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专题05 函数 专项练习-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）
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专题五 《函数》专项练习
一．选择题（共14小题）
1．幂函数y＝f（x）的图象经过点(3，33)，则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α是常数），
∵幂函数f（x）的图象经过点(3，33)，
∴3α=33=313，则α=13，
即f(x)=x13，
∴函数的定义域是R，且f(-x)=-x13=-f(x)，
∴f(x)=x13是奇函数，
∵α=13＞0，∴f（x）在（0，+∞）上递增，
故选：C．
2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则（ ）
A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab
【解答】解：∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，
∴设log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝ab．
故选：C．
3．设函数f(x)=x-3，(x≥10)f(f(x+5))，(x＜10)，则f（5）＝（ ）
A．2 B．6 C．8 D．4
【解答】解：∵f（x）=x-3，(x≥10)f(f(x+5))，(x＜10)，
∴f（5）＝f[f（5+5）]＝f（f（10））＝f（7）＝f[f（12）]＝f（9）＝f[f（14）]＝f（11）＝11﹣3＝8．
故选：C．
4．函数y=xcosx+ln|x|x的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：显然函数y=xcosx+ln|x|x为奇函数，图象关于原点对称，
又当x＝π时，y=πcosπ+ln|π|π=-π+lnππ＜0，
由选项可知，只有A符合．
故选：A．
5．函数f(x)=(1-2a)x+3a(x＜1)lnx(x≥1)的值域为R，则实数a的范围（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．[12，1] C．[-1，12) D．(0，12)
【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，
当1﹣2a＝0，即a=12时，当x＜1时，f（x）=32，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＜0，即a＞12时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＞0，即a＜12时，当x＜1时，f（x）＜1+a，
要使满足f（x）的值域为R，
则1+a≥0，即a≥﹣1，
综上﹣1≤a＜12，
故选：C．
6．若a＝0.32，b＝20.3，c＝log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【解答】解：∵0＜a＝0.32＜1，b＝20.3＞1，c＝log0.32＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（ ）
A．f（log23）＜f（log32）＜f（log213）
B．f（log213）＜f（log23）＜f（log32）
C．f（log213）＜f（log32）＜f（log23）
D．f（log32）＜f（log213）＜f（log23）
【解答】解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，
由log213＜log32＜log23可得f(log213)＜f(log32)＜f(log23)，
故选：C．
8．已知函数f（x）＝ln（x﹣2）+ln（6﹣x），则（ ）
A．f（x）在（2，6）上单调递增
B．f（x）在（2，6）上的最大值为2ln2
C．f（x）在（2，6）上单调递减
D．y＝f（x）的图象关于点（4，0）对称
【解答】解：f（x）＝ln（x﹣2）+ln（6﹣x）＝ln[（x﹣2）（6﹣x）]，定义域为（2，6），
令t＝（x﹣2）（6﹣x），则y＝lnt，二次函数t＝（x﹣2）（6﹣x）的对称轴为直线x＝4，
所以f（x）在（2，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，A错，C也错，D显然是错误的；
当x＝4时，t有最大值，所以f（x）max＝ln（4﹣2）+ln（6﹣4）＝2ln2，B正确．
故选：B．
9．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．(-∞，23)∪(2，+∞) B．(23，2)
C．(-23，23) D．(-∞，-23)∪(23，+∞)
【解答】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增，
又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，
解可得：x＜-23或x＞23，
即不等式的解集为（﹣∞，-23）∪（23，+∞）；
故选：D．
10．定义在R上的奇函数f（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，且f（2）＝0，则不等式f(-x)-2f(x)x≤0的解集为（ ）
A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣∞，﹣2]∪（0，2]
C．[﹣2，0）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，
所以奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f（2）＝0，
则不等式f(-x)-2f(x)x≤0可转化为-3f(x)x≤0，即f(x)x≥0，
即f(x)≥0x＞0或f(x)≤0x＜0，
解得0＜x≤2或﹣2≤x＜0．
故选：A．
11．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣e1﹣x+12sinπx，实数a，b满足不等式f（3a+b）+f（a﹣1）＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．4a+b＞3 B．4a+b＜3 C．2a+b＞﹣1 D．2a+b＜﹣1
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣1﹣e1﹣x+12sinπx，
∴f（2﹣x）＝e1﹣x﹣ex﹣1+12sin（2π﹣2x）＝e1﹣x﹣ex﹣1-12sin2x＝﹣f（x），
