2021新高考 数学通关秘籍 专题19 一元二次不等式整数解的个数 同步练习

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专题19  一元二次不等式整数解的个数【方法点拨】不等式（一般是一元二次不等式）的整数解的个数问题，一般采用“分离函数”的方法转化为两函数图象间的位置关系较简单，分离函数的的一般策略是“一动一静，一直一曲，动直定曲”.【典型题示例】例1    若关于的不等式的解集中整数恰有3个，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析一】原不等式转化为，则，即而的解为，由得：，则，解之得：.【解析二】易知，则原不等式可化为，令，问题转化为两函数、图象问题，当的图象在的图象的下方时的横坐标为整数点有且仅有三个，如下图则，，解之得故实数的取值范围是..    【解析三】仿解法二，易知，则原不等式可化为，令 ，，下同解法二利用图象则，即，解之得故实数的取值范围是.    点评：     解法一是直接利用“数”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数，先将其中一个根的范围进行缩定，然后推测其另一个根的范围，利用之布列不等式求解.解法难度较大，不建议使用.而解法二、三，其关键是利用“形”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数，从两种解法可以看出，解法三更简单，可谓实现“秒杀”，这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离函数”的能力，一般遵循“一动一静，一直一曲，动直定曲”的原则进行.例2    已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，其中.若在区间内存在唯一整数，则实数的取值范围是       ．【答案】【分析】利用导数的几何意义，不难得出是方程的两个根，分离函数，问题转化为两函数的交点横坐标间存在唯一整数，利用“形”，易知该整数为1，故只需，解之得.【巩固训练】1.若关于的不等式的解集中至多包含2个整数，则实数的取值范围是_________.A.(－3,5)；    B. (－3,2)；        C. [－3,5]；     D. [－2,4] .2.（多选题）若关于的不等式组的整数解的集合为，则整数k的值可以是_________.A.－3；    B. 0；        C. 1；     D. 2 .3.设0＜b＜1+a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则a的取值范围是            .             4.已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是_________.5. 若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是            . 6.已知集合，，若中恰有一个整数，则的最小值是  ▲  ．7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（   ）A．          B．  C．       D．
【答案或提示】1.【答案】C2.【答案】ABC3.【答案】1＜a＜34.【答案】 5.【答案】【解析】分离变量，不等式x2ax+2a<0可转化为x2<a（x2），构造函数f(x)=x2，g(x)= a（x2）.如图一，当a>0，利用导数易求出切点P（4,16），欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数4，则另一解必为3或5，比较过这两点的直线的斜率，可得；如图二，当a<0，欲使不等式x2ax+2a<0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数0，则另一解必为1或-1，比较过这两点的直线的斜率，可得；综上可得，实数a的取值范围是：或.6.【答案】7.【答案】B．【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，选B.