数学必修12.1实际问题的函数刻画教案

这是一份数学必修12.1实际问题的函数刻画教案，共4页。

eq \(\s\up7(),\s\d5(整体设计))
教学分析
函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了实际问题让学生进行练习．教科书中还渗透了函数拟合的基本思想．通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力．
三维目标
1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．
2．会利用函数图像性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．
3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．
重点难点
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题．
课时安排
1课时
eq \(\s\up7(),\s\d5(教学过程))
2．1 实际问题的函数刻画
导入新课
1.我们生活中有很多变量，变量之间要构成函数关系需要满足什么？
2.在现实世界里，事物之间存在广泛的联系，许多联系可以用函数刻画。用函数观点看实际问题，是学习函数的重要内容。那么如何用数学刻画实际问题呢？
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(应用示例))
思路1
例1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
解：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图1)．
图1
根据图像，可以看出下列性质：
(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的；
(2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．
点评：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4,38]．对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.
例2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？
图3
解：总成本C与产量x的关系为C＝200 000＋300x；
单位成本P与产量x的关系为P＝eq \f(200 000,x)＋300；
销售收入R与产量x的关系为R＝500x；
利润L与产量x的关系为L＝R－C＝200x－200 000.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
以上各式建立的是函数关系．
(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x＜1 000，则要亏损；若x＝1 000，则利润为零；若x＞1 000，则可盈利．这也可从图3看出，R和C的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零．
(2)从单位成本与产量的关系P＝eq \f(200 000,x)＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．
例3 如图4，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度)就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系．
图4
现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了刻画直线段长度的问题．
将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A为原点，AB＝b，AC＝c，AD＝d，AE＝e，AF＝f.
于是，水文监测站A，B，C，D，E和F的坐标就可以用0，b，c，d，e，f表示出来．表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x表示，这样，对于给定的x的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度为f(x)＝|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|＋|x－e|＋|x－f|.
变式训练
义乌小商品城内有一种商品每个进价80元,零售价100元.为了促进销售,开展购一件商品赠送一个小礼品的活动,在一定的范围内,礼品价格每增加1元,销售量增加10%.求利润与礼品价格n之间的函数关系.（可设促销前销售量为a）
促销后销售量M与原销售量a、礼品价格n的函数关系 M＝a(1+10%)n
促销后单个商品的利润N与礼品价值n的函数关系 N＝100-80-n
利润与礼品价格n的函数关系
y=M·N=1.1na(20-n),0≤n≤20
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(知能训练))
在测量某物理量过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2···,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据差的平方和最小.依此规定,请用a1,a2,···,an表示出a.
解 设a与各数据差的平方和为y，则
y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2
=na2-2(a1+a2+…+an)a+a12+a22+…+an2
由二次函数的性质知
y取得最小值，即最佳近似值
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(课堂小结))
本节重点学习了用函数刻画实际问题，它的一般步骤是先读懂问题根据实际问题特征和掌握数学特征，建立实际问题与数学问题的联系。另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(作业))
P130 A组2，B组1
eq \(\s\up7(),\s\d5(设计感想))
本节设计从实际生活中开始，让学生从生活中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．
环境温度/(℃)
4
10
20
30
38
代谢率/4 185 J/(h·m2)
60
44
40
40.5
54