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2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案
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这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共10页。
第四章 三角函数、解三角形
第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.[多选题]下列说法正确的是( )
A.第二象限角大于第一象限角
B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关
C.若sin α=sin β,则α与β的终边相同或关于y轴对称
D.若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
2.[2020百校联考]已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α - cos α=( )
A.32+12 B. - 32+12 C.32-12 D. - 32--12
3.[2019湖南衡阳三模]若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是( )
A.cos α B.tan α C.cosα2 D.tanα2
4.[2019全国卷Ⅰ] tan 255° =( )
A. - 2 - 3 B. - 2+3 C.2 - 3 D.2+3
5.[2020山西大同高三调研]已知sin α+cos α=12,α∈(0,π),则1-tanα1+tanα=( )
A. - 7 B.7 C.3 D. - 3
6.[2019河南郑州三测]已知cos(2 019π2+α)=12,α∈(π2,π),则cos α=( )
A.12 B. - 12 C. - 32 D.32
7.[2019北京高考]如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
8.[2018全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a - b|=( )
A.15 B.55 C.255 D.1
考法1 三角函数定义的应用
1已知角α的终边上一点P( - 3,m)(m≠0),且sin α=2m4,则cos α= ,tan α= .
由sin α=2m4,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos α,tan α的值.
设P(x,y).由题设知x= - 3,y=m,
所以R2=OP2=( - 3)2+m2(O为原点),即R=3+m2,
所以sin α=mr=2m4=m22,所以R=3+m2=22,
即3+m2=8,解得m=±5.
当m=5时,cos α=-322= - 64,tan α= - 153;
当m= - 5时,cos α=-322= - 64,tan α=153.
2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .
求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得OP的坐标.
如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP),过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
图4 - 1 - 4
因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2 - π2,
所以PB=sin(2 - π2)= - cos 2,CB=cos(2 - π2)=sin 2,
所以xP=2 - CB=2 - sin 2,yP=1+PB=1 - cos 2,
所以OP=(2 - sin 2,1 - cos 2).
1.(1)[2019四川攀枝花三诊]已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P(x,23),则x的值为( )
A.±2 B.2 C. - 2 D. - 4
(2)[2017北京高考]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则
sin β= .
考法2 同角三角函数关系的应用
命题角度1 公式的应用
3已知 sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α - sin αcos α= .
解法一 由已知可得sin α+3cos α=5(3cos α - sin α),即6sin α=12cos α,也就是sin α=2cos α,
代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=15,(运用平方关系:sin2α+cos2α=1)
从而sin2α - sin αcos α=4cos2α - 2cos2α=2cos2α=25.
解法二 由已知可得sinα+3cosα3cosα-sinα=sinα+3cosαcosα3cosα-sinαcosα=tanα+33-tanα=5,(弦化切)
整理得tan α=2.从而sin2α - sin αcos α=sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=(利用sin2α+cos2α代换分母1)
sin2α-sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=tan2α-tanαtan2α+1=22-222+1=25.
命题角度2 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
4[2019四川成都二诊]已知α为第二象限角,且sin α+cos α=15,则cos α - sin α=
A.75 B. - 75 C.±75 D. - 15
观察已知式sin α+cos α=15与待求式cos α - sin α的特征,可以求出sin αcos α的值,整体代入求解即可;或利用换元法,令cos α - sin α=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2α+cos2α=1及sin α+cos α=15求出sin αcos α= - 1225,结合方程的根与系数的关系求出sin α,cos α的值,从而使问题得解.
解法一 (整体代入法)由sin α+cos α=15两边同时平方,得1+2sin αcos α=125,则2sin αcos α= - 2425,
所以(cos α - sin α)2=1 - 2sin αcos α=1+2425=4925.(配凑出关于sin αcos α的式子,整体代入)
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α= - 75.(三角函数值的符号由角α所在的象限决定)
故选B.
解法二 (换元法)已知sin α+cos α=15, ①
令cos α - sin α=t. ②(整体换元)
由①2+②2,得2sin2α+2cos2α=125+t2,即2=125+t2,(利用同角三角函数的平方关系求值)
整理得t2=2 - 125=4925,解得t=±75.
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α<0,故cos α - sin α= - 75.(检验,舍去不满足题意的值)
故选B.
解法三 (列方程法)由sin α+cos α=15两边同时平方,得1+2sin αcos α=125,
则2sin αcos α= - 2425,即sin αcos α= - 1225.
