专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）

这是一份专题13 利用导数解决函数的极值、最值-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版），共1页。主要包含了高考地位，变式演练1，变式演练2，变式演练3，变式演练4，变式演练5，变式演练6，变式演练7等内容，欢迎下载使用。
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
类型一 利用导数研究函数的极值
例1 已知函数，求函数的极值.
【答案】极小值为，无极大值.
试题解析：第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：
因为，所以的定义域为，所以；
第二步，求方程的根：
令得，；
第三步，判断在方程的根的左、右两侧值的符号：
当时，当时，；
第四步，利用结论写出极值：
所以时，有极小值为，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数的增减性，进而求出函数的极大值和极小值．
【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数及极值定义得解.
【详解】
不妨设函数则可排除ABC
由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有
故选：D
【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题
【答案】A
【分析】
设，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得的大小关系，得到答案.
【详解】
设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题
【答案】C
【分析】
先对函数求导，令，再利用导数判断其单调性，而，从而可求出的单调区间和极值
【详解】
.令，则，
所以在上单调递减.因为，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，的极大值为
故选：C
【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，分为和两种情形讨论单调性即可得极值；
（2）令，根据导数判断函数的单调性证明即可.
【详解】
（1）∵，，∴，
当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；
当时，
时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
故函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：令，
，
故 ，
令的根为，即 ，
两边求对数得：，即 ，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，
∴，即原不等式成立.
【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题
【答案】B
【分析】
依题意，有两个变号零点，由，可得，设，求出函数的单调性及取值情况即可得解．
【详解】
解：依题意，有两个变号零点，
令，即，则，
显然，则，
设，则，
设，则，
∴在上单调递减，
又，
∴当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
∴，且时，，时，，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】
方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意得：，
，解得：.
当时，，，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，满足题意.
（2）由（1）得：的极大值为，极小值为，
又，，
在区间上的最大值为，最小值为.

类型二 求函数在闭区间上的最值
例2 【河南省天一大联考2020届高三阶段性测试】 已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得 ，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.
试题解析：第一步，求出函数在开区间内所有极值点：
依题意， ,令，解得；
第二步，计算函数在极值点和端点的函数值：
， ， ；
第三步，比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：
因为，故函数在上的最大值为，最小值为.
第一步，计算函数的定义域并求出函数的导函数：
依题意， ， ，
第二步，求方程的根：
当时，令，则.因为，所以 ，其中，
第三步，判断在方程的根的左、右两侧值的符号：
.因为，所以， ，所以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在上是减函数，
第四步，利用结论写出极值：
故为函数的极大值点，函数无极小值点.
【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为，充分性成立；利用可验证出必要性不成立，由此得到结论.
【详解】
为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当，时，，结合幂函数图象知无最小值，必要性不成立
“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的充分不必要条件
故选：

