2021届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）（解析版）

这是一份2021届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}，B＝{x|lg2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1）B．（0，1）C．{﹣1，1}D．{1}
2．已知直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A．0B．2C．±2D．4
3．已知平面向量＝（1，），＝（2，λ），其中λ＞0，若|﹣|＝2，则＝（ ）
A．2B．C．D．8
4．已知函数f（x）＝x3+sinx+2，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
5．已知csα+sin（α﹣）＝0，则tanα＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
6．已知曲线y＝ex（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a（a＞0）围成的封闭图形的面积为ea﹣1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（ ）
A．2.718B．2.737C．2.759D．2.785
7．已知命题p：若数列{an}和{bn}都是等差数列，则{ran+sbn}（r，s∈R）也是等差数列；命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），都有sinx＜csx．则下列命题是真命题的是（ ）
A．￢p∧qB．p∧qC．p∨qD．￢p∨q
8．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（ ）
A．＝80，s2＜25B．＝80，s2＝25C．＝80，s2＞25D．＜80，s2＞25
9．已知圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上，有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0（a∈R）的距离为1，则a＝（ ）
A．±B．±C．±1D．±
10．若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，6）C．（6，+∞）D．（﹣6，+∞）
11．已知正实数x，y满足ln＞lg，则（ ）
A．2x＞2yB．sinx＞sinyC．lnx＜lnyD．tanx＜tany
12．已知点F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点P为E左支上一点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，且，则a＝（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题（共4小题）.
13．复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝ ．
14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数 ．
15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在一点P使＝0，且|PF1|＝|F1F2|，则E的离心率为 ．
16．关于x的方程sin2x+2cs2x＝m在区间[0，π）上有两个实根x1，x2，若x1﹣x2≥，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：
（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）调查显示该年7月份的实际市场需求量为13.5万件，求该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差．
附：参考公式：＝，＝﹣．
18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a5＝17，a2a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，且S2n＞an，求n的最小值．
19．如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC＝30°，AC＝，AP+PC＝2．
（1）求∠APC；
（2）若，求△APB的面积．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，2）为抛物线上一点，若点B（﹣2，0）满足＝0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点B的直线l交C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣2于点P，Q，求的值．
21．已知函数f（x）＝（2m+2）x﹣nlnx﹣mx2（m∈R），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴垂直．
（1）求n；
（2）若f（x）≥0，求m的取值范围．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（x﹣2）2+y2＝6．曲线C2的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α（﹣，ρ∈R）．
（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|：|OC|＝，求α的值．
[选修4-5：不等式选讲](10分)
23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）记函数f（x）的最小值为m，a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c＝mabc，证明：ab+bc+ac≥9．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}，B＝{x|lg2x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，1）B．（0，1）C．{﹣1，1}D．{1}
解：集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x|lg2x＜1}＝（0，2），则A∩B＝{1}
故选：D．
2．已知直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A．0B．2C．±2D．4
解：根据题意，直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，
若l1⊥l2，则有2a+2a＝0，解可得a＝0，
故选：A．
3．已知平面向量＝（1，），＝（2，λ），其中λ＞0，若|﹣|＝2，则＝（ ）
A．2B．C．D．8
解：，且，
∴，且λ＞0，∴解得，