所以sin α,cos α是方程x2 - 15x - 1225=0的两根,
解方程得x1= - 35,x2=45.
因为α是第二象限角,所以sin α=45,cos α= - 35,
所以cos α - sin α= - 75.故选B.
B
2.(1)[2017全国卷Ⅲ]已知sin α - cos α=43,则sin 2α=( )
A. - 79 B. - 29 C.29 D.79
(2)[2016全国卷Ⅲ]若tan α=34,则cos2α+2sin 2α=( )
A.6425 B.4825 C.1 D.1625
考法3 诱导公式的应用
5(1)[2016四川高考] sin 750°= .
(2)已知cos(π6 - α)=33,则cos(5π6+α) - sin2(α - π6)=.
(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用(π6 - α)+(5π6+α)=π和α - π6= - (π6 - α),将待求式中的角进行转化即可求解.
(1)sin750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=12.
(2) 因为cos(5π6+α)=cos[π - (π6 - α)]= - cos(π6 - α)= - 33,
sin2(α - π6)=sin2[ - (π6 - α)]=sin2(π6 - α)=1 - cos2(π6 - α)=1 - (33)2=23,
所以cos(5π6+α) - sin2(α - π6)= - 33-23= - 2+33.
3.(1)[2017全国卷Ⅲ]函数f (x)=15sin(x+π3)+cos(x - π6)的最大值为( )
A.65 B.1 C.35 D.15
(2)设f (α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(1+2sin α≠0),则f ( - 23π6)= .
考法4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
6 [2016全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ - π4)= .
解法一 因为sin(θ+π4)=35,所以cos(θ - π4)=sin[π2+(θ - π4)]=sin(θ+π4)=35.因为θ为第四象限角,所以 - π2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以
- 3π4+2kπ<θ - π4<2kπ - π4,k∈Z,所以sin(θ - π4)= - 1-(35)2= - 45,所以tan(θ - π4)=sin(θ-π4)cos(θ-π4)= - 43.
解法二 因为θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos(θ+π4)=45,所以tan(θ- π4)=sin(θ-π4)cos(θ-π4)=-cos[π2+(θ-π4)]sin[π2+(θ-π4)]=
- cos(θ+π4)sin(θ+π4)= - 43.
4.已知tan α=2,则cos(52π+2α)=( )
A.35 B.45 C. - 35 D. - 45
易错 三角函数求值时忽略隐含条件致错
7已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-12,则tan θ的值为 .
解法一 将sin θ+cos θ=3-12两边同时平方,得1+2sin θcos θ=1 - 32,即sin θcos θ= - 34,易知θ≠π2.
故sin θcos θ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθtan2θ+1= - 34,
解得tan θ= - 3或tan θ=- 33.
∵ θ∈(0,π),sin θcos θ= - 34<0,∴θ∈(π2,π).由sin θ+cos θ=3-12>0可知sin θ> - cos θ,即|sin θ|>|cos θ|,故θ∈(π2,3π4),则tan θ< - 1,
∴tan θ= - 3.
解法二 (本题若利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系,就会得到更为便捷的解法)
由sin θ+cos θ=3-12 ①,得sin θcos θ= - 34<0,
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ - cos θ>0.
又(sin θ - cos θ)2=1 - 2sin θcos θ=1+32=(3+1)24,
∴sin θ - cos θ=3+12 ②.
联立①②,解得sinθ=32,cosθ=-12,∴tan θ= - 3.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号.
二
数学运算
求三角函数值.
一
易错警示
本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin θ|>|cos θ|”的挖掘,从而得到错误答案:tan θ= - 3或tan θ= - 33.有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.
5.[2019安徽师大附中模拟]已知角α终边上一点P的坐标为(sin π10,cos 9π 10),则角α是( )
A.π10 B.2π5 C. - π10 D. - 2π5
思想方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
8在△ABC中,若sin(2π - A)= - 2sin(π - B),3cos A= - 2cos(π - B),则C= .
利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.
由已知得-sinA=-2sinB ①,3cosA=2cosB ②,
①2+②2,得2cos2A=1,即cos A=±22.
当cos A=22时,cos B=32,又A,B是三角形的内角,
所以A=π4,B=π6,所以C=π - (A+B)=712π.
当cos A= - 22时,cos B= - 32,又A,B是三角形的内角,所以A=34π,B=56π不符合题意,舍去.