即函数f（x）关于（1，0）对称，
f′（x）＝ex﹣1+e1﹣x+12πcosπx≥2ex-1⋅e1-x+12πcosπx＝2+12πcosπx，
∵-12π≤12πcosπx≤12π，∴2-12π≤2+12πcosπx≤2+12π，
∴f′（x）＞0恒成立，则f（x）是增函数，
∵f（3a+b）+f（a﹣1）＞0，
∴f（3a+b）＞﹣f（a﹣1）＝f（3﹣a），
则3a+b＞3﹣a，得4a+b＞3，
故选：A．
12．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x2，则函数g(x)=f(x)-log12|x|的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x）
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得周期T＝4，
又∵f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝f（﹣x），
可得函数f（x）关于x＝1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）＝2x2，
作出f（x）与y=log12|x|图象如下图，
结合函数的图象可知，图象的交点有4个．
即函数g(x)=f(x)-log12|x|的零点个数为4个．
故选：B．
13．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4） B．（3.5，4] C．（3，4] D．[3，4）
【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），
即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，
又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，
其图象如图所示：
在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），
故选：A．
14．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2（1+SN），它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W、而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：lg2＝0.3010）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时，
C大约增加了Wlog2(1+5000)-Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)
=log25001-log21001log21001≈lg5000lg2-lg1000lg2lg1000lg2
=1-lg23≈0.23＝23%．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
15．若10a＝4，10b＝25，则（ ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
【解答】解：∵10a＝4，10b＝25，
∴a＝lg4，b＝lg25，
∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，
b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg254＞lg6，
ab＝2lg2×2lg5＝4lg2•lg5＞8lg22＝4lg2•lg4．
故选：AC．
16．函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A．f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值
B．f（x）在（1，+∞）上递减且无最小值
C．f（x）在定义域内是偶函数
D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
E．∃a＝2020，满足f（x）在（0，1）上是减函数
【解答】解：∵函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，
∴f（x）＝loga（1﹣x）在（0，1）上是减函数，而y＝1﹣x是减函数，则a＞1，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＝loga|x﹣1|＝loga（x﹣1），y＝x﹣1是增函数，而a＞1，
则f（x）在（1，+∞）上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，
f（x）＝loga|x﹣1|的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，
∴f（x）为非奇非偶函数，故C错误；
f（2﹣x）＝loga|2﹣x﹣1|＝loga|x﹣1|＝f（x），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故D正确；
由a＞1可知，E正确．
故选：ADE．
17．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）是周期为4的周期函数
B．f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
C．x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＝2x+6
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
【解答】解：因为f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；
因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（2﹣x）＝f（x），
则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，故选项A正确；
当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则1﹣x∈[0，1），1+x∈（1，2]，
所以f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣2（1﹣x）＝2x﹣2，
所以f（x）＝2x﹣4，∈（1，2]，
故f(x)=2x+4，-2≤x＜-1-2x，-1≤x≤12x-4，1＜x≤2，故选项C错误；
在[﹣2，2）一个区间上的零点为﹣2，0，由周期性可得，f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}，故选项B正确．
故选：ABD．