∴，．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝x3+sinx+2，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
解：根据题意，函数f（x）＝x3+sinx+2，则f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）+2＝﹣（x3+sinx）+2，
则f（x）+f（﹣x）＝4，
若f（m）＝3，则f（﹣m）＝1，
故选：B．
5．已知csα+sin（α﹣）＝0，则tanα＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
解：csα+sin（α﹣）＝0，
整理得＝0，
故，
故．
故选：A．
6．已知曲线y＝ex（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a（a＞0）围成的封闭图形的面积为ea﹣1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（ ）
A．2.718B．2.737C．2.759D．2.785
解：∵OA＝1，∴x＝1，AB＝e，
∴S阴影＝e﹣1，S矩形OABC＝e，
∵采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，
∴，
解得e≈2.759．
故选：C．
7．已知命题p：若数列{an}和{bn}都是等差数列，则{ran+sbn}（r，s∈R）也是等差数列；命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），都有sinx＜csx．则下列命题是真命题的是（ ）
A．￢p∧qB．p∧qC．p∨qD．￢p∨q
解：对于命题p：若数列{an}和{bn}都是等差数列，
则{ran+sbn}（r，s∈R）也是等差数列．
则p为真命题；
对于命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），
都有sinx＜csx，故q为假命题．
故：￢p∧q为假命题；
p∧q为假命题；
p∨q为真命题；
￢p∨q为假命题．
故选：C．
8．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（ ）
A．＝80，s2＜25B．＝80，s2＝25C．＝80，s2＞25D．＜80，s2＞25
解：根据题意，两个数据记录有误，一个错将95记录为75，另一个错将60记录为80，
由95+60＝75+80知，这组数据的总和不变，
所以在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数不变，即＝80，
（95﹣80）2+（60﹣80）2＞（75﹣80）2+（80﹣80）2，
所以数据的波动变大了，即s2＞25．
故选：C．
9．已知圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上，有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0（a∈R）的距离为1，则a＝（ ）
A．±B．±C．±1D．±
解：圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（2，1），半径为2，
因为圆上有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0的距离为1，
所以圆心到直线ax﹣3y+3＝0的距离为1，即，解得．
故选：D．
10．若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，6）C．（6，+∞）D．（﹣6，+∞）
解：+2ax+3，
则f′（x）＝3x2﹣（a+6）x+2a，
由题意得：f′（2）＝0，即12﹣2a﹣12+2a＝0，f′（2）恒为0，
∵f（2）是极小值，∴x＜2时，在x＝2的左侧局部，函数单调递减，
x＞2时，在x＝2的右侧局部，函数单调递增，
结合二次函数的性质f′（x）的对称轴在x＝2的左侧，
即＜2，故a＜6，又△＝（a+6）2﹣24a＝（a﹣6）2＞0，
故a＜6，
故选：B．
11．已知正实数x，y满足ln＞lg，则（ ）
A．2x＞2yB．sinx＞sinyC．lnx＜lnyD．tanx＜tany
解：因为正实数x，y满足ln＞lg，
所以lnx﹣lny＞lgy﹣lgx，即lnx+lgx＞lgy+lny，
令g（x）＝lnx+lgx，则g（x）＞g（y），
因为g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故x＞y，
结合指数函数的性质得，2x＞2y，A 正确，
y＝sinx，y＝tanx在（0，+∞）上不单调，sinx与siny的大小不确定，B错误；同理D错误
结合对数函数的性质可知，lnx＞lny，C错误．
故选：A．
12．已知点F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点P为E左支上一点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，且，则a＝（ ）
A．1B．C．D．2
解：如图，
设PF1，PF2分别与圆切于G，H，则|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1M|，|F2H|＝|F2M|，
由双曲线定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，则|F2H|﹣|F1G|＝2a，
∴|F2M|﹣|F1M|＝2a，设M（x0，0），则c﹣x0﹣（c+x0）＝2a，得x0＝﹣a．
又，∴﹣a+c＝（c+a），得c＝2a，即c2＝a2+b2＝a2+6＝4a2，
解得a＝．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝ ﹣i ．
解：由（1+i）•z＝1﹣i，
得＝，
故答案为：﹣i．
14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数 2 ．
解：由题意可知，A部门一共有64﹣24﹣32＝8人，
故采用分层抽样的方法从A，B，C三个部门中抽取16名员工，则从A部门中抽取的访谈人数为．
故答案为：2．
15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在一点P使＝0，且|PF1|＝|F1F2|，则E的离心率为 ．
解：因为＝0，所以可设点P的坐标为（﹣c，y），
令x＝﹣c代入椭圆方程可得：y＝，
又因为|PF1|＝|F1F2|，所以，
即e2+2e﹣1＝0，解得e＝或﹣﹣1（舍去），
所以椭圆的离心率为﹣1，
故答案为：．
16．关于x的方程sin2x+2cs2x＝m在区间[0，π）上有两个实根x1，x2，若x1﹣x2≥，则实数m的取值范围是 [1，2） ．
【解答】
∵sin2x+2cs2x＝m
∴sin2x+cs2x+1＝m
，
，
∴m∈[1，2）．
故答案为：[1，2）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。
