北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式习题

课后素养落实(十九)　空间两点间的距离公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则(　　)

A．|AB|＞|CD|　　 B．|AB|＜|CD|

C．|AB|≤|CD|　　　 D．|AB|≥|CD|

D　[∵|AB|＝＝ ≥ ，

|CD|＝＝，

∴|AB|≥|CD|．]

2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　)

A．a　　B．a    C．a　　D．a

[答案]　B

3．已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为(　　)

A．　　　B．2　　　C．11　　　D．3

B　[由中点坐标公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝＝2．]

4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为(　　)

A．19　　　　B．－　　C．　　D．

C　[∵|AB|＝

 ＝．

∴当x＝时，|AB|取得最小值．]

5．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为(　　)

A．(1，0，0)　　　　　　 B．(－1，0，0)

C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)

D　[∵点P在x轴上，∴设点P(x，0，0)，

由题意|PP1|＝2|PP2|，

∴

＝2，

解得x＝±1．]

二、填空题

6．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距离是_______．

　[|AB|＝＝．]

7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．

(0，6，0)　[设P(0，y，0)， ∵|PA|＝|PB|，

∴＝，解得y＝6．

∴P点坐标为(0，6，0)．]

8．已知A(3，5，－7)和点B(－2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为________．

　[∵A(3，5，－7)在平面yOz上的射影为A′(0，5，－7)，B(－2，4，3)在平面yOz上的射影为B′(0，4，3)，

∴|A′B′|＝＝．]

三、解答题

9．如图，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD­A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．

[解]　以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，

∴|AD1|＝＝，

|AB1|＝＝5，

|AC1|＝＝．

10．求点M(4，－3，5) 到x 轴的距离．

[解]　设MH⊥x轴于H，则H，

所以点M 到x 轴的距离为＝＝．

11．已知三点A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，则(　　)

A．△ABC是等腰三角形

B．△ABC是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．三点构不成三角形

C　[因为2＝49，2＝98，2＝49，所以2＋2＝2，且|AB|＝|CA|，所以这三点构成等腰直角三角形．]

12．已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于(　　)

A．8　　　B．12　　　C．16　　　D．19

A　[依题意A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，所以|AA2|＝＝8．]

13．(多选题)在空间直角坐标系中，下列说法正确的是(　　)

A．方程z＝0 表示坐标平面xOy

B．方程x2＋y2＋z2＝1 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面

C．方程x2＋y2＝1 表示以坐标原点为圆心，1为半径的面

D．方程x2＋y2＝0 表示z轴

[答案]　ABD

14．(一题两空)点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是________，|PA|的最大值是________．

3　5　[因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，

|OA|＝＝4．

所以min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5．]

15．已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|．

[解]　∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，

∴正四棱锥的高为1．以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，1)．

∴G点的坐标为G，

∴|BG|＝ ＝．