18．对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x-2)，x∈(2，+∞)，下列结论正确的是（ ）
A．任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立
B．f（x）＝2kf（x+2k） （k∈N*） 对于一切x∈[0，+∞） 恒成立
C．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点
D．对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立，则实数k的取值范围是[12，+∞）
【解答】解：函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x-2)，x∈(2，+∞)，的图象如图所示：
A．f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故A正确；
B．f（12）＝2f（12+2）＝4f（12+4）＝6f（12+6）≠8f（12+8），故B不正确；
C．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），
当x＝2时，y＝sin2π﹣ln1＝0，
而f（x）＝sinπx是周期为2的类正弦函数曲线；当x＞2时，f（x+2k）＝（12）kf（x），图象只发生振幅变化，
y＝ln（x﹣1）为对数函数y＝lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），
做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，
则f（x）＝有3个零点正确，故C正确；
D．对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立，
则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，
则实数k→+∞，
把（52，12）代入，可得k≥54，故D不正确．
故选：AC．
三．填空题（共6小题）
19．若函数y＝loga（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝ 9 ．
【解答】解：对于函数y＝loga（x﹣1）+4，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝4，可得它的图象恒过定点P（2，4），
∵点P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，即f（x）＝x2，
∴f（3）＝32＝9，
故答案为：9．
20．函数f（x）＝log12（﹣2x2+x）的单调增区间是 [14，12） ；f（x）的值域是 [3，+∞） ．
【解答】解：函数f（x）＝log12（﹣2x2+x）的单调增区间，
即函数y＝﹣2x2+x在满足y＞0的条件下，函数y的减区间．
∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣x（2x﹣1），
故在y＞0的条件下，函数y的减区间为[14，12）．
∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣2(x-14)2+18∈（0，18]，
故f（x）＝log12 y∈[3，+∞）．
故答案为：[14，12）；[3，+∞）．
21．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ 1 ．
【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，
则f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）2﹣2]＝1；
故答案为：1．
22．已知函数f（x）＝|lnx|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2，则nm的值为 e2 ．
【解答】解：∵f（m）＝f（n），
∴﹣lnm＝lnn
∴mn＝1．
∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，
∴f（x）在区间[m2，1m]上的最大值为2，
∴﹣lnm2＝2，则lnm＝﹣1，解得m=1e，
∴n＝e，
∴nm=e2，
故答案为：e2．
23．已知函数f（x）=x+1≤0，log2x，则函数y＝f[f（x）]+1的零点个数是 4 个．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x+1，
当﹣1＜x≤0时，f（x）＝x+1＞0
y＝f[f（x）]+1＝log2（x+1）+1＝0，
x+1=12，x=-12．
当x≤﹣1时，f（x）＝x+1≤0，
y＝f[f（x）]+1＝f（x）+1+1＝x+3＝0，
∴x＝﹣3．
当x＞0时，f（x）＝log2x，
y＝f[f（x）]+1＝f（log2x）+1，
当0＜x＜1时，f（x）＝log2x＜0，
y＝f[f（x）]+1＝log2[f（x）]+1＝log2（log2x+1）+1＝0，
∴log2x+1=12，x=22；
当x＞1时，f（x）＝log2x＞0，
∴y＝f[f（x）]+1＝log2（log2x）+1＝0，
∴log2x=12，x=2．
综上所述，y＝f[f（x）]+1的零点是x＝﹣3，或x=-12，或x=22，或x=2．
故答案为：4．
24．偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（43）＝ 23 ，则若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是 （0，14] ．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），
∴f（x）＝f（x+2），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（43）＝f（43-2）＝f（-23）＝f（23）=23，
若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，
则f（﹣x）＝﹣x＝f（x），
即f（x）＝x，﹣1≤x≤0，
由g（x）＝f（x）﹣kx﹣k＝0得f（x）＝k（x+1），
要使函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点
等价为函数f（x）与g（x）＝k（x+1）有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
g（x）过定点A（﹣1，0），f（3）＝1，
则k满足0＜g（3）≤1，
即0＜4k≤1，得0＜k≤14，
即实数k的取值范围是（0，14]，
故答案为：23，（0，14]
