2021新高考 数学通关秘籍 专题12 利用切线求解恒成立 同步练习

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专题12  利用切线求解恒成立【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点问题有时也可以转化为【典型题示例】例1   (2021·江苏南京市期初)若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是       ．【答案】(－∞，﹣1]【分析】思路一：直接转化为为最值问题；思路二：利用“形”， 不等式对一切xR恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可.【解析一】令，恒成立，显然a≤0， ，则，，当a＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，a＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减x＜，，故符合题意，综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．【解析二】不等式可化为，令，当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.当时，因为恒过点，为使对一切xR恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可，故，此时.综上，a＋b的取值范围是.例2   已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为       ．【答案】【解析】依题意，有：，即恒成立，a＝0时显然成立，a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a≤0.当a＜0时，设，易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为，则，解之得∴切点为为使， 只需，故又a＜0，所以.综上，实数a的取值范围为． 【巩固训练】1.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为       ．2.（2019·天津理·8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．3.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为       ．4.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为       ．
【答案或提示】1.【答案】2.【答案】 C3.【答案】1【解析】 遇含参问题能分离变量则分离. 函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于 与均过点，所以的零点为.所以与在点处相切，故与相等，所以.4.【答案】