2021届高中数学一轮复习人教版（文）7函数性质的综合问题作业

这是一份2021届高中数学一轮复习人教版（文）7函数性质的综合问题作业，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
函数性质的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　)A．－　　　　　　　　 B．－C.   D.C　[因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝－＝－，则f＝.]2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝ex＋e－x　　　 B．y＝ln(|x|＋1)C．y＝   D．y＝x－D　[选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意； 选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．]3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)A.   B．－C.   D．－A　[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.]4．设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)A．[－3,3]   B．[－2,4]C．[－1,5]   D．[0,6]B　[因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，由函数f(x)在[－6,0]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.]5．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜fC　[因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f＜f＜f.]二、填空题6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.]7．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]8．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)＞0的解集为________．　[由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，且f＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.]三、解答题9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．[解]　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝10．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．[解]　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.1．(2019·江西临川第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　　)A．－　　　B．－　　　C.　　　D.D　[因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f＝f＝f，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝，所以f＝.故选D.]2．(2019·惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)A．(2，＋∞)   B.∪(2，＋∞)C.∪(，＋∞)   D．(，＋∞)B　[f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜.故选B.]3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．①②③④　[因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．令x＝y＝0，所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数．由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数．所以f(2－x)＝f(x)，所以函数关于x＝1对称．由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．]4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．[解]　(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0,1)．1．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)D　[由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图象的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D.]2．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．(1)设f(1)＝2，求f，f；(2)证明：f(x)是周期函数．[解]　(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f· f≥0，x∈[0,1]．∵f(1)＝f＝f·f＝，f(1)＝2，∴f＝2.∵f＝f＝f·f＝2，f＝2，∴f＝2.(2)证明：依题设，y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)．又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，∴f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．