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日期：2021/6/17 21:02:36；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
专题五 《函数》专项练习
一．选择题（共14小题）
1．幂函数y＝f（x）的图象经过点(3，33)，则f（x）是（ ）
A．偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α是常数），
∵幂函数f（x）的图象经过点(3，33)，
∴3α=33=313，则α=13，
即f(x)=x13，
∴函数的定义域是R，且f(-x)=-x13=-f(x)，
∴f(x)=x13是奇函数，
∵α=13＞0，∴f（x）在（0，+∞）上递增，
故选：C．
2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则（ ）
A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab
【解答】解：∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，
∴设log2a＝log3b＝log6c＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝6k，
∴c＝ab．
故选：C．
3．设函数f(x)=x-3，(x≥10)f(f(x+5))，(x＜10)，则f（5）＝（ ）
A．2 B．6 C．8 D．4
【解答】解：∵f（x）=x-3，(x≥10)f(f(x+5))，(x＜10)，
∴f（5）＝f[f（5+5）]＝f（f（10））＝f（7）＝f[f（12）]＝f（9）＝f[f（14）]＝f（11）＝11﹣3＝8．
故选：C．
4．函数y=xcosx+ln|x|x的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：显然函数y=xcosx+ln|x|x为奇函数，图象关于原点对称，
又当x＝π时，y=πcosπ+ln|π|π=-π+lnππ＜0，
由选项可知，只有A符合．
故选：A．
5．函数f(x)=(1-2a)x+3a(x＜1)lnx(x≥1)的值域为R，则实数a的范围（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．[12，1] C．[-1，12) D．(0，12)
【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，
当1﹣2a＝0，即a=12时，当x＜1时，f（x）=32，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＜0，即a＞12时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＞0，即a＜12时，当x＜1时，f（x）＜1+a，
要使满足f（x）的值域为R，
则1+a≥0，即a≥﹣1，
综上﹣1≤a＜12，
故选：C．
6．若a＝0.32，b＝20.3，c＝log0.32，则a，b，c由大到小的关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【解答】解：∵0＜a＝0.32＜1，b＝20.3＞1，c＝log0.32＜0，
∴c＜a＜b．
故选：B．
7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（ ）
A．f（log23）＜f（log32）＜f（log213）
B．f（log213）＜f（log23）＜f（log32）
C．f（log213）＜f（log32）＜f（log23）
D．f（log32）＜f（log213）＜f（log23）
【解答】解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，
由log213＜log32＜log23可得f(log213)＜f(log32)＜f(log23)，
故选：C．
8．已知函数f（x）＝ln（x﹣2）+ln（6﹣x），则（ ）
A．f（x）在（2，6）上单调递增
B．f（x）在（2，6）上的最大值为2ln2
C．f（x）在（2，6）上单调递减
D．y＝f（x）的图象关于点（4，0）对称
【解答】解：f（x）＝ln（x﹣2）+ln（6﹣x）＝ln[（x﹣2）（6﹣x）]，定义域为（2，6），
令t＝（x﹣2）（6﹣x），则y＝lnt，二次函数t＝（x﹣2）（6﹣x）的对称轴为直线x＝4，
所以f（x）在（2，4）上单调递增，在（4，6）上单调递减，A错，C也错，D显然是错误的；
当x＝4时，t有最大值，所以f（x）max＝ln（4﹣2）+ln（6﹣4）＝2ln2，B正确．
故选：B．
9．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（ ）
A．(-∞，23)∪(2，+∞) B．(23，2)
C．(-23，23) D．(-∞，-23)∪(23，+∞)
【解答】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增，
又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，
解可得：x＜-23或x＞23，
即不等式的解集为（﹣∞，-23）∪（23，+∞）；
故选：D．
10．定义在R上的奇函数f（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，且f（2）＝0，则不等式f(-x)-2f(x)x≤0的解集为（ ）
A．[﹣2，0）∪（0，2] B．（﹣∞，﹣2]∪（0，2]
C．[﹣2，0）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解答】解：因为定义在R上的奇函数f（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，
所以奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f（2）＝0，
则不等式f(-x)-2f(x)x≤0可转化为-3f(x)x≤0，即f(x)x≥0，
即f(x)≥0x＞0或f(x)≤0x＜0，
解得0＜x≤2或﹣2≤x＜0．
故选：A．
11．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣e1﹣x+12sinπx，实数a，b满足不等式f（3a+b）+f（a﹣1）＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A．4a+b＞3 B．4a+b＜3 C．2a+b＞﹣1 D．2a+b＜﹣1
【解答】解：∵f（x）＝ex﹣1﹣e1﹣x+12sinπx，
∴f（2﹣x）＝e1﹣x﹣ex﹣1+12sin（2π﹣2x）＝e1﹣x﹣ex﹣1-12sin2x＝﹣f（x），
即函数f（x）关于（1，0）对称，
f′（x）＝ex﹣1+e1﹣x+12πcosπx≥2ex-1⋅e1-x+12πcosπx＝2+12πcosπx，
