高考数学大一轮复习第15章数系的扩充与复数的引入1试题文含解析

第十五章　数系的扩充与复数的引入

练好题·考点自测 

1.[2020全国卷Ⅰ,2,5分][文]若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)

A.0 B.1 C. D.2

2.[2020全国卷Ⅱ,2,5分][文](1-i)4= (　　)

A.-4 B.4 C.-4i D.4i

3.[2020浙江,2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a= (　　)

A.1  B.-1  C.2  D.-2

4.[2020山东,2,5分]= (　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

5.[2020北京,2,4分]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z= (　　)

A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i

6.[2021大同模拟]设x,y∈R,i为虚数单位,且=1+2i,

则z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在 (　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

7.[2020江西抚州高三第一次联考]若复数z满足|z+3-4i|=2,则z·的最大值为 (　　)

A.9 B. 81 C. 7 D. 49

8.[2021河南名校第一次联考]如图15-1,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C在复平面内分别表示0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为              (　　)

A.1+6i B.5-2i

C.1+5i D.-5+6i

图15-1

9.[2017 浙江,12,6分]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　. 

拓展变式

1.(1)[2020全国卷Ⅲ,2,5分]复数的虚部是 (　　)

A. B. C. D.

(2)[2020全国卷Ⅱ,15,5分]设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　. 

2.(1)[2019全国卷Ⅲ,2,5分][文]若z(1+i)=2i,则z= (　　)

A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

(2)[2019北京,2,5分][文]已知复数z=2+i,则z·=(　　)

A. B. C.3 D.5

3.(1)[2019全国卷Ⅱ,2,5分]设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 (　　)

A.第一象限　 B.第二象限　 C.第三象限　 D.第四象限

(2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是　　　. 

答  案

第十五章　数系的扩充与复数的引入

1.C　z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=,故选C.

2.A　 (1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4,故选A.

3.C　因为a-1+(a-2)i是实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.

4.D　解法一　===-i,选D.

解法二　利用i2=-1进行替换,则====-i,选D.

5.B　由题意知,z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.

6.A　由已知可得z=i,则i,所以在复平面内对应的点为(,),在第一象限,故选A.

7.D　由题意可知,复数对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z·表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|==5,所以z·的最大值为(5+2)2=49,故选D.

8.A　因为,所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即点B对应的复数为1+6i,故选A.

9.5　2　∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,∴解得或∴a2+b2=5,ab=2.
【方法技巧】　两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等;一个复数等于零的充要条件是实部

和虚部同时为零.

1.(1)D　i,所以虚部为.

(2)2　解法一　设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=()2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|==2.

解法二　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a+(1-b)i,则 即所以|z1-z2|2=(2a)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(a+b)+4=4×4-4×2+4=12,所以|z1-z2|=2.

解法三　题设可等价转化为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=2,即|z1-z2|=2.

2.(1)D　z==1+i.

(2)D　∵z=2+i,∴=2-i,∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D.

3.(1)C　由题意,得=-3-2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-3,-2),位于第三象限,故选C.

(2)1　由题意得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),由=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.