2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：48 椭圆

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：48 椭圆，共8页。


[基础达标]
一、选择题
1．[2021·福建省三明市第一中学周测]设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4B．3
C．2D．5
2．[2021·河北衡水中学一模]椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为( )
A．－21B．21
C．－eq \f(19,25)或21D.eq \f(19,25)或21
3．[2021·江西省名校高三教学质量检测]椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点C，若F1，C是线段AB的三等分点，△F2AB的周长为4eq \r(5)，则椭圆E的标准方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,5)＋y2＝1
4．[2021·云南昆明诊断]已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq \f(|AF1|,|AF2|)＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3)D．3
5．[2021·武汉市高中毕业生学习质量检测]已知点P在椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PQ,\s\up6(→))，直线AD与椭圆Γ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆Γ的离心率e＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(\r(3),3)
二、填空题
6．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]设椭圆C：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,48)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点Q在椭圆C上，且满足|QF1|＝eq \f(2,3)|QF2|，则△QF1F2的面积为________．
7．[2019·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
8．[2021·唐山市高三年级模底考试]已知直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C，若eq \(FA,\s\up6(→))＝2eq \(FC,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率是________．
三、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
10.[2021·湖北武汉调研]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时，求k的值．
[能力挑战]
11．[2021·广州市高三年级阶段训练题]某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为( )
A.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)RB.eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(e,1－e)R
C.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(2e,1＋e)RD.eq \f(1－e,1＋e)r＋eq \f(e,1＋e)R
12．[2021·惠州市高三调研考试]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围为( )
A．[1,2] B．[eq \r(2)，eq \r(3)]
C．[eq \r(2)，4] D．[1,4]
13．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若|BD|＝|DF1|，则椭圆C的离心率为________．
课时作业48
1．解析：连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.
答案：A
2．解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq \r(5－k)，由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，得eq \f(\r(5－k),3)＝eq \f(4,5)，得k＝－eq \f(19,25)；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c2＝k－5，由eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，得eq \f(k－5,4＋k)＝eq \f(16,25)，得k＝21.综上可知，选C.
答案：C
3．解析：由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△F2AB的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq \r(5)，所以a＝eq \r(5)，所以椭圆E：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,b2)＝1.
不妨令点C是F1A的中点，点A在第一象限，因为F1(－c,0)，所以点A的横坐标为c，所以eq \f(c2,5)＋eq \f(y2,b2)＝1，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,\r(5))))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b2,2\r(5))))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2c，－\f(b2,2\r(5)))).把点B的坐标代入椭圆E的方程，得eq \f(4c2,5)＋eq \f(\f(b4,20),b2)＝1，即eq \f(4c2,5)＋eq \f(b2,20)＝1，化简得b2＝20－16c2.又b2＝5－c2，所以20－16c2＝5－c2，得c2＝1，所以b2＝4，所以椭圆E的标准方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：A
4．解析：如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝eq \f(a,2)，|AF2|＝eq \f(3a,2).所以eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(1,3).故选A.
答案：A
5．解析：如图，设P(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意有A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，－\f(y1,2)))，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1 ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1 ②))，
①－②得eq \f((x1＋x2)(x1－x2),a2)＝－eq \f((y1＋y2)(y1－y2),b2)，
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，所以kPB＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
因为kAD＝kAB，所以eq \f(y1,4x1)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)，所以kPA＝eq \f(y1,x1)＝eq \f(4(y1＋y2),x1＋x2).
因为PA⊥PB，所以kPA·kPB＝－1，所以－eq \f(4b2,a2)＝－1，因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(3,4)，又e＝eq \f(c,a)∈(0,1)，所以e＝eq \f(\r(3),2)，故选C.
答案：C
6．解析：因为|QF1|＝eq \f(2,3)|QF2|，|QF1|＋|QF2|＝20，所以|QF1|＝8，|QF2|＝12.又|F1F2|2＝4×(100－48)＝208，所以|QF1|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，所以△QF1F2是直角三角形，所以S△QF1F2＝eq \f(1,2)×|QF1|×|QF2|＝eq \f(1,2)×8×12＝48.