∵-12π≤12πcosπx≤12π，∴2-12π≤2+12πcosπx≤2+12π，
∴f′（x）＞0恒成立，则f（x）是增函数，
∵f（3a+b）+f（a﹣1）＞0，
∴f（3a+b）＞﹣f（a﹣1）＝f（3﹣a），
则3a+b＞3﹣a，得4a+b＞3，
故选：A．
12．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x2，则函数g(x)=f(x)-log12|x|的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x）
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得周期T＝4，
又∵f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x+2）＝f（﹣x），
可得函数f（x）关于x＝1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）＝2x2，
作出f（x）与y=log12|x|图象如下图，
结合函数的图象可知，图象的交点有4个．
即函数g(x)=f(x)-log12|x|的零点个数为4个．
故选：B．
13．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（ ）
A．[3.5，4） B．（3.5，4] C．（3，4] D．[3，4）
【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），
即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，
又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，
其图象如图所示：
在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），
故选：A．
14．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2（1+SN），它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W、而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附：lg2＝0.3010）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时，
C大约增加了Wlog2(1+5000)-Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)
=log25001-log21001log21001≈lg5000lg2-lg1000lg2lg1000lg2
=1-lg23≈0.23＝23%．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
15．若10a＝4，10b＝25，则（ ）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＜lg6
【解答】解：∵10a＝4，10b＝25，
∴a＝lg4，b＝lg25，
∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，
b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg254＞lg6，
ab＝2lg2×2lg5＝4lg2•lg5＞8lg22＝4lg2•lg4．
故选：AC．
16．函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，那么（ ）
A．f（x）在（1，+∞）上递增且无最大值
B．f（x）在（1，+∞）上递减且无最小值
C．f（x）在定义域内是偶函数
D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
E．∃a＝2020，满足f（x）在（0，1）上是减函数
【解答】解：∵函数f（x）＝loga|x﹣1|在（0，1）上是减函数，
∴f（x）＝loga（1﹣x）在（0，1）上是减函数，而y＝1﹣x是减函数，则a＞1，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＝loga|x﹣1|＝loga（x﹣1），y＝x﹣1是增函数，而a＞1，
则f（x）在（1，+∞）上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，
f（x）＝loga|x﹣1|的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，
∴f（x）为非奇非偶函数，故C错误；
f（2﹣x）＝loga|2﹣x﹣1|＝loga|x﹣1|＝f（x），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故D正确；
由a＞1可知，E正确．
故选：ADE．
17．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则关于f（x）的结论正确的是（ ）
A．f（x）是周期为4的周期函数
B．f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
C．x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＝2x+6
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
【解答】解：因为f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；
因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（2﹣x）＝f（x），
则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，故选项A正确；
当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则1﹣x∈[0，1），1+x∈（1，2]，
所以f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣2（1﹣x）＝2x﹣2，
所以f（x）＝2x﹣4，∈（1，2]，
故f(x)=2x+4，-2≤x＜-1-2x，-1≤x≤12x-4，1＜x≤2，故选项C错误；
在[﹣2，2）一个区间上的零点为﹣2，0，由周期性可得，f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}，故选项B正确．
故选：ABD．
18．对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x-2)，x∈(2，+∞)，下列结论正确的是（ ）
