2022版高考人教版数学一轮练习：考案【10文】第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布（文）

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：考案【10文】第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布（文），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2020·辽宁质量测试)从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中且乙未被选中的概率是( B )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
[解析] 4个人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁六种，其中甲被选中且乙未被选中的事件有甲丙、甲丁两种，故概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，故选B.
2．(2021·华大新高考联盟质量测评)世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题题中的正六边形棋盘，用三种全等(仅朝向和颜色不同)的菱形图案全部填满(如图)，向棋盘内随机投掷1点，则该点不落在黑色区域内的概率为( B )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,4)
[解析] 由图可知，棋盘共计48个菱形，其中有16个黑色的菱形，故所求概率P＝1－eq \f(16,48)＝eq \f(2,3)，故选B.
3．(2021·百师联盟联考)已知某旅游城市2020年前10个月的游客人数(万人)按从小到大的顺序排列如下：3,5,6,9，x，y,15,17,18,21，若该组数据的中位数为13，则该组数据的平均数为( A )
A．12 B．10.7
C．13 D．15
[解析] 由题x＋y＝26，平均数为eq \f(1,10)(3＋5＋6＋9＋26＋15＋17＋18＋21)＝12.
4．(2021·贵州黔东南州模拟)现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为( B )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(3,10)
C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,2)
[解析] 两对情侣的所有选择方案为：(巴黎、厦门)，(巴黎、马尔代夫)，(巴黎、三亚)，(巴黎、泰国)，(厦门，马尔代夫)，(厦门，三亚)，(厦门，泰国)，(马尔代夫，三亚)，(马列尔代夫，泰国)，(三亚，泰国)，共有10种选择，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件有：(巴黎、马尔代夫)，(巴黎、泰国)，(马列尔代夫，泰国)，共3种，∴这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率P＝eq \f(3,10)，故选B.
5．(2021·全国新课改T8联考)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 按照程序框图执行程序，输入s＝1，n＝1，s＝－1＋13＝0，不满足s>100，循环；
n＝2，s＝0＋23＝8，不满足s>100，循环；
n＝3，s＝－8＋33＝19，不满足s>100，循环；
n＝4，s＝－19＋43＝45，不满足s>100，循环；
n＝5，s＝－45＋53＝80，不满足s>100，循环；
n＝6，s＝－80＋63＝136，满足s>100，输出n＝6.
6．(2021·四川天府名校联考)一个三角形的三边长分别为6,8,10，圆O为其内切圆，现向该三角形内随机投掷一个点，则此点落入内切圆内的概率为( A )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,8)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,9)
[解析] 依题意，此三角形为一个直角三角形，设圆的半径为r，则r＝eq \f(\f(1,2)×6×8,\f(1,2)×6＋8＋10)＝2，设此点落入内切圆内为事件A，则P(A)＝eq \f(π×22,\f(1,2)×6×8)＝eq \f(π,6).故选A．
7．(2020·海南联考)甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则( B )
A．甲得分的平均数比乙的大 B．乙的成绩更稳定
C．甲得分的中位数比乙的大 D．甲的成绩更稳定
[解析] 甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，甲得分的方差明显比乙大．故选B.
8．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别不相同的概率为( A )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(3,10)
[解析] 将3名男生记为M1，M2，M3,2名女生记为W1，W2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M1，M2)，(M1，M3)，(M1，W1)，(M1，W2)，(M2，M3)，(M2，W1)，(M2，W2)，(M3，W1)，(M3，W2)，(W1，W2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件有6种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，选A．
9. (2021·河北衡水金卷联考)如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O.若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为( C )
A．eq \f(3π－2,8) B．eq \f(π,8)
C．eq \f(π＋2,8) D．eq \f(6－π,8)
[解析] 设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为π·12－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(1,2)))＝eq \f(π,2)＋1，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为eq \f(\f(π,2)＋1,4)＝eq \f(π＋2,8).故选C.
10．(2021·湖北孝感联考)甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为( A )
A．60% B．50%
C．40% D．30%
[解析] 设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A＋C，则P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，即P(A)＝P(B)－P(C)＝40%，乙获胜的概率为10%，则乙不输的概率为60%.故选A．
11．从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为( B )
A．eq \f(14,15) B．eq \f(4,5)
C．eq \f(3,5) D．eq \f(1,5)
[解析] 设这3双鞋分别为A1A2，B1B2，C1C2，则随机取出2只的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15个，其中取出的2只鞋不成双的基本事件有12个，所以所求概率P＝eq \f(12,15)＝eq \f(4,5)，故选B.
