2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第6章第4讲 数列求和及数列的综合应用

这是一份2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第6章第4讲 数列求和及数列的综合应用，共55页。PPT课件主要包含了考法帮·解题能力提升，提素养∙数学文化，提能力∙数学探索，考情解读，素养探源等内容，欢迎下载使用。

考法1 数列求和考法2 等差、等比数列的综合问题考法3 数列与其他知识综合考法4 数列的实际应用
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学探索 数列的新定义问题
数学文化 数列与数学文化
考法1 等比数列求和
命题角度2　用错位相减法求和示例2 [2020全国卷Ⅰ,17,12分][理]设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解析 (1)设{an}的公比为q(q≠1),由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=-2.故{an}的公比为-2.
方法技巧1.用错位相减法求和的策略和技巧(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列.(2)求解思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn　①,则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1　②,①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,进而可利用公式法求和.
2.注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q≠1两种情况求解.3.谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的(n-1)项和当作n项和.
方法技巧1.利用裂项相消法求和的基本步骤
2.裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.3.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
注意 利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.4.常见数列的裂项方法
方法技巧　用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“(-1)n”,如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050,可采用两项合并求解;三是数列{an}是周期数列.
考法2 等差、等比数列的综合问题
示例6 数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式;(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.思维导引 (1)根据已知的递推关系求{an}的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和Tn易求..
考法3 数列与其他知识综合
命题角度1　数列与函数综合示例7 [2020大庆二模]设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=sin πx.当x∈[0,+∞)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,b3,…,bn,…,则数列{an+bn}的前9项和为　　　　. 思维导引 正确理解类周期函数所满足的关系式f(x+1)=2f(x)的意义,求出x∈[1,2)时f(x)的解析式,从而推出x∈[n-1,n)时f(x)的解析式,进而得解.
方法技巧　　 数列与函数的综合问题的解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等进行研究.(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.(3)解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.注意 数列是自变量为正整数的特殊函数.
方法技巧1.数列与不等式的综合问题的解题策略(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.(2)对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明.
考法4 数列的实际应用
示例9 实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:从2021年开始到2030年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2031年开始到2040年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(记2021年为第一年);(2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2040年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.9910≈0.9)
方法技巧1.数列在实际应用中的常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项an与第(n+1)项an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系.
2.解答数列实际应用题的步骤(1)审题:仔细阅读题目,认真理解题意.(2)建模:将已知条件翻译成数列语言,将实际问题转化成数学问题,分清数列是等差数列、等比数列,还是递推数列,是求通项还是求前n项和.(3)求解:求出该问题的数学解.(4)还原:将所求结果还原到实际问题中.
素养提升　数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.有关数列的应用问题,是为了让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表达数列问题,用数学的知识构建数列模型,用数列的方法得出结论,并验证数学结论与实际问题是否相符合,最终得到符合实际规律的结果.
高分帮·“双一流”名校冲刺
提能力 ∙ 数学探索数学探索 互嵌式数列组问题的解题策略提素养∙ 数学文化数学文化 数列与数学文化
数学探索 数列的新定义问题
示例10 [2016全国卷Ⅱ,17,12分][理]Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1 000项和.思维导引
解析 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(2)记{bn}的前n项和为Tn,则T1 000=b1+b2+…+b1 000=[lg a1]+[lg a2]+…+[lg a1 000],当0≤lg an<1时,n=1,2,…,9;当1≤lg an<2时,n=10,11,…,99;当2≤lg an<3时,n=100,101,…,999;
方法技巧　1.数列新定义问题的特点:通过给出一个新的数列的概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.2.数列新定义问题的解题思路:遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
数学文化 数列与数学文化