综上可得C=712π.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论.
二
数学运算
三角恒等变换,求角A,B和C.
二
解后反思
(1)本题在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.
(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.
6.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cosα(k∈Z),则A的值构成的集合是 .
282
1.BC 举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故A错;易知BC正确;当θ=π时,cos θ= - 1,此时θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故D错.综上可知只有BC正确.
2.D 由点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,可得sin α - cos α=sin 300° - cos 300°= - 32 - 12.
3.D 由sin α<0,得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),故kπ+π2<α2
5.A sin α+cos α=12等号两边同时平方得1+2sin αcos α=14,所以sin αcos α= - 38<0,又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0,所以sin α - cos α>0.因为(sin α - cos α)2=1 - 2sin αcos α=74,所以sin α - cos α=72.所以1-tanα1+tanα=1-sinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαcosα+sinα=-7212= - 7,故选A.
6.C 由题意知,cos(2 019π2+α)=cos(3π2+α)=sin α=12,又α∈(π2,π),所以cos α= - 1-sin2α= - 32.故选C.
7.B 如图D 4 - 1 - 1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,
图D 4 - 1 - 1
在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧AB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,即当点P为优弧AB的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点P为优弧AB的中点时阴影区域的面积.
因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180° - β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×12×2×2sin(180° - β)+12×22×2β=4β+4sin β,故选B.
8.B 由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α - 1=23,所以cos α=56,sin α=±16,则|tan α|=55.由题意知|tan α|=|a-b1-2|,所以|a - b|=55.
1.(1)C 由题意知tan θ=tan8π3=tan(2π+2π3)=tan 2π3=tan(π - π3)= - tanπ3= - 3.
因为角θ的终边经过点P(x,23),所以tan θ=23x.
所以 - 3=23x,解得x= - 2.故选C.
(2) - 79 解法一 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,
所以cos(α - β)=cos(2kπ+π - 2α)= - cos 2α= - (1 - 2sin2α)= - [1 - 2×(13)2]= - 79.
解法二 因为sin α=13>0,所以角α为第一象限角或第二象限角.
当角α为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则cos α=223,
又点(22,1)关于y轴对称的点( - 22,1)在角β的终边上,所以sin β=13,cos β= - 223,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=223×( - 223)+13×13= - 79;
当角α为第二象限角时,可取其终边上一点( - 22,1),则cos α= - 223,因为点( - 22,1)关于y轴对称的点(22,1)在角β的终边上,所以sin β=13,cos β=223,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=( - 223)×223+13×13= - 79.
综上可得,cos(α - β)= - 79.
2.(1)A 将sin α - cos α=43的两边同时平方,得sin2α - 2sin αcos α+cos2α=169,即sin 2α= - 79,故选A.
(2)A 解法一 由tan α=sinαcosα=34,cos2α+sin2α=1,得sinα=35,cosα=45或sinα=-35,cosα=-45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos2α+2sin 2α=1625+4825=6425.故选A.
解法二 cos2α+2sin 2α=cos2α+4sinαcosαcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=1+31+916=6425.故选A.
3.(1)A 因为cos(x - π6)=cos[(x+π3) - π2]=sin(x+π3),所以f (x)=65sin(x+π3),于是f (x)的最大值为65,故选A.
(2)3 因为f (α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)=1tanα,所以f ( - 23π6)=1tan(-23π6)=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.
4.D 由诱导公式可得,cos(5π2+2α)=cos[2π+(π2+2α)]=cos(π2+2α)= - sin 2α=-2sinαcosαsin2α+cos2α=-2sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=-2tanαtan2α+1=-2×222+1= - 45.故选D.
5.D 本题考查三角函数的定义.∵角α终边上一点P的坐标为(sinπ10,cos9π10),且sinπ10=cos(π2 - π10)=cos2π5=cos( - 2π5),cos9π10=cos(π - π10)= - cosπ10= - sin(π2 - π10)=sin( - 2π5),即P(cos( - 2π5),sin( - 2π5)),则角α是 - 2π5,故选D.
6.{2, - 2} 当k为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;
当k为奇数时,A=-sinαsinα - cosαcosα= - 2.
所以A的值构成的集合是{2, - 2}.