12．(2019·太原模拟)从[0,2]内随机取两个数，则这两个数的和小于1的概率为( B )
A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,2)
[解析] 设取出的两个数分别为x，y，则0≤x≤2,0≤y≤2，其表示的区域的面积为4，而x＋y<1表示的区域为直线x＋y＝1(不包括直线x＋y＝1)的下方，且在0≤x≤2,0≤y≤2表示的区域的内部，如图中阴影部分所示，易得其面积为eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，故从[0,2]内随机取两个数，这两个数之和小于1的概率是eq \f(\f(1,2),4)＝eq \f(1,8).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．从分别写有1,2,3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 eq \f(2,3) .
[解析] 从分别写有1,2,3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，所得基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种，其中抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种，所以所求概率P＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).
14．(2020·陕西汉中质检)已知某市的1路公交车每5分钟发车一次，小明到达起点站乘车的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是 eq \f(2,5) .
15．(2021·四川广安、遂宁、资阳等七市联考)如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 15 .
[解析] 根据等高条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为eq \f(300,460)×23＝15人．故答案为15.
16．(2021·山东荷泽模拟)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为 eq \f(2,5) .
[解析] 从5个数字中任取3个的取法有(4,5,6)，(3,5,6)，(3,4,6)，(3,4,5)，(2,5,5)，(2,4,6)，(2,4,5)，(2,3,6)，(2,3,5)，(2,3,4)共10个，其中和为偶数的有4个，故所求概率为P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2020·河南阶段测试)《哪吒之魔童降世》于2019年7月26日在中国上映，据统计，2019年8月31日15点15分，《哪吒之魔童降世》超越《流浪地球》，升至中国影史票房榜第二位，某电影院为了解观看该影片的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，得到如下的频数统计图．
(1)估计所调查的40名观众年龄的平均数和中位数；
(2)在上述40名观众中，若从年龄在[50,70)的范围内选出2人进行观后采访，求这2人至少有1人的年龄在[50,60)的概率．
[解析] (1)平均数为
eq \f(15×6＋25×8＋35×12＋45×6＋55×4＋65×2＋75×2,40)
＝37
设中位数为x，
则0.15＋0.2＋0.03(x－30)＝0.5，解得x＝35，
所以中位数为35.
(2)年龄在[50,60)有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60,70)有2人，设为A，B，从这6人中取出2人共15种情况，分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，其中2人中至少有1人年龄在[50,60)内有14种情况，所以至少有1人的年龄在[50,60)的概率为eq \f(14,15).
18．(本小题满分12分)(2021·湖南长沙雅礼、长郡、一中、附中联考)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi{1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为eq \(x,\s\up6(－))，求|xi－eq \(x,\s\up6(－))|<0.5的概率．
[解析] (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得eq \f(50,n)＝eq \f(10,100＋300)，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意eq \f(400,1 000)＝eq \f(a,5)，得a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个， 事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2), (A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故P(E)＝eq \f(7,10)，即所求概率为eq \f(7,10).
(3)样本平均数
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，
所以P(D)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，即所求概率为eq \f(3,4).
19．(本小题满分12分)(2020·福建模拟)某商场为迎新年举行了有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：从装有3个红球、3个白球(仅颜色不同)的口袋中一次摸出2个球，若全是红球，则获得奖金50元；若有1个红球，则获得奖金10元；其他情况，没有奖金．已知顾客甲获得一次抽奖的机会．
(1)求他获得50元奖金的概率；
(2)顾客甲认为口袋中的红球与白球个数相同，不如把口袋中的红球和白球各减少1个，摸球过程还简单，当他提出方案后，商场马上同意了他的方案，试问顾客甲提出的方案是否对商场有利？试说明理由．
[解析] (1)记3个红球分别为A，B，C,3个白球分别为a，b，c，
则一次摸出2个球，所有结果为{A，B}，{A，C}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{B，C}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{C，a}，{C，b}，{C，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共15种．
记事件M为“顾客甲获得50元奖金”，即顾客甲一次摸出2个红球，包含的结果有{A，B}，{A，C}，{B，C}，共3种．
所以P(M)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
(2)有利．理由如下：
由(1)知，原方案中，顾客甲获得50元奖金的概率为eq \f(1,5)，
事件“顾客甲获得10元奖金”包含{A，a}，{A，b}，{A，c}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{C，a}，{C，b}，{C，c}，共9种情况，
所以“顾客甲获得10元奖金”的概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
若将口袋中的红球与白球各减少1个，并记2个红球分别为D，E,2个白球分别为d，e，
则一次摸出2个小球，不同的结果为{D，E}，{D，d}，{D，e}，{E，d}，{E，e}，{d，e}，共6种，
记事件N为“顾客甲获得50元奖金”，即顾客甲一次摸出2个红球，包含的结果只有{D，E}1种，故P(N)＝eq \f(1,6)，
事件“顾客甲获得10元奖金”记为T，事件T包含的结果有{D，d}，{D，e}，{E，d}，{E，e}，共4种，
所以P(T)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
原方案：顾客甲获得奖金的期望值为50×eq \f(1,5)＋10×eq \f(3,5)＝16(元)．
改变后的方案：顾客甲获得奖金的期望值为50×eq \f(1,6)＋10×eq \f(2,3)＝15(元)．
所以顾客甲提出的方案对商场有利．
20．(本小题满分12分)(2021·四川成都质检)一网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这100名“乡土直播员”中每天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”根据实际评选结果得到了下面2×2列联表：
(1)根据列联表判断是否有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？
(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，求这两人中恰有一男一女的概率．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
[解析] (1)由题中2×2列联表可得，
K2＝eq \f(10010×30－20×402,50×50×30×70)＝4.762>3.841.