17．某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：
（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）调查显示该年7月份的实际市场需求量为13.5万件，求该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差．
附：参考公式：＝，＝﹣．
解：（1）由表中数据可知，＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（3+5+6.5+8+10.5）＝6.6，
＝18，＝10，
∴＝＝1.8，＝﹣＝6.6﹣1.8×4＝﹣0.6，
∴y关于x的线性回归方程为＝1.8x﹣0.6．
（2）把x＝7代入线性回归方程，有＝1.8×7﹣0.6＝12，
∴13.5﹣12＝1.5，
故该年7月份所得回归方程预测的生产产量与实际市场需求量的误差为1.5万件．
18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a5＝17，a2a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，且S2n＞an，求n的最小值．
解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a5＝17，a2a4＝16，
∴a1a5＝a2a4＝16，
设数列{an}的公比为q（q＞1），
由，解得，或（舍），
又，∴q＝2，
则数列{an}的通项公式为；
（2）∵，
∴，
∵S2n＞an，∴9（22n﹣1）＞80×2n，即（9×2n+1）（2n﹣9）＞0，
∴2n﹣9＞0，又∈N*，
∴正整数n的最小值为4．
19．如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC＝30°，AC＝，AP+PC＝2．
（1）求∠APC；
（2）若，求△APB的面积．
解：（1）因为∠PAC＝30°，AC＝，
由余弦定理可得CP2＝AP2+AC2﹣2AP×AC×cs∠PAC，即CP2＝AP2+3﹣2AP•cs30°，
又AP+CP＝2，
联立解得AP＝1，CP＝1，
所以∠APC＝120°．
（2）因为∠APC＝120°，可得∠APB＝60°，
因为csB＝，可得sinB＝，
在△APB中，由正弦定理＝，可得AB＝，
在△APB中，由余弦定理AB2＝AP2+PB2﹣2AP•PB•cs∠APB，可得7＝1+PB2﹣2PBcs60°，即PB2﹣PB﹣6＝0，解得BP＝3．
所以△APB的面积为S＝AP•BP•sin∠APB＝＝．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（x0，2）为抛物线上一点，若点B（﹣2，0）满足＝0．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点B的直线l交C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣2于点P，Q，求的值．
解：（1）由＝0，可知△AFB是以AB为底边的等腰三角形，
由A在抛物线C上，得，
由抛物线定义得，|AF|＝，
又|BF|＝，|AF|＝|BF|，得，解得p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x；
（2）由（1）知，A（2，2），F（1，0），
设直线l的方程为x＝my﹣2，M（），N（），
联立，消去x得，y2﹣4my+8＝0．
∴y1+y2＝4m，y1y2＝8，
直线MA的方程为，
∴，
同理可得．
∴＝＝||＝||＝||＝1．
21．已知函数f（x）＝（2m+2）x﹣nlnx﹣mx2（m∈R），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴垂直．
（1）求n；
（2）若f（x）≥0，求m的取值范围．
解：（1）因为f′（x）＝（2m+2）﹣﹣mx，
由题意可得f′（2）＝2m+2﹣﹣2m＝0，
解得n＝4；
（2）f′（x）＝2m+2﹣﹣mx＝﹣，x＞0，
①当0＜m＜1时，f（x）在（2，）上单调递增，
在（0，2），（，+∞）递减，
当x＞4+时，f（x）在（，+∞）上递减，
所以f（x）＝x（2m+2﹣mx）﹣4lnx＜f（4+）＜0，
所以f（x）≥0，在x＞0恒成立不成立，
即0＜m＜1不合题意．
②当m≥1时，f（x）在（，2）上递增，在（0，），（2，+∞）递减，
当x＞4+＞2时，f（x）在（2，+∞）递减，
所以f（x）＝x（2m+2﹣mx）﹣4lnx＜f（4+），
所以f（x）≥0在x＞0恒成立不成立，即m≥1不合题意；
③当m≤0时，f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
所以要使f（x）≥0的充要条件是f（2）≥0，
即2（m+2）﹣4ln2≥0，
解得m≥2ln2﹣2，
所以2ln2﹣2≤m≤0，
综上可得，实数m的范围是[2ln2﹣2，0]．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（x﹣2）2+y2＝6．曲线C2的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α（﹣，ρ∈R）．
（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；
（2）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|：|OC|＝，求α的值．
解：（1）曲线C1的方程为（x﹣2）2+y2＝6，转换为x2+y2﹣4x＝2，根据转换为极坐标方程为ρ2﹣4ρcsθ＝2；
曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2﹣y2＝4，根据转换为极坐标方程为ρ2cs2θ﹣ρ2sin2θ＝4．
（2）根据，整理得ρ2﹣4ρcsα﹣2＝0，
所以ρ1+ρ2＝4csα，ρ1ρ2＝﹣2，
故＝，
，解得，
由于|AB|：|OC|＝，
所以，
整理得4cs22α+8cs2α﹣5＝0，
（2cs2α+5）（2cs2α﹣1）＝0，
解得cs2α＝，
由于﹣，
故．
[选修4-5：不等式选讲](10分)
23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＜3的解集；
（2）记函数f（x）的最小值为m，a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c＝mabc，证明：ab+bc+ac≥9．
解：（1）f（x）＝|x﹣3|+|x﹣2|＝．
∵f（x）＜3，∴或2≤x≤3或，
∴3＜x＜4或2≤x≤3或1＜x＜2，∴1＜x＜4，
∴不等式的解集为{x|1＜x＜4}．
（2）证明：由（1）可得 m＝f（x）min＝1，
∴a+b+c＝abc，∴，
∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴
＝＝
＝
＝9，
当且仅当a＝b＝c时可取等号，
即ab+bc+ac⩾9．
x（月份）
2
3
4
5
6
y（生产产量：万瓶）
3
5
6.5
8
10.5
x（月份）
2
3
4
5
6
y（生产产量：万瓶）
3
5
6.5
8
10.5