2020-2021学年1.3 两条直线的平行与垂直课时作业

课后素养落实(二)　直线的点斜式方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)

A．60°，2  B．120°，2－

C．60°，2－ D．120°，2

B　[由方程y－2＝－(x＋1)得y＝－x＋2－，

∴斜率k＝－，在y轴上的截距为2－，倾斜角为120°．]

2．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　)

A．a＋b B．2a－b

C．b－2a D．|2a－b|

C　[由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a．]

3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D

C　[A中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；B中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；D中，y＝ax，a＜0，y＝x＋a的图象错误．]

4．经过点(0，－1)且斜率为－的直线方程为(　　)

A．2x＋3y＋3＝0 B．2x＋3y－3＝0

C．2x＋3y＋2＝0 D．3x－2y－2＝0

A　[∵直线的斜率为－，∴经过点(0，－1)且斜率为－的直线，其斜截式方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0，故选A．]

5．直线y＝2x＋1绕着其上一点(3，4)，逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为(　　)

A．y－4＝2(x－3) B．y－4＝(x－3)

C．y－4＝－(x－3) D．y－4＝－2(x－3)

C　[逆时针旋转90°，即与y＝2x＋1垂直，由于y＝2x＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－，又因过点(3，4)，故直线方程为y－4＝－(x－3)．]

二、填空题

6．在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为________．

y＝－3x＋2　[∵直线的斜率为－3．又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2．]

7．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．

　[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥．]

8．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．

y－(－)＝(x－2)　[∵直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，

即斜率k＝tan 60°＝．

又该直线过点A(2，－)，

故所求直线为y－(－)＝(x－2)．]

三、解答题

9．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．

(1)经过点(，－1)；

(2)在y轴上的截距是－5．

[解]　∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，

∴其倾斜角α＝120°，

由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，

故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝．

(1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，

∴所求直线方程是y＋1＝(x－)．

(2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，

∴所求直线的方程为y＝x－5．

10．根据条件写出下列直线方程的斜截式．

(1)经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2；

(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．

[解]　(1)法一：易知直线的斜率存在，

设直线方程为y＝k(x－2)，

∵点A(3，4)在直线上，

∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，

∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8．

法二：由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，

则直线的斜率k＝＝4，

由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，

∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8．

(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，

又直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，

所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3．

11．(多选题)下列说法正确的有(　　)

A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限

B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)

C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)

D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3

ABC　[A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∴(k，b)在第二象限，正确．B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3，2)，正确．C中根据点斜式方程知正确．D中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．]

12．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)

A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)

C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)

D　[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，∴kAO＝3，kAB＝－3，由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．]

13．若直线l：y＝kx＋2k＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x＜3时，直线l上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围是________．

(－2，1)　　[由y＝kx＋2k＋1得y－1＝k(x＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2，1)．

又设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，

若－3＜x＜3，直线l上的点都在x轴上方，

则需满足

即

解得－≤k≤1．

所以实数k的取值范围是．]

14．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．

(－∞，－1]∪[1，＋∞)　[令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，

则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．

由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，

所以k的取值范围是k≥1或k≤－1．]

15．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程．

[解]　∵直线y＝(x－1)的斜率为，∴其倾斜角为60°，且过点(1，0)．

又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°．

故直线l的方程为x＝1或y＝(x－1)．