∴有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系．
(2)在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取6人，男性人数为6×eq \f(10,30)＝2人，
记为A，B；女性人数为6×eq \f(20,30)＝4人，
记为a，b，c，d.
则从这6人中随机抽取2人的所有可能情况有以下(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．
其中，选中的2人中恰有一男一女的所有可能情况有以下(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)共8种．
∴选中的2人中恰有一男一女的概率P＝eq \f(8,15).
21．(本小题满分12分)(2021·四川广安、内江、眉山、遂宁联合诊断)今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争．那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：
(1)根据如上的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关”？
(2)计算这80位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校10 000名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；
(3)为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率．
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
(n＝a＋b＋c＋d)．
附表：
[解析] (1)根据列联表中的数据，得到K2的观测值为
k＝eq \f(80×30×5－35×102,40×40×65×15)＝eq \f(80,39)<3.841，
故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为““扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关”．
(2)这80位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率为eq \f(30＋35,80)＝eq \f(13,16)，
据此估算该校10 000名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数为10 000×eq \f(13,16)＝8 125.
(3)设选取的2位男生和3位女生分别记为A1，A2，B1，B2，B3，随机选取3次采访的所有结果为(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，B3)，(A1，B2，B3)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，B3)，(A2，B2，B3)，(B1，B2，B3)共有10个基本事件，
至少有一位男生的基本事件有9个，故所求概率为eq \f(9,10).
22．(本小题满分12分)(2021·甘肃诊断)某农科院为试验冬季昼夜温差对反季节大豆新品种发芽的影响，对温差与发芽率之间的关系进行统计分析研究，记录了6天昼夜温差与实验室中种子发芽数的数据如下：
他们确定的方案是先从这6组数据中选出2组，用剩下的4组数据求回归方程，再用选取的两组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据1月2,3,4,5日的数据求出y关于x的线性回归方程(保留两位小数)，并检验此方程是否可靠．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^)) eq \(x,\s\up6(－)).
[解析] (1)从6组数据中任选2组数据，共有15个基本事件，(1.1,1.2)，(1.1,1.3)(1.1,1.4)(1.1,1.5)(1.1,1.6)，(1.2,1.3)(1.2,1.4)(1.2,1.5)(1.2,1.6)，(1.3,1.4)(1.3,1.5)(1.3,1.6)，(1.4,1.5)(1.4,1.6)，(1.5,1.6)．
记这2组数据恰好是相邻两天数据为事件A，
则A中有(1.1,1.2)(1.2,1.3)(1.3,1.4)(1.4,1.5)(1.5,1.6)，共5个基本事件，
故P(A)＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3).
(2)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(11＋13＋12＋8)＝11，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)(27＋30＋32＋21)＝27.5，
所以
eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(11×27＋12×30＋13×32＋8×21－4×11×27.5,121＋169＋144＋64－4×121)
＝eq \f(1 241－1 210,498－484)≈2.21，
eq \(a,\s\up6(^))＝27.5－2.21×11＝3.19.
所求的回归方程为y＝2.21x＋3.19.
当x＝10时，y＝25.29，|25.29－26|<1，
当x＝9时，y＝25.08，|23.08－24|<1.
故此线性回归方程是可靠的．
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
网红乡土直播员
乡土直播达人
合计
男
10
40
50
女
20
30
50
合计
30
70
100
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不相同
相同
合计
男
30
10
40
女
35
5
40
合计
65
15
80
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
日期
1月1日
1月2日
1月3日
1月4日
1月5日
1月6日
温差x(摄氏度)
10
11
12
13
8
9
发芽数y(粒)
26
27
30
32
21
24