【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市2020届高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由 ，可得 在 恒成立，
即为a（1-lnx）≥-x2，
当 时， 2显然成立；
当 时，有 ，可得
设
由 时， ，则在递减，且 ，
可得 ；
当 时，有 ，可得 ，
设
由 时， 在 递减，
由时， 在 递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，
可得 ，
综上可得 ．
故选B．
【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，设，则，利用导数可求，从而得到的最值，故可得的取值范围，从而得到正确的选项.
【详解】
，故，
令，则，设，则，
又，
若，则，故在为增函数；
若，则，故在为减函数；
故，故，
所以，，
当且仅当时取最大值，当且仅当时取最小值，
故即的最小值.
故选：C.
【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中】已知函数
（1）若为单调增函数，求实数的值；
（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）求出，再令，求出两个根，函数为单调函数，所以有两个相同的根，得到，再进行检验即可；
（2）由得，或和，分别当、和三种情况进行讨论；时不成立，时成立，时，利用函数单调性，当无最小值时，，构造关于的函数，求出的范围，即可得到答案.
【详解】
（1） 由题意，，
，解得，或，
因为函数为单调函数，所以有两个相同的根，即，
时，，为增函数，故适合题意；
（2）由（1）知，，解得，或，
①当时，则在上为减函数，
在上为增函数，
当时，有最小值，
故不适合题意；
②当时，则在上为增函数，
在上为增函数，
在上为增函数，无最小值，故适合题意；
③当时，则在上为增函数，
在上为减函数，
在上为增函数，
因为无最小值，
所以，
，
由在上恒成立，
在上单调递增，
且 存在唯一的实根
在上单调递减； 在上单调递增增，
且
存在唯一的实根，
由，
无最小值，则，，
综上，，，
，.
【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题
【答案】B
【分析】
由转化为，设，利用，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足恒成立，
可得恒成立，即，
设，
又由函数，可得，
当时，可得，所以为单调递增函数，且，
所以时，可得，即，
则，
当且仅当，即时取“=”号，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题
【答案】C
【分析】
让，得到，再构造，然后令，研究的最小值即可.
【详解】
由题，且，.
有，则，
令（且，）.
（1）当时，易知，不满足条件.
（2）当时，知，由，
令，则，（舍去），
若，则；
若，则，则时取得极小值，
也为最小值，则，即，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是构造出的表达式并要统一变量，二是对构造的函数求最小值.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合对进行分类讨论，画出图象，由此确定正确选项.
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
依题意，为函数的极大值点，
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为__________．
【答案】-3.
【解析】
分析：先结合三次函数图象确定在(0,+∞)上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由f'x=6x2-2ax=0得x=0,x=a3，因为函数fx在(0,+∞)上有且仅有一个零点且f0=1，所以a3>0,fa3=0，因此2(a3)3-a(a3)2+1=0,a=3.从而函数fx在[-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以f(x)max=f0, f(x)min=min{f(-1),f(1)}=f(-1)，f(x)max+f(x)min= f0+f(-1)=1-4=-3.
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_____________．
【答案】-332
【解析】
分析：首先对函数进行求导，化简求得f'(x)=4(csx+1)(csx-12)，从而确定出函数的单调区间，减区间为[2kπ-5π3,2kπ-π3](k∈Z)，增区间为[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)，确定出函数的最小值点，从而求得sinx=-32,sin2x=-32代入求得函数的最小值.
详解：f'(x)=2csx+2cs2x=4cs2x+2csx-2=4(csx+1)(csx-12)，所以当csx12时函数单调增，从而得到函数的减区间为[2kπ-5π3,2kπ-π3](k∈Z)，函数的增区间为[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)，所以当x=2kπ-π3,k∈Z时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2×(-32)-32=-332，故答案是-332.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式．
【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，即．
(3)结合(2)的结论有：
．
【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．
6．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析．
【思路导引】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
(Ⅱ)首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论．
【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，．可得，，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
(ii) 依题意，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．
当x变化时，的变化情况如下表：
∴函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值．
(Ⅱ)证明：由，得．
对任意的，且，令，则
． ①
令．
当x>1时，，
由此可得在单调递增，∴当t>1时，，即．
∵，，，
∴ ②
由(I)(ii)可知，当时，，即，故 ③
由①②③可得．
∴当时，任意的，且，有．
【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数的几何意义，考查导数与函数的单调性、极值，考查考查应用导数证明不等式，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模等学科素养．解题的关键是合理消元，构造新函数，合理放缩解决问题．
7．【2018年全国卷Ⅲ理数】已知函数fx=2+x+ax2ln1+x-2x．
（1）若a=0，证明：当-10，则当01，则当x∈(1a,1)时，f'(x)0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
（1）当a=0时，令f'(x)=0得x=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.
①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即01满足题意.
（3）当a1时，g'(x)=0，解得x1=-d2-13，x2=d2-13．
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．
g(x)的极大值g(x1)=g(-d2-13)=23(d2-1)329+63>0．
g(x)的极小值g(x2)=g(d2-13)=−23(d2-1)329+63．
若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．
若g(x2)27，也就是|d|>10，此时|d|>x2，g(|d|)=|d|+63>0,且-2|d|