A．任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立
B．f（x）＝2kf（x+2k） （k∈N*） 对于一切x∈[0，+∞） 恒成立
C．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点
D．对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立，则实数k的取值范围是[12，+∞）
【解答】解：函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x-2)，x∈(2，+∞)，的图象如图所示：
A．f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故A正确；
B．f（12）＝2f（12+2）＝4f（12+4）＝6f（12+6）≠8f（12+8），故B不正确；
C．函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），
当x＝2时，y＝sin2π﹣ln1＝0，
而f（x）＝sinπx是周期为2的类正弦函数曲线；当x＞2时，f（x+2k）＝（12）kf（x），图象只发生振幅变化，
y＝ln（x﹣1）为对数函数y＝lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），
做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，
则f（x）＝有3个零点正确，故C正确；
D．对任意x＞0，不等式f（x）≤kx恒成立，
则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，
则实数k→+∞，
把（52，12）代入，可得k≥54，故D不正确．
故选：AC．
三．填空题（共6小题）
19．若函数y＝loga（x﹣1）+4的图象恒过定点P，且点P在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝ 9 ．
【解答】解：对于函数y＝loga（x﹣1）+4，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝4，可得它的图象恒过定点P（2，4），
∵点P在幂函数f（x）的图象上，设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，即f（x）＝x2，
∴f（3）＝32＝9，
故答案为：9．
20．函数f（x）＝log12（﹣2x2+x）的单调增区间是 [14，12） ；f（x）的值域是 [3，+∞） ．
【解答】解：函数f（x）＝log12（﹣2x2+x）的单调增区间，
即函数y＝﹣2x2+x在满足y＞0的条件下，函数y的减区间．
∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣x（2x﹣1），
故在y＞0的条件下，函数y的减区间为[14，12）．
∵函数y＝﹣2x2+x＝﹣2(x-14)2+18∈（0，18]，
故f（x）＝log12 y∈[3，+∞）．
故答案为：[14，12）；[3，+∞）．
21．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x2+2x，则f（2021）＝ 1 ．
【解答】解：根据题意，因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+4）＝f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，
则f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣[（﹣1）2﹣2]＝1；
故答案为：1．
22．已知函数f（x）＝|lnx|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2，则nm的值为 e2 ．
【解答】解：∵f（m）＝f（n），
∴﹣lnm＝lnn
∴mn＝1．
∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，
∴f（x）在区间[m2，1m]上的最大值为2，
∴﹣lnm2＝2，则lnm＝﹣1，解得m=1e，
∴n＝e，
∴nm=e2，
故答案为：e2．
23．已知函数f（x）=x+1≤0，log2x，则函数y＝f[f（x）]+1的零点个数是 4 个．
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x+1，
当﹣1＜x≤0时，f（x）＝x+1＞0
y＝f[f（x）]+1＝log2（x+1）+1＝0，
x+1=12，x=-12．
当x≤﹣1时，f（x）＝x+1≤0，
y＝f[f（x）]+1＝f（x）+1+1＝x+3＝0，
∴x＝﹣3．
当x＞0时，f（x）＝log2x，
y＝f[f（x）]+1＝f（log2x）+1，
当0＜x＜1时，f（x）＝log2x＜0，
y＝f[f（x）]+1＝log2[f（x）]+1＝log2（log2x+1）+1＝0，
∴log2x+1=12，x=22；
当x＞1时，f（x）＝log2x＞0，
∴y＝f[f（x）]+1＝log2（log2x）+1＝0，
∴log2x=12，x=2．
综上所述，y＝f[f（x）]+1的零点是x＝﹣3，或x=-12，或x=22，或x=2．
故答案为：4．
24．偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（43）＝ 23 ，则若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是 （0，14] ．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），
∴f（x）＝f（x+2），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（43）＝f（43-2）＝f（-23）＝f（23）=23，
若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，
则f（﹣x）＝﹣x＝f（x），
即f（x）＝x，﹣1≤x≤0，
由g（x）＝f（x）﹣kx﹣k＝0得f（x）＝k（x+1），
要使函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点
等价为函数f（x）与g（x）＝k（x+1）有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
g（x）过定点A（﹣1，0），f（3）＝1，
则k满足0＜g（3）≤1，
即0＜4k≤1，得0＜k≤14，
即实数k的取值范围是（0，14]，
故答案为：23，（0，14]
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