选A．
A．且 B． C．且 D．
10．已知一元二次方程的两个根分别是x＝2和x＝－3，则这个一元二次方程是(　　)选D.
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋2x－3＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－6＝0
11．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
解：x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入，，故A正确；
∵ac＜0，∴b2﹣4ac＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
∵ax2﹣2x+c＝0无解，∴4﹣ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4﹣ac＜0，∴它的倒方程也无解，故C正确；
若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误
故选：D．
12．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　)
A．7 B．11 C．12 D．16
解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，∴m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，
∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.
∵方程有两个实数根，∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，∴t≥2，∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.故选D.
二．填空题
13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　60（1+x）2＝100　．
14．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝　﹣2　．
15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长为　12　．
16．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0，若两实数根x1，x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，则m的值是　1　．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两根，
∴x1+x2＝2m+2，x1•x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴m2+2+2m+2+1＝8，
∴m1＝﹣3，m2＝1，
当m＝﹣3时，方程x2+2x+6＝0没有实数根，
即m的值为1．
故答案是：1．
17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根，且x12+x22＝4k2，则k的值是 　　．
解：∵一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×k≥0，
解得：k≤．
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根，
∴x1+x2＝1，x1•x2＝k．
又∵x12+x22＝4k2，即（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4k2，
∴12﹣2k＝4k2，
整理得：4k2+2k﹣1＝0
解得：k1＝（不合题意，舍去），k2＝．
故答案为：．
18．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　x（x﹣1）＝21　．
三．解答题
19．用指定的方法解下列方程：
（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9（分解因式法）
（2）3x2+8x﹣3＝0（配方法）
（3）4x2+1＝4x（公式法）
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12（用适当方法解）
解：（1）移项可得2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
分解因式可得2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，整理可得（x﹣3）（x﹣9）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，
∴x1＝3，x2＝9；
（2）移项可得3x2+8x＝3，
两边同除以3可得x2+x＝1，
配方可得x2+x+（）2＝1+（）2，
∴（x+）2＝，
两边开方可得x+＝，
∴x＝±，
∴x1＝3，x2＝﹣；
（3）移项可得4x2﹣4x+1＝0，
∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
∴x1＝x2＝﹣＝；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12原方程可变形为x2+9x+20＝0，
分解因式可得（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（1）解：将x＝1代入原方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得：a＝，
∴方程的另一根为﹣a﹣1＝﹣﹣1＝﹣．
答：a的值为，方程的另一根为﹣．
（2）证明：Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1x2，求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，
解得：k＞．
∴实数k的取值范围为k＞．
（2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1•x2＝k2+1，
∵x1+x2＝﹣x1•x2，
∴2k+1＝k2+1，
解得：k＝0或k＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
23．某地区2021年有绿地面积57.5公顷，该地区准备近几年不断增加绿地面积，预计2023年达到82.8公顷．
（1）求该地区2021至2023年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2024年该地区绿地面积能否达到100公顷？
解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2＝82.8　　　　
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）＝99.36公顷，
答：2024年该地区绿地面积不能达到100公顷．
24．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
当点Q到达C点时，此时t＞，
S△PQB＝××（6﹣t）＝4
∴t＝＞，
答：经过2秒或秒后△PBQ的面积等于4cm2．

25．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，
（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？
解：（1）设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．
（2）设利润为y：
则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200
＝﹣20（x﹣14）2+720，
∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．