第四章 三角函数、解三角形
第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.[多选题]下列说法正确的是( )
A.第二象限角大于第一象限角
B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关
C.若sin α=sin β,则α与β的终边相同或关于y轴对称
D.若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
2.[2020百校联考]已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α - cos α=( )
A.32+12 B. - 32+12 C.32-12 D. - 32--12
3.[2019湖南衡阳三模]若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是( )
A.cos α B.tan α C.cosα2 D.tanα2
4.[2019全国卷Ⅰ] tan 255° =( )
A. - 2 - 3 B. - 2+3 C.2 - 3 D.2+3
5.[2020山西大同高三调研]已知sin α+cos α=12,α∈(0,π),则1-tanα1+tanα=( )
A. - 7 B.7 C.3 D. - 3
6.[2019河南郑州三测]已知cos(2 019π2+α)=12,α∈(π2,π),则cos α=( )
A.12 B. - 12 C. - 32 D.32
7.[2019北京高考]如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.4β+4cos β B.4β+4sin β
C.2β+2cos β D.2β+2sin β
8.[2018全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a - b|=( )
A.15 B.55 C.255 D.1
考法1 三角函数定义的应用
1已知角α的终边上一点P( - 3,m)(m≠0),且sin α=2m4,则cos α= ,tan α= .
由sin α=2m4,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos α,tan α的值.
设P(x,y).由题设知x= - 3,y=m,
所以R2=OP2=( - 3)2+m2(O为原点),即R=3+m2,
所以sin α=mr=2m4=m22,所以R=3+m2=22,
即3+m2=8,解得m=±5.
当m=5时,cos α=-322= - 64,tan α= - 153;
当m= - 5时,cos α=-322= - 64,tan α=153.
2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为 .
求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得OP的坐标.
如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP),过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
图4 - 1 - 4
因为圆心移动的距离为2,所以劣弧PA=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2 - π2,
所以PB=sin(2 - π2)= - cos 2,CB=cos(2 - π2)=sin 2,
所以xP=2 - CB=2 - sin 2,yP=1+PB=1 - cos 2,
所以OP=(2 - sin 2,1 - cos 2).
1.(1)[2019四川攀枝花三诊]已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P(x,23),则x的值为( )
A.±2 B.2 C. - 2 D. - 4
(2)[2017北京高考]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则
sin β= .
考法2 同角三角函数关系的应用
命题角度1 公式的应用
3已知 sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α - sin αcos α= .
解法一 由已知可得sin α+3cos α=5(3cos α - sin α),即6sin α=12cos α,也就是sin α=2cos α,
代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=15,(运用平方关系:sin2α+cos2α=1)
从而sin2α - sin αcos α=4cos2α - 2cos2α=2cos2α=25.
解法二 由已知可得sinα+3cosα3cosα-sinα=sinα+3cosαcosα3cosα-sinαcosα=tanα+33-tanα=5,(弦化切)
整理得tan α=2.从而sin2α - sin αcos α=sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=(利用sin2α+cos2α代换分母1)
sin2α-sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=tan2α-tanαtan2α+1=22-222+1=25.
命题角度2 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
4[2019四川成都二诊]已知α为第二象限角,且sin α+cos α=15,则cos α - sin α=
A.75 B. - 75 C.±75 D. - 15
观察已知式sin α+cos α=15与待求式cos α - sin α的特征,可以求出sin αcos α的值,整体代入求解即可;或利用换元法,令cos α - sin α=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2α+cos2α=1及sin α+cos α=15求出sin αcos α= - 1225,结合方程的根与系数的关系求出sin α,cos α的值,从而使问题得解.
解法一 (整体代入法)由sin α+cos α=15两边同时平方,得1+2sin αcos α=125,则2sin αcos α= - 2425,
所以(cos α - sin α)2=1 - 2sin αcos α=1+2425=4925.(配凑出关于sin αcos α的式子,整体代入)
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α= - 75.(三角函数值的符号由角α所在的象限决定)
故选B.
解法二 (换元法)已知sin α+cos α=15, ①
令cos α - sin α=t. ②(整体换元)
由①2+②2,得2sin2α+2cos2α=125+t2,即2=125+t2,(利用同角三角函数的平方关系求值)
整理得t2=2 - 125=4925,解得t=±75.
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α<0,故cos α - sin α= - 75.(检验,舍去不满足题意的值)
故选B.
解法三 (列方程法)由sin α+cos α=15两边同时平方,得1+2sin αcos α=125,
则2sin αcos α= - 2425,即sin αcos α= - 1225.