答案：48
7．解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝eq \r(36－20)＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，设M(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝(x＋4)2＋y2＝64，x>0，y>0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐标为(3，eq \r(15))．
答案：(3，eq \r(15))
8．解析：因为直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的左焦点F，所以F(－eq \r(3)，0)，则右焦点F′(eq \r(3)，0)，即c＝eq \r(3)，直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)＝0与y轴交于点C(0,1)，由eq \(FA,\s\up6(→))＝2eq \(FC,\s\up6(→))，知C为AF的中点，故A(eq \r(3)，2)，因为点A在椭圆上，所以由椭圆的定义得2a＝|AF|＋|AF′|＝6，即a＝3，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
9．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(3)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以a＝2，b＝1，所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝x＋m，))消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则Δ>0，得m2<5.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(8m,5)，x1x2＝eq \f(4(m2－1),5)，
|PQ|＝ eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8m,5)))2－\f(16(m2－1),5))))＝2.
解得m＝±eq \f(\r(30),4)，满足(*)，所以m＝±eq \f(\r(30),4).
10．解析：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))
得b＝eq \r(2)，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.Δ＝24k2＋16>0恒成立．
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－4,1＋2k2)，
所以|MN|＝
eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)
＝eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])
＝eq \f(2\r((1＋k2)(4＋6k2)),1＋2k2).
又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))，
所以△AMN的面积S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq \f(\r(10),3)，得k＝±1.
所以当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时，k＝±1.
11．解析：设该卫星远地点离地面的距离为r′，则由题意分析可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝r＋Ra＋c＝r′＋R))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(r＋r′＋2R,2),c＝\f(r′－r,2)))，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(r′－r,r＋r′＋2R)，解得r′＝eq \f(1＋e,1－e)r＋eq \f(2e,1－e)R，故选A.
答案：A
12．解析：解法一 由已知得2b＝2，故b＝1.∵△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，∴eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，∴a－c＝2－eq \r(3)，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq \r(3)，∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq \f(4,|PF1|(4－|PF1|))＝eq \f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，又2－eq \r(3)≤|PF1|≤2＋eq \r(3)，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)≤4，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围为[1,4]．故选D.
解法二 依题意得2b＝2，b＝1.由△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)得eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，a－c＝2－eq \r(3).又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq \r(3).设点P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2，则|PF1|＝a＋ex0＝2＋eq \f(\r(3),2)x0，|PF2|＝a－ex0＝2－eq \f(\r(3),2)x0，eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(1,2＋\f(\r(3),2)x0)＋eq \f(1,2－\f(\r(3),2)x0)＝eq \f(16,16－3x\\al(2,0))∈[1,4]，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是[1,4]，选D.
解法三 依题意得2b＝2，b＝1.由△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)得eq \f(1,2)(a－c)b＝eq \f(2－\r(3),2)，a－c＝2－eq \r(3).又a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝b2＝1∴a＝2，c＝eq \r(3).设点P(x0，y0)，其中－2≤x0≤2，则|PF1|＝a＋ex0＝2＋eq \f(\r(3),2)x0，|PF2|＝a－ex0＝2－eq \f(\r(3),2)x0，|PF1|·|PF2|＝4－eq \f(3,4)xeq \\al(2,0)∈[1,4]，∴eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)＝eq \f(|PF1|＋|PF2|,|PF1|·|PF2|)＝eq \f(4,|PF1|·|PF2|)∈[1,4]，即eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是[1,4]，选D.
答案：D
13．解析：如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．
由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，
又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，
∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝eq \f(a,2).
作DE⊥x轴于E，
则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝eq \f(a,2)×eq \f(b,a)＝eq \f(b,2)，
|F2E|＝|DF2|cs∠DF2E＝eq \f(a,2)×eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)，
∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋eq \f(c,2)＝eq \f(3c,2)，
∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).
又点D在椭圆上，
∴eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3c,2)))2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2,b2)＝1，整理得3c2＝a2，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案： eq \f(\r(3),3)