所以sin α,cos α是方程x2 - 15x - 1225=0的两根,
解方程得x1= - 35,x2=45.
因为α是第二象限角,所以sin α=45,cos α= - 35,
所以cos α - sin α= - 75.故选B.
B
2.(1)[2017全国卷Ⅲ]已知sin α - cos α=43,则sin 2α=( )
A. - 79 B. - 29 C.29 D.79
(2)[2016全国卷Ⅲ]若tan α=34,则cos2α+2sin 2α=( )
A.6425 B.4825 C.1 D.1625
考法3 诱导公式的应用
5(1)[2016四川高考] sin 750°= .
(2)已知cos(π6 - α)=33,则cos(5π6+α) - sin2(α - π6)=.
(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用(π6 - α)+(5π6+α)=π和α - π6= - (π6 - α),将待求式中的角进行转化即可求解.
(1)sin750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=12.
(2) 因为cos(5π6+α)=cos[π - (π6 - α)]= - cos(π6 - α)= - 33,
sin2(α - π6)=sin2[ - (π6 - α)]=sin2(π6 - α)=1 - cos2(π6 - α)=1 - (33)2=23,
所以cos(5π6+α) - sin2(α - π6)= - 33-23= - 2+33.
3.(1)[2017全国卷Ⅲ]函数f (x)=15sin(x+π3)+cos(x - π6)的最大值为( )
A.65 B.1 C.35 D.15
(2)设f (α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(1+2sin α≠0),则f ( - 23π6)= .
考法4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
6 [2016全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ - π4)= .
解法一 因为sin(θ+π4)=35,所以cos(θ - π4)=sin[π2+(θ - π4)]=sin(θ+π4)=35.因为θ为第四象限角,所以 - π2+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以
- 3π4+2kπ<θ - π4<2kπ - π4,k∈Z,所以sin(θ - π4)= - 1-(35)2= - 45,所以tan(θ - π4)=sin(θ-π4)cos(θ-π4)= - 43.
解法二 因为θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,所以θ+π4为第一象限角,所以cos(θ+π4)=45,所以tan(θ- π4)=sin(θ-π4)cos(θ-π4)=-cos[π2+(θ-π4)]sin[π2+(θ-π4)]=
- cos(θ+π4)sin(θ+π4)= - 43.
4.已知tan α=2,则cos(52π+2α)=( )
A.35 B.45 C. - 35 D. - 45
易错 三角函数求值时忽略隐含条件致错
7已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=3-12,则tan θ的值为 .
解法一 将sin θ+cos θ=3-12两边同时平方,得1+2sin θcos θ=1 - 32,即sin θcos θ= - 34,易知θ≠π2.
故sin θcos θ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθtan2θ+1= - 34,
解得tan θ= - 3或tan θ=- 33.
∵ θ∈(0,π),sin θcos θ= - 34<0,∴θ∈(π2,π).由sin θ+cos θ=3-12>0可知sin θ> - cos θ,即|sin θ|>|cos θ|,故θ∈(π2,3π4),则tan θ< - 1,
∴tan θ= - 3.
解法二 (本题若利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系,就会得到更为便捷的解法)
由sin θ+cos θ=3-12 ①,得sin θcos θ= - 34<0,
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ - cos θ>0.
又(sin θ - cos θ)2=1 - 2sin θcos θ=1+32=(3+1)24,
∴sin θ - cos θ=3+12 ②.
联立①②,解得sinθ=32,cosθ=-12,∴tan θ= - 3.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号.
二
数学运算
求三角函数值.
一
易错警示
本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin θ|>|cos θ|”的挖掘,从而得到错误答案:tan θ= - 3或tan θ= - 33.有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.
5.[2019安徽师大附中模拟]已知角α终边上一点P的坐标为(sin π10,cos 9π 10),则角α是( )
A.π10 B.2π5 C. - π10 D. - 2π5
思想方法 分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
8在△ABC中,若sin(2π - A)= - 2sin(π - B),3cos A= - 2cos(π - B),则C= .
利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.
由已知得-sinA=-2sinB ①,3cosA=2cosB ②,
①2+②2,得2cos2A=1,即cos A=±22.
当cos A=22时,cos B=32,又A,B是三角形的内角,
所以A=π4,B=π6,所以C=π - (A+B)=712π.
当cos A= - 22时,cos B= - 32,又A,B是三角形的内角,所以A=34π,B=56π不符合题意,舍去.
综上可得C=712π.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论.
二
数学运算
三角恒等变换,求角A,B和C.
二
解后反思
(1)本题在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.
(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.
6.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπ+α)cosα(k∈Z),则A的值构成的集合是 .
282
1.BC 举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故A错;易知BC正确;当θ=π时,cos θ= - 1,此时θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故D错.综上可知只有BC正确.
2.D 由点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,可得sin α - cos α=sin 300° - cos 300°= - 32 - 12.
3.D 由sin α<0,得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),故kπ+π2<α2
5.A sin α+cos α=12等号两边同时平方得1+2sin αcos α=14,所以sin αcos α= - 38<0,又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0,所以sin α - cos α>0.因为(sin α - cos α)2=1 - 2sin αcos α=74,所以sin α - cos α=72.所以1-tanα1+tanα=1-sinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαcosα+sinα=-7212= - 7,故选A.
6.C 由题意知,cos(2 019π2+α)=cos(3π2+α)=sin α=12,又α∈(π2,π),所以cos α= - 1-sin2α= - 32.故选C.
7.B 如图D 4 - 1 - 1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,
图D 4 - 1 - 1
在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧AB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,即当点P为优弧AB的中点时,阴影区域面积最大.下面计算当点P为优弧AB的中点时阴影区域的面积.
因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180° - β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×12×2×2sin(180° - β)+12×22×2β=4β+4sin β,故选B.
8.B 由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α - 1=23,所以cos α=56,sin α=±16,则|tan α|=55.由题意知|tan α|=|a-b1-2|,所以|a - b|=55.
1.(1)C 由题意知tan θ=tan8π3=tan(2π+2π3)=tan 2π3=tan(π - π3)= - tanπ3= - 3.
因为角θ的终边经过点P(x,23),所以tan θ=23x.
所以 - 3=23x,解得x= - 2.故选C.
(2) - 79 解法一 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,
所以cos(α - β)=cos(2kπ+π - 2α)= - cos 2α= - (1 - 2sin2α)= - [1 - 2×(13)2]= - 79.
解法二 因为sin α=13>0,所以角α为第一象限角或第二象限角.
当角α为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则cos α=223,
又点(22,1)关于y轴对称的点( - 22,1)在角β的终边上,所以sin β=13,cos β= - 223,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=223×( - 223)+13×13= - 79;
当角α为第二象限角时,可取其终边上一点( - 22,1),则cos α= - 223,因为点( - 22,1)关于y轴对称的点(22,1)在角β的终边上,所以sin β=13,cos β=223,此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=( - 223)×223+13×13= - 79.
综上可得,cos(α - β)= - 79.
2.(1)A 将sin α - cos α=43的两边同时平方,得sin2α - 2sin αcos α+cos2α=169,即sin 2α= - 79,故选A.
(2)A 解法一 由tan α=sinαcosα=34,cos2α+sin2α=1,得sinα=35,cosα=45或sinα=-35,cosα=-45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos2α+2sin 2α=1625+4825=6425.故选A.
解法二 cos2α+2sin 2α=cos2α+4sinαcosαcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=1+31+916=6425.故选A.
3.(1)A 因为cos(x - π6)=cos[(x+π3) - π2]=sin(x+π3),所以f (x)=65sin(x+π3),于是f (x)的最大值为65,故选A.
(2)3 因为f (α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)=1tanα,所以f ( - 23π6)=1tan(-23π6)=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.
4.D 由诱导公式可得,cos(5π2+2α)=cos[2π+(π2+2α)]=cos(π2+2α)= - sin 2α=-2sinαcosαsin2α+cos2α=-2sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=-2tanαtan2α+1=-2×222+1= - 45.故选D.
5.D 本题考查三角函数的定义.∵角α终边上一点P的坐标为(sinπ10,cos9π10),且sinπ10=cos(π2 - π10)=cos2π5=cos( - 2π5),cos9π10=cos(π - π10)= - cosπ10= - sin(π2 - π10)=sin( - 2π5),即P(cos( - 2π5),sin( - 2π5)),则角α是 - 2π5,故选D.
6.{2, - 2} 当k为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;
当k为奇数时,A=-sinαsinα - cosαcosα= - 2.
所以A的值构成的集合是{2